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江苏省南京市六校联合体2020届高三数学上学期一模联考试题(含解析) (1)

高三数学上学期一模联考试题(含解析)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上)
1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x2-4x<0},则 A∩B=__________. 解:Q A ? {1,2,3, 4} , B ? {x | 0 ? x ? 4} ,

? AI B ? {1,2, 3} .

故答案为:{1 ,2, 3} .

2.已知复数 z ? 2 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数为__________. 1? i

解:Q z ? 2 ? 2i ? 2(1? i) ? 2i ? 1? i ? 2i ? 1? i ,

1? i

(1? i)(1? i)

故 z 的共轭复数是:1? i

3.某校有教师 300 人,男学生 1500 人,女学生 1200 人,现用分层抽样的办法从全校师生

中抽取 200 人进行某项调查,则应抽取的女学生人数为__________.

解:女学生人数所占的比例为

1200

? 2 ,则应抽取的女学生人数为 200 ? 2 ? 80 ,

300 ?1500 ?1200 5

5

故答案为:80.

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为__________.

答案:模拟演示: 解: S ?1, I ?1; S ? 3, I ? 4 ; S ? 7 , I ? 7 ; S ?15 , I ?10 此时结束循坏输出 S ?15 故答案为:15. 5.甲、乙两人依次从标有数字 1,2,3 的三张卡片中各抽取一张(不放回),则两人均未抽
到标有数字 3 的卡片的概率为__________. 解:甲、乙两人依次从标有数字 1,2,3 的三张卡片中各抽取一张(不放回),
1

基本事件总数 n ? 3? 2 ? 6 , 两人均未抽到标有数字 3 的卡片包含的基本事件个数 m ? 2?1? 2 , 则两人均未抽到标有数字 3 的卡片的概率为 p ? m ? 2 ? 1 .
n 63 故答案为: 1 .
3

6.若抛物线

y2

? 10x 的焦点到双曲线

x2 a2

?

y2 16

? 1的一条渐近线的距离是

2,则该双曲线的

离心率为__________.

解:抛物线

y2

? 10x 的焦点为 ( 5 ,0) 2

,双曲线

x2 a2

?

y2 16

? 1的一条渐近线方程为

y

?

?

4 a

x





4? 5 2

? 2 ,解得 a ? 3,则 c ? 5 ,所以双曲线的离心率 e ? 5

42 ? a2

3

故答案为: 5 3
7.已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时 f (x)= x+a,a 为实数,则 f (-4)

的值是__________.

解:Q f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x…0 时 f (x) ? x ? a , ? f (0) ? a ? 0 ,

?x…0 时, f (x) ? x ,

? f (?4) ? ? f (4) ? ? 4 ? ?2 .

故答案为: ?2 .

8.已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn} 前 n 项和为 Tn ,若 S9 ? ?18 ,

S13

? ?52 ,且 b5

?

a5 , b7

?

a7

,则

T4 T2

的值为__________.

解: S9 ? ?18 ,则 9a5 ? ?18 ,所以 a5 ? ?2 ,即 b5 ? ?2

S13 ? ?52 ,则13a7 ? ?52 ,所以 a7 ? ?4 ,即 b7 ? ?4

设等比数列{bn}的公比为 q2 ? 2

2

b1(1? q4 )

T4 T2

=

1? q b1(1? q2 )

?1? q2

?

3

1? q

故答案为:3

9.已知 f (x) ? sin(2x ? ? ) ,若 y ? f (x ??)(0 ? ? ? ? ) 是偶函数,则? ? __________.

3

2

解:函数 f (x) ? sin(2x ? ? ) , 3

所以函数 y ? f (x ? ?) ? sin(2x ? 2? ? ? ) , 3

由于函数为偶函数,

所以 ?2? ? ? ? k? ? ? (k ? Z) ,

3

2

解得? ? ? k? ? ? (k ? Z) , 2 12

由于 0 ? ? ? ? ,所以当 k ? ?1时,? ? 5? .

