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上海市2020届高三数学5月模拟试题(含解析)

高三数学 5 月模拟试题(含解析)

一.填空题

z1

1.若复数 z 满足

? ? 1+2i,则 z 等于_____.

?i i

【答案】1+i 【解析】 【分析】 由题得 iz+i=﹣1+2i,利用复数的乘除运算化简即可

z1

【详解】∵

? iz+i

?i i

∴iz+i=﹣1+2i ∴z=1+i 故答案为:1+i. 【点睛】本题考查行列式,复数的运算,准确计算是关键,是基础题

2.计算:

lim
n??

Cn3 8n3 ?1

?

_____

【答案】 1 48
【解析】

分析】

【由二项式定理得Cn3

?

n?n

? 1? ? n
6

?

2?

?

n3

?

3n2 6

?

2n

,再求极限即可

【详解】 Cn3

?

n?n

? 1? ? n
6

?

2?

?

n3

?

3n2 6

?

2n





lim
n??

Cn3 8n3 ?1

?

lim
n??

n3

? 3n2 ? 2n 48n3 ? 6

?

lim

1?

3 n

?

2 n2

n??

48

?

6 n3

?

1. 48

故答案为: 1 . 48

【点睛】本题考查极限,考查二项式定理,是基础题

-1-

3.某人 5 次上班途中所花 时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平 均数为 10,方差为 2,则 x2+y2=_____.
的 【答案】4
【解析】 试题分析:利用平均数、方差的概念列出关于 x、y 的方程组,解这个方程组需要用一些技巧, 因为不要直接求出 x、y,只要求出|x-y|即可,故可设 x=10+t,y=10-t,求解即可。解:由 题意可得: x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,设 x=10+t,y=10-t,则 2t2=8,解得 t=±2, ∴|x-y|=2|t|=4,故答案为 4. 考点:平均值 点评:本题考查统计的基本知识,样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法,比 较简单.

4.关于

x,y

的二元一次方程的增广矩阵为

?3 ??1

2 1

1 m

? ? ?

.若

Dx=5,则实数

m=_____.

【答案】-2

【解析】

【分析】
由题意,Dx ? 1? 2m ? 5,即可求出 m 的值. 3?2
【详解】由题意,Dx ? 1? 2m ? 5,∴m=-2, 3?2
故答案为-2.

【点睛】本题考查 x,y 的二元一次方程的增广矩阵,考查学生的计算能力,比较基础.

?2x ? y ? 2 ? 0

5.已知实数 x、y 满足不等式组 ??x ? y ? 0 ?? y ? 0

,则 w ? y ?1 的取值范围是_____ x ?1

-2-

【答案】

????

1 2

,1???

【解析】

【分析】

画出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用 w 的几何意义即可得到结论.

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).

w ? y ?1 的几何意义为阴影部分的动点(x,y)到定点 P(﹣1,1)连线的斜率的取值范围. x ?1
由图象可知当点与 OB 平行时,直线的斜率最大,

当点位于 A 时,直线的斜率最小,由 A(1,0),∴AP 的斜率 k ? ? 1 2
又 OB 的斜率 k=1

∴ ? 1 ? w ? 1. 2

则w

?

y x

?1 ?1

的取值范围是:

????

1 2

,1???



故答案为:

????

1 2

,1???



【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

6.在 ( x ? 1 )10 展开式中,含 x 的负整数指数幂的项共有_____项. 2x
【答案】4

【解析】 【分析】

先写出展开式的通项: Tr?1

?

? ??

?

1 2

?r ??

10?3r
C1r0 x 2



0≤r≤10



5?

3r 2

为负整数,可求

r

的值,

-3-

即可求解

【详解】

? ??

x

?

1 2x

10
? ??

展开式的通项为 Tr ?1

?

? ??

?

1 2

r
? ? ?

10?3r
C1r0 x 2

其中

r=0,1,2…10

要使 x 的指数为负整数有 r=4,6,8,10

故含 x 的负整数指数幂的项共有 4 项

故答案为:4 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用,解题的关键是根据通项及 r 的范围确定 r

的值

7.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这 个球的体积之比为_____. 【答案】 【解析】

试题分析:设圆柱的高为 2,由题意圆柱的侧面积为 2×2π=4π,圆柱的体积为? ?12 ? 2 ? 2? ,

则球的表面积为 4π,故球的半径为 1;球的体积为 4? ,∴这个圆柱的体积与这个球的体积 3

之比为

2? 4?

?

3 2

,故填

3

考点:本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式

点评:此类问题主要考查学生的计算能力,正确利用题目条件,面积相等关系,挖掘题设中

的条件,解题才能得心应手

8.连续投骰子两次得到的点数分别为

m,n,作向量

ar

?

(m,n),则 ar

r 与b

?

