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【数学】2020届广东省佛山市高三上学期第一次模拟考试数学理试题

2019~2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数 学(理科)

2020 年 1 月 7 日

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:

1.

答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2.

选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;

如需改动,

先划掉原的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案

无效.

4.

请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内,复数 5i 对应的点位于( ) 1 2i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知集合A | 2 2 0 ,B | | |1,则A∩B ( )

A.(2, 1)

B.(1,1)

C. (0,1)

D.(1, 2)

3.已知, y R ,且 y 0 ,则(



A. cos cos y 0 B. cos cos y 0 C.ln ln y 0

D.ln ln y 0

4.函数 f ()的图像向左平移一个单位长度,所得图像与y e 关于y 轴对称,则 f () (



A. ex1

B. ex1

C. e x1

D. e x1

5.希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出,先作一个正三角形,

挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶

点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个

“中心三角形”,我们用白色代表挖去的面积,那么

黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形为希尔宾斯

基三角形).在如图第3个大正三角形中随机取点,则落在黑色区域的概率为( )

A. 3

B. 9

C. 7

D. 2

5

16

16

5

6. 已 知 等 比 数 列 {an} 满 足 a1 a2 36, a1 a3 24 , 则 使 得 a1a2 an 取 得 最 大 值 的 n 为 (



A.3

B.4

C.5

D.6

7.已知 为锐角, cos 3 则 tan( ) (



5

4

8.已知双曲线 C x2 a2



y2 b2

1 ,O 为坐标原点,直线 x



a 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A,

B

两点,

若△OAB 是边长为 2 的等边三角形,则双曲线 C 的方程为( )

9.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是清洁能,也是可再生能.世界各国致力于发展风力发 电,近10年,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,在 2014 年累计装机容量就突 破了 100GW,达到 114.6GW,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能升级换代行动中体现 出大国的担当与决心.以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.

根据以上信息,正确的统计结论是( )

A.截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值

B.10 年全球新增装机容量连年攀升

C.10 年中国新增装机容量平均超过 20GW

D.截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3

10.已知函数

f

(x)



2

1 x

1



2

x



1

,且

f

(a2)

f

(2a)



3 ,则 a

的取值范围是(



11.已知函数 f () sin sin(π),现给出如下结论:

① f ()是奇函数

② f ()是周期函数

③ f ()在区间(0, π) 上有三个零点

④f () 的最大值为 2

其中正确结论的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

12.已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长为4 ,底面边长为 2 ,用一个平面截此棱柱,与侧棱AA1 , BB1 ,CC1分别交于点 M , N , Q ,若△ MNQ 为直角三角形,则△ MNQ 面积的最大值为( )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~ 23 为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有

种.(用数字作答)

14.在△ ABC 中, AB 2 , AC 3 , P 是边 BC 的垂直平分线上一点,则 AP BC

。 函数 f () ln 和 g() a x2 的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则这条切线方程



.

16.在平面直角坐标系 Oy 中,对曲线 C 上任意一点 P ,P 到直线 1 0 的距离与该点到点 O 的距离

之和等于 2,则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是

;设点 A ( 5 ,0) ,则|PO|+|PA|的最 4

小值为

.

三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.
17.(本小题满分 12 分) 绿水青山就是金山银山.近年,祖国各地依托本地自然资,打造旅游产业,旅游业正蓬勃发
展。景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念,合力使旅游市场走上 规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目:在参观某特色景点入口处会为每 位游客拍一张与景点的合影,参观后,在景点出口处会将刚拍下的照片打印出,游客可自由选择 是否带走照片,若带走照片则需支付 20 元,没有被带走的照片会收集起统一销毁。该项目运营一 段时间后,统计出平均只有三成的游客会选择带走照片.为改善运营状况,该项目组就照片收费 与游客消费意愿关系作了市场调研,发现收费与消费意愿有较强的线性相关性,并统计出在原有 的基础上,价格每下调 1 元,游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05,假设平均每天约有 5000 人参观该特色景点,每张照片的综合成本为 5 元,假设每个游客是否购买照片相互独立。 (1)若调整为支付 10 元就可带走照片,该项目每天的平均利润比调整前多还是少? (2)要使每天的平均利润达到最大值,应如何定价?

18.(本小题满分 12 分)
在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a sin B b sin ( A ) . 3
(1)求 A;

(2)D 是线段 BC 上的点,若 AD BD 2 ,CD 3 ,求△ ADC 的面积.

19.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C

x2 a2



y2 b2

1(a

b



0)

的离心率为

1 2

,点

A (1,

3) 在椭圆 2

C

上,直线 l1 过椭

圆 C 的有交点与上顶点,动直线 l2 : y kx与椭圆 C 交于 M、N 两点,交 l1 于 P 点. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知 O 为坐标原点,若点 P 满足|OP|= 1 |MN|,求此时|MN|的长度. 4

20.(本小题满分 12 分)
如图,三棱锥 P ABC 中,平面 PAB 平面 ABC , PA PB ,APB ACB 90 , 点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点,点 G 是△ BCE 的重心. (1)证明: GF / / 平面 PAC ; (2)若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ,求二面角BAPC的余弦值.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f () 1 2 sin , 0 (1)求 f () 的最小值; (2)证明: f (x) e2x .

请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.

22.(本小题满分 10 分)[选修 4 4 坐标系与参数方程选讲]

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C

的参数方程为



x



4m2

(m

为参数)

y 4m

(1)写出曲线C的普通方程,并说明它表示什么曲线;

(2)已知倾斜角互补的两条直线 l1, l2 ,其中 l1 与曲线C交于A,B两点,l2 与C交于M,N两点,l1 与

l2 交于点 P(x0 , y0 ) ,求证:| PA| | PB || PM | | PN | .

23.(本小题满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 f (x) | x a | | x 1| . (1)若 f (a) 2 ,求 a 的取值范围; (2)当 x [a, a k]时,函数 f (x) 的值域为[1,3],求的值.


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