2

12

故答案为: 5? . 12

10.已知矩形 ABCD 中 AB=4,BC=3,若沿对角线 AC 折叠,使得平面 DAC⊥平面 BAC,则三

棱锥 D-ABC 的体积是__________.

解:过 B 作 BE ? AC 于 E ,Q AB ? 4 , BC ? 3,? AC ? 5 , BE ? ABgBC ? 12 , AC 5
Q 平面 DAC ? 平面 BAC ,平面 DAC ?平面 BAC ? AC , BE ? AC , BE ?平面 ABC ,

?BE ?平面 DAC ,

?V棱锥D? ABC

? V棱锥B?ACD

?

1 3 S?ACD

? BE

?

1 ? 1 ? 3? 4? 12

32

5

?

24 . 5

故答案为 24 . 5

11.已知实数 x,y 满足条件 xy+1=4x+y 且 x>1,则(x+1)(y+2)的最小值是__________. 解:Q xy ?1 ? 4x ? y ,且 x ?1,
3

? x ? y ?1 ? 1 ,解得, y ? 4 , y?4
?(x ?1)(y ? 2) ? xy ? 2x ? y ? 2 ?1? 2(3x ? y)

? 1? 2(3y ? 3 ? y) ? 1? 2[7 ? ( y ? 4) ? 9 ]

y?4

y?4

…1? 2(7 ? 6) ? 27 .

?(x ?1)( y ? 2) 取最小值为 27.

故答案为:27.

12.若直线 l : ax ? y ? 4a ? 0 上存在相距为 2 的两个动点 A,B,圆 O : x2 ? y2 ? 1上存在点

C , 使 得 ?ABC 为 等 腰直 角三 角形 ( C 为 直 角 顶点 ),则实 数 a 的 取 值 范围 为

__________.

解:根据题意,若 ?ABC 为等腰直角三角形,其中 C 为直角顶点且 | AB |? 2 ,

则 C 到 AB 的距离为 | AB | ? 1, 2

若圆 O : x2 ? y2 ? 1 上存在点 C ,使得 ?ABC 为等腰直角三角形,

则圆心 O 到直线 l 的距离 d? 2 ,即有 | ?4a | ? 2 , 1? a2

解可得: ? 3 剟a 3 ,即 a 的取值范围[? 3 , 3 ] ;

3

3

33

故答案为:[? 3 , 3 ] . 33

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1, 0) ,点 P 是圆 O: x2 ? y2 ? 4 上的任 意一点,过点 B(1, 0) 作直线 BT 垂直于 AP,垂足为 T,则 2PA+3PT 的最小值是__________.

4

解:由中线长公式可得 PO ? 1 2(PA2 ? PB2 ) ? AB2 ,则 PA2 ? PB2 =10 2

cos P ? PA2 ? PB2 ? AB2 ,则 cos P ? 3

2PA? PB

PA? PB

在 Rt?PBT 中, PT ? PB cos P ,即 PT ? 3 PA

所以 2PA ? 3PT ? 2PA ? 9 ? 2 18 ? 6 2 (当且仅当 PA ? 3 2 时取等)

PA

2

14.已知函数 g(x) ? ?x2 ? bx, h(x) ? ?mx 2 ? x ? 4 ,若不等式 g(x) ? b ?1 ? 0(x ? R) 恒成

立, h(x)

?

4 为奇函数,函数

f

(x)

?

?g(x), x ? t ??h(x), x ? t

恰有两个零点,则实数 t

的取值范围

为__________.

解:若不等式 g(x) ? b ?1? 0(x ? R) 恒成立,

即 x2 ? bx ? b ?1…0 恒成立,

则△ ? b2 ? 4(b ? 1)? 0 ,解得: b ? ?2,

故 g(x) ? ?x2 ? 2x , 若 h(x) ? 4 为奇函数, 则 ?mx2 ? x ? 4 ? 4 ? mx2 ? x ? 4 ? 4 ,解得: m ? 0 , 故 h(x) ? x ? 4 , 画出函数 g(x) , h(x) 的图象,如图所示:

5

若函数

f

(x)

?