(1,﹣1)的夹

角成为直角三角形内角的概率是_____.
【答案】 7 12
【解析】

【分析】

根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数,满足条件的事件数通过列举得到即

可求解

-4-

【详解】由题意知本题是一个古典概型,

试验发生包含的所有事件数 6×6,

∵m>0,n>0,

∴ ar

?

r (m,n)与 b

?

(1,﹣1)不可能同向.

∴夹角 θ≠0.

∵θ∈(0, ? ] 2

ar

r ?b

?

0,

∴m﹣n≥0,

即 m≥n.

当 m=6 时,n=6,5,4,3,2,1;

当 m=5 时,n=5,4,3,2,1;

当 m=4 时,n=4,3,2,1;

当 m=3 时,n=3,2,1;

当 m=2 时,n=2,1;

当 m=1 时,n=1.

∴满足条件的事件数 6+5+4+3+2+1

∴概率 P ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 7 .

6?6

12

故答案为: 7 12

【点睛】本题考查古典概型,考查向量数量积,考查分类讨论思想,准确计算是关键

9.已知集合 A={(x,y)||x﹣a|+|y﹣1|≤1},B={(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣1)2≤1},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为_____. 【答案】[﹣1,3] 【解析】 【分析】 先分别画出集合 A={(x,y)||x﹣a|+|y﹣1|≤1},B={(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣1)2≤1}, 表示的平面图形,集合 A 表示是一个正方形,集合 B 表示一个圆.再结合题设条件,欲使得 A∩B≠?,只须 A 或 B 点在圆内即可,将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可.
-5-

【详解】分别画出集合 A={(x,y)||x﹣a|+|y﹣1|≤1},B={(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣1) 2≤1},表示的平面图形,集合 A 表示是一个正方形,集合 B 表示一个圆.如图所示. 其中 A(a+1,1),B(a﹣1,1), 欲使得 A∩B≠?,只须 A 或 B 点在圆内即可, ∴(a+1﹣1)2+(1﹣1)2≤1 或(a﹣1﹣1)2+(1﹣1)2≤1, 解得:﹣1≤a≤1 或 1≤a≤3, 即﹣1≤a≤3. 故答案为:[﹣1,3].
【点睛】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域、集合关系中的参数取值问题、 不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于 基础题.
10.在 ?ABC 中, BC ? 2, AC ? 1,以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD ( B 为直角顶点, C、D 两点在直线 AB 两侧),当 ?C 变化时,线段 CD 长的最大值为__________.
【答案】3 【解析】
试 题 分 析 : 设 ?CBA ? ? , AB ? BD ? a , 则 在 三 角 形 BCD 中 , 由 余 弦 定 理 可 知 CD2 ? 2 ? a2 ? 2 2 sin? , 在 三 角 形 ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 知 cos? ? a2 ?1 , 可 得
2 2a sin? ? ?a4 ? 6a2 ?1 , 所 以 CD2 ? 2 ? a2 ? ?a4 ? 6a2 ?1 , 令 t ? 2 ? a2 , 则
2 2a
-6-

CD2 ? t ? ?t2 ?10t ?17 ? t ? ?(t ? 5)2 ? 8 ? 2 ? (t ? 5)2 ?[?(t ? 5)2 ? 8] ? 5 ? 9 , 当 (t ? 5)2 ? 4 时等号成立.
考点:解三角形

11.如图,B



AC

的中点,

uuur BE

?

uuur 2OB

,P

是平行四边形

BCDE

内(含边界)的一点,且

uuur uuur uuur
OP ? xOA? yOB? x,y ? R? .有以下结论:

①当 x=0 时,y∈[2,3];

②当 P 是线段 CE 的中点时, x ? ? 1 ,y ? 5 ;

2

2

③若 x+y 为定值 1,则在平面直角坐标系中,点 P 的轨迹是一条线段;

④x﹣y 的最大值为﹣1;

其中你认为正确的所有结论的序号为_____.

【答案】②③④

【解析】

【分析】

利用向量共线的充要条件判断出①错,③对;利用向量的运算法则求出

uuur OP

,求出

x,y

判断

出②对,利用三点共线解得④对
uuur uuur 【详解】对于①当 OP ? yOB ,据共线向量的充要条件得到 P 在线段 BE 上,故 1≤y≤3,故

①错

? ? 对于②当

P

是线段

CE

的中点时,

uuur OP

?

uuur OE

?

uuur EP

?

uuur 3OB

?

1

uuur uuur EB ? BC

2

? ? ?

uuur 3OB

?

1

uuur uuur ?2OB ? AB

?

?

1

uuur OA

?

