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高考文科数学二轮专题复习:02 函数 Word版含解析

专题 02 函 数 函数是中学数学中的重点内容,是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本章内容有 两条主线:一是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体的基本初等函数——一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函 数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等. 【知识要点】 §2-1 函 数 要了解映射的概念,映射是学习、研究函数的基础,对函数概念、函数性质的深刻理解 在很多情况下要借助映射这一概念. 1、设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.记作 f:A→B, 其中 x 叫原象,y 叫象. 2、设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法则 f,都有唯一确定 的数 y 与它对应,则这种映射叫做集合 A 上的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. 其中 x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构 成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确 定. 3、函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都 有原象.构成函数的三要素:定义域,值域和对应法则.其中定义域和对应法则是核心. 【复习要求】 1.了解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象. 2.能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数. 3.掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法),理解函数符号 f(x)(对应法则), 能依据一定的条件求出函数的对应法则. 4.理解定义域在三要素的地位,并会求定义域. 【例题分析】 例 1 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N.映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 x 映射到集合 B 中的元素 2x+x,则在映射 f 作用下,2 的象是______;20 的原象是______. 【分析】由已知,在映射 f 作用下 x 的象为 2x+x. 所以,2 的象是 22+2=6; 设象 20 的原象为 x,则 x 的象为 20,即 2x+x=20. 由于 x∈N,2x+x 随着 x 的增大而增大,又可以发现 24+4=20,所以 20 的原象是 4. x 1, x 0, 例2 设函数 f (x) x2 2x 2, x 则 0, f(1)=______;若 f(0)+f(a)=-2,则 a 的所有可能值为______. 【分析】从映射的角度看,函数就是映射,函数解析式就是映射的法则. 所以 f(1)=3. 又 f(0)=-1,所以 f(a)=-1, 当 a≤0 时,由 a-1=-1 得 a=0; 当 a>0 时,由-a2+2a+2=-1,即 a2-2a-3=0 得 a=3 或 a=-1(舍). 综上,a=0 或 a=3. 例 3 下列四组函数中,表示同一函数的是( ) (A) y x2 , y ( t )2 (B) y | x |, y t2 (C) y x2 1, y x 1 x 1 (D) y x, y x2 x 【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.(B)中两个函数的 定义域相同,化简后为 y=|x|及 y=|t|,法则也相同,所以选(B). 【评析】判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相 同. 一般有两个步骤:(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致.(2) 对解析式进行合理变形的情况下,看法则是否一致. 例 4 求下列函数的定义域 (1) y x 1 1; (2) y 1 ; x2 2x 3 (3) y lg(3 x) (x 1)0; x 1 x2 (4) y |2x|2 ; 解:(1)由|x-1|-1≥0,得|x-1|≥1,所以 x-1≥1 或 x-1≤-1,所以 x≥2 或 x≤0. 所以,所求函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤0}. (2)由 x2+2x-3>0 得,x>1 或 x<-3. 所以,所求函数的定义域为{x|x>1 或 x<-3}. 3 x 0, (3)由 x 0, 得 x<3,且 x≠0,x≠1, x 1 0, 所以,所求函数的定义域为{x|x<3,且 x≠0,x≠1} (4)由 1 x | 2 2 x 0, | 2 0,得1| 2x 2 x | 02,,即x 1 x 1, 0,且x 4, 所以-1≤x≤1,且 x≠0. 所以,所求函数定义域为{x|-1≤x≤1,且 x≠0}. 例 5 已知函数 f(x)的定义域为(0,1),求函数 f(x+1)及 f(x2)的定义域. 【分析】此题的题设条件中未给出函数 f(x)的解析式,这就要求我们根据函数三要素之 间的相互制约关系明确两件事情:①定义域是指 x 的取值范围;②受对应法则 f 制约的量的 取值范围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由 f(x)的定义域是(0,1)可知法则 f 制约的量的 取值范围是(0,1),而在函数 f(x+1)中,受 f 直接制约的是 x+1,而定义域是指 x 的范围, 因此通过解不等式 0<x+1<1 得-1<x<0,即 f(x+1)的定义域是(-1,0).同理可得 f(x2) 的定义域为{x|-1<x<1,且 x≠0}. 例 6 如图,用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长 为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并指出定义域. 解:根据题意,AB=2x. πx, AD l 2x πx 2 所以, y 2x l 2x

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