?g(x) ??h(x)

(x? t) 恰有两个零点, (x ? t)

结合图象: t ?[?2 , 0)U[4 , ??) ,

故答案为:[?2 , 0)U[4 , ??) .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步

骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)

15.(本小题满分 14 分)
已知 a,b,c 分别为 ?ABC三个内角 A,B,C 的对边,且 tan A ? 3 . 4
(1)若 a ? 6 , b ? 2 ,求边 c 的长; 5

(2)若 sin ? A ? B? ? 10 ,求 tan B 的值.
10

解:(1)在 ?ABC 中,由 tan A ? 3 可知 A ? (0, ? ) ,

4

2



? ? ?

sin cos

A A

?

??sin2 A ?

3 4 cos2

A

解得
?1

???sin A ? ? ???cos A ?

3 5 4 5



由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,



? ??

6 5

2
? ??

?

22

?

c2

?

2?

2?c

?

4 5

,即

c2

? 16 5

c

?

64 25

?

0,

6

解得 c ? 8 . 5

(2)由 A? (0, ? ) 且 B ?(0,? ) ,得 A ? B ? (?? , ? ) ,

2

2

又 sin ? A ? B? ? 10 ? 0 ,则 A ? B ? (0, ? ) ,则 cos? A? B? ? 0 ,

10

2

所以 cos ? A ? B? ? 1? sin2 ( A ? B) ? 3 10 ,
10

所以 tan ? A ? B? ? sin(A ? B) ? 1 ,
cos( A ? B) 3

所以

tan

B

?

tan

??

A

?

?

A

?

B???

?

tan A 1? tan

? tan( A ? B) A? tan( A ? B)

?

3 4 1?

? 3

1
3 ?1

?

1 3

43

16.(本小题满分 14 分)

如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,A1B 与 AB1 交于点 D,A1C 与 AC1 交于点 E.求

证: (1)DE∥平面 B1BCC1;

A
1

B

C1

1

(2)平面 A1BC⊥平面 A1ACC1.

DE

A
证明:(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1 / / BB1 , 所以四边形 ABB1A1 是平行四边形,且 A1B I AB1 ? DE , 所以 D 为 A1B 中点, 同理 E 为 A1C 中点, 所以 DE / /BC , 又因为 DE ? 平面 B1BCC1 , BC ? 平面 B1BCC1 , 所以 DE / / B1BCC1 .

C B

7

(2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, C1C ? 平面 ABC ,

因为 BC ? 平面 ABC ,所以 C1C ? BC ,

因为 AC ? BC , AC I C1C ? C , AC、C1C ? 平面 A1ACC1 ,

所以 BC ? 平面 A1ACC1 ,

又因为 BC ? 平面 A1BC ,

所以平面 A1BC ? 平面 A1ACC1 .
17.(本小题满分 14 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C



x2 a2

+

y2 b2

?(1 a

?b

?

0) 的左、右顶点分

别为 A,B .已知 AB ? 4 ,且点 (e, 3 5) 在椭圆上,其中 e 是椭圆的离心率. 4

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的点,与 x 轴垂直的直线 l 分别交直线 AP,BP 于点 M,

N,求证:直线 AN 与直线 BM 的斜率之积是定值.

y M
P

N

A

O

Bx

解:(1)因为 AB ? 4 ,所以 2a ? 4 ,即 a ? 2 ,

又点 (e, 3 4

5) 在椭圆上,故

e2 a2

45 + 16b2

?

1

,即

c2 16

+

45 16b2

?1,

又 b2 ? c2 ? a2 ? 4 ,

联立方程组,解得 b2 =3 , 故椭圆方程为 x2 + y2 ? 1.
43 (2)设 P 点坐标为( s,t ),M,N 的横坐标均为 m(m ? ?2) ,

则直线 AP 的方程为 y ? t (x ? 2) , s?2

l
8

故 M (m, t (m ? 2)) , s?2

故直线

BM

的斜率

k1

?

(s

t(m ? 2) ? 2)(m ?

2)



同理可得直线

AN

的斜率

k2

?

(s

t(m-2) ? 2)(m+2)



故 k1k2

?

(s

t(m ? 2) ? 2)(m ?

2)

(s

t(m-2) ? 2)(m+2)

=

t2 s2 ?

4



又因为 P 点在椭圆上,故有 s2 + t2 ? 1,即 t2 ? ? 3 (s2 ? 4) ,

43

4

因此有

k1k2

=

t2 s2 ?

4

?

?

3 4



故直线 AN 与直线 BM 的斜率之积是定值.

18.(本小题满分 16 分)

如图,甲、乙两观察哨所位于海岸线 l(一条南北方向的直线)上的点 A、B 处,两观

察哨所相距 32 n mile,在海岸线东侧有一半径为 6 n mile 圆形暗礁区,该暗礁区中心点 C

位于乙观察哨所北偏东 53? 的方向上,与甲观察哨所相距 2 193 n mile,暗礁中心与乙观察

哨所的距离大于 2 193 n mile;

(1)求暗礁中心点 C 到海岸线 l 的距离;

(2)某时刻,甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点 D 处有一走

私船正欲逃窜,甲观察哨所立即派缉私艇进行追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航 速的 ?(? ? 1) 倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.问:无论走私船沿何

方向逃窜,要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功,求 ?

的取值范围.

A

D

C



B



l

9

解:(1)在三角形 ABC 中,由余弦定理可得 AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2AB ? BC ? cos?ABC , 即 (2 197)2 ? 322 ? BC2 ? 2 ? 32 ? BC ? 3 ,整理得 5BC2 ?192BC ?1260 ? 0 ,
5 解得 BC ? 30 或 BC ? 42 (舍去),
5 过点 C 作 CD 垂直于 l,垂足为 D,在直角三角形 CDB 中,CD=BC sin ?ABC ? 30 ? 4 ? 24 ,
5 故暗礁中心点 C 到海岸线 l 的距离为 24 n mile.
(2)由(1)可知 AD ?14 , BD ?18 ,
以点 C 为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,

则 A( ?24 ,14 ),D( ?24 ,0),暗礁区域边界所在的圆的方程为 x2 ? y2 ? 36 ,

假设缉私艇在点 T(x,y)处拦截成功,则 AT ? ? , DT
则点 T 满足方程 (x ? 24)2 ? ( y ?14)2 ? ? , (x ? 24)2 ? y2

化简得 (x

?

24)2

?

(y

?

14 ?2 ?

)2 1

?

( ?124??1)2

要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功,

只需要圆 (x

?

24)2

?

(y

?

14 ?2 ?

)2 1

?

(?124??1)2 与圆

x2

?

y2

?

36

外离,

故 (0 ? 24)2 ? (0 ? 14 )2 ? ( 14? ) ? 6 ,

?2 ?1

?2 ?1

整理得 135 ?2 ? 42? ?184 ? 0 ,解得 ? ? 4 或 ? ? ? 46 (舍去).

3

45

答:(1)暗礁中心点 C 到海岸线 l 的距离是 24 n mile;

(2)当 ? ? 4 时,就能保证无论走私船沿何方向逃窜,缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁 3
区边界)以外的海域内拦截成功.

19.(本小题满分 16 分)

已知函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 2x , g(x) ? tx,t ? R ,?(x) ? ex . x

(1)求函数 y ? f (x) ??(x) 的单调增区间;

(2)令 h(x) ? f (x) ? g(x) ,且函数 h(x) 有三个彼此不相等的零点 0,m,n ,其中

m?n.

10

①若 m ? 1 n ,求函数 h(x) 在 x ? m 处的切线方程; 2
②若对 ?x ?[m,n] , h(x) ? 16 ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解:(1) y ? f (x) ??(x) ? (x2 ? 3x ? 2)ex , 所以 y' ? (x2 ? x ?1)ex ,

令 y' ? 0 得到 x ? 1? 5 或x ? 1? 5 ,

2

2

所以 y ? f (x) ??(x) 的单调增区间是 (??, 1? 5 ),(1? 5 ,??) .

2

2

(2)由方程 h(x) ? 0 得 m, n 是方程 x2 ? 3x ? (2 ? t) ? 0 的两实根,
故 m ? n ? 3, mn ? 2 ? t ,且由判别式得 t ? ? 1 , 4
①若 m ? 1 n ,得 m ? 1, n ? 2 ,故 mn ? 2 ?t ? 2 ,得 t ? 0 , 2
因此 h' (1) ? ?1,

故函数 h(x) 在 x ?1处的切线方程为 y ? ?x ?1.

②若对任意的 x ?[m, n] ,都有 h(x) ? 16 ? t 成立,所以 h(x)max ? 16 ? t ,

因为 m ? n ? 3, m ? n ,所以 0 ? m ? 3 ? n或m ? 0 ? n , 2



0

?

m

?

3 2

?

n

时,对

x ?[m, n]



h( x)max

?

0



所以 0 ?16 ? t ,

解得 t ? 16 , 又因为 mn ? 2 ? t ? 0 ,得 t ? 2 ,则有 ? 1 ? t ? 2 ;
4

当 m ? 0 ? n 时, h '(x) ? 3x2 ? 6x ? (2 ? t) ,

则存在 h(x) 的极大值点 x1 ? (m, 0) ,且 t ? 3x12 ? 6x1 ? 2 , 由题意得 h(x1) ? x13 ? 3x12 ? (2 ? t)x1 ? 16 ? t , 将 t ? 3x12 ? 6x1 ? 2 代入得 x13 ? 3x12 ? 3x1 ? 7 ? 0 , 进而得到 (x1 ?1)3 ? ?8 ,得 ?1 ? x1 ? 0 ,
11

又因为 t ? 3x12 ? 6x1 ? 2 ,得 2 ? t ?11, 综上可知 t 的取值范围是 ? 1 ? t ? 2 或 2 ? t ?11.
4
20.(本小题满分 16 分) 等差数列{an}公差大于零,且 a2+a3=52,a22+a32=143,记{an}的前 n 项和为 Sn,等比数
列{bn}各项均为正数,公比为 q,记{bn}的前 n项和为 Tn. (1)求 Sn; (2)若 q 为正整数,且存在正整数 k,使得 Tk,T3k∈{S2,S5,S6},求数列{bn}的通项
公式; (3)若将 Sn 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},求{cn}的一个通项公式.
解:(1)设{an}公差为 d,d>0, 因为 a2+a3=52,a22+a32=143, 所以 a1+d+a1+2d=52,(a1+d)2+(a1+2d)2=143, 解得 a1=12,d=12, 于是 Sn=12n+n(n2-1)×12=n2+4 n. (2){S2,S5,S6}={32,125,221} 当 q=1 时,Tk=kb1,T3k=3kb1,TT3kk=3,舍去; 当 q≠1 时,Tk=b1(11--qqk),T3k=b1(11--qq3k),所以TT3kk=1+qk+q2k, 因为 q∈N*且 q≠1,所以 q≥2, 因此TT3kk≥1+2+4=7, 于是 Tk=32,T3k=221, 因此 1+qk+q2k=7,解得 qk=2 或-3(舍去), 从而 q=2,k=1,代入 Tk=b1(11--qqk)得 b1=32 所以 bn=3×2n-2 (3)因为 Sn=n2+4 n为整数项,所以 n=4k 或者 4k-1,k∈N*
12

当 n=4k-1,k∈N*时,Sn=k(4k-1); 当 n=4k,k∈N*时,Sn=k(4k+1); 因为 Sn 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}, 且 k(4k-1)<k(4k+1)<(k+1)[4(k+1)-1]<(k+1)[4(k+1)+1], 所以当 n 为奇数时,cn=(4×n+2 1-1)×n+2 1=2n2+23n+1; 当 n 为偶数时,cn=n2×(2n+1)=2n22+n;
?2n2+23n+1,n为奇数, ?? 所以 cn= 2n22+n,n为偶数.
13


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