5

uuur OB

故②对

2

22

对于③x+y 为定值 1 时,A,B,P 三点共线,又 P 是平行四边形 BCDE 内(含边界)的一点,

故 P 的轨迹是线段,故③对

-7-

? ? ? ? uuur uuur uuur uuur

uuur

uuur uuur uuur uuur uuur

对④, OP ? xOA ? yOB ? xOA ? y ?OB ,令 ?OB ? OF ,则 OP ? xOA ? y OF ,当

P, A, F 共线,则 x ? y ? 1,当 AF 平移到过 B 时,x﹣y 的最大值为﹣1,故④对

故答案为②③④ 【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力,是中档题

12.对任意实数

x

和任意?

?

???0,?2

? ??

,恒有 (x

?

3?

2sin?cos? )2

?

(x

?

asin?

?

acos? )2

?

1 8



则实数 a 的取值范围为_____. 【答案】a ? 6 或 a ? 7
2
【解析】

【分析】

原 不 等 式 等 价 于 ( 3+2sinθcosθ ﹣ asinθ ﹣ acosθ ) 2 ? 1 , θ∈[0 , ? ] , 从 而 可 得

4

2

a?

3 ? 2sin?cos?

?

1 2

,或

a?

3 ? 2sin?cos?

?1 2

,于是问题转化为求函数的最值问题加以

sin? ? cos?

sin? ? cos?

解决,对上述分式进行合理变形,利用函数单调性、基本不等式即可求得最值.

【详解】原不等式等价于(3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ)2 ? 1 ,θ∈[0, ? ]①,

4

2

由①得

a

?

3

?

2sin? cos?

?

1 2

②,或

a

?

3

?

2sin?

cos?

?

1 2

③,

sin? ? cos?

sin? ? cos?

在②中,1 ? sin? ? cos? ? 2 ,

3?

2sin? cos?

?

1 2

? (sinθ+cosθ) ?

5
2?sin? ?

cos?

?



sin? ? cos?

-8-

显然当 1≤x ?

2

时,f(x)=x

?

5 2x

为减函数,从而上式最大值为

f(1)=1

?

5 2

?

7 2



由此可得 a ? 7 ; 2

在③中,

3 ? 2sin?cos? ? sin? ? cos?

1 2

? (sinθ+cosθ) ?

3
2?sin? ?

cos?

?

?

2

3? 2

6,

当且仅当 sinθ+cosθ ? 6 时取等号, 2

所以

3?

2sin? cos?

?

1 2

的最小值为

6,

sin? ? cos?

由此可得 a ? 6 ,

综上,a ?

6



a

?

7 2



故答案为:a ? 6 或 a ? 7 . 2

【点睛】本题考查函数恒成立问题,转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法,解决

本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉 x,变为关于 θ 的恒等式处理.

二.选择题
? ? ? ? 13.设集合 A= x x2 ? 5x ? 4 ? 0 B= x x ? a ? 1 ,则“ a ??2,3? ”是“ B ? A ”的

() A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A ? ?1,4?, B ? ?a ?1,a ?1? ,



B

?

A

,则

?a ??a

?1 ?1

? ?

1 4

,解得

a

??2,

3?



所以 a ??2,3? 是 a ??2,3? 的充分不必要条件,故选 A。

-9-

14.实数 a,b 满足 a?b>0 且 a≠b,由 a、b、 a ? b 、 ab 按一定顺序构成的数列( ) 2
A. 可能是等差数列,也可能是等比数列

B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列

C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列

D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列

【答案】B

【解析】

【分析】

由实数 a,b 满足 a?b>0 且 a≠b,分 a,b>0 和 a,b<0,两种情况分析根据等差数列的定
义和等比数列的定义,讨论 a、b、 a ? b 、 ab 按一定顺序构成等差(比)数列时,是否有 2
满足条件的 a,b 的值,最后综合讨论结果,可得答案.

【详解】(1)若 a>b>0

则有 a> a ? b > ab >b 2
若能构成等差数列,则 a+b= a ? b + 2

ab ,得 a ? b =2 2

ab ,

解得 a=b(舍),即此时无法构成等差数列

若能构成等比数列,则 a?b= a ? b ? ab ,得 a ? b ? 2 ab ,

2

2

解得 a=b(舍),即此时无法构成等比数列

(2)若 b<a<0,
则有 ab ? a ? a ? b ? b 2
若能构成等差数列,则 ab ? b ? a ? a ? b ,得 2 ab =3a-b 2
于是 b<3a

4ab=9a2-6ab+b2

得 b=9a,或 b=a(舍)

当 b=9a 时这四个数为-3a,a,5a,9a,成等差数列.

于是 b=9a<0,满足题意
但此时 ab ?b<0,a? a ? b >0,不可能相等,故仍无法构成等比数列 2
故选 B

- 10 -

【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定,熟练掌握等差数列和等比 数列的定义和性质是解答的关键.

15.已知双曲线 x2 ? y2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交
a2 b2
于 A, B 两点, O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? ( )

A. 1 【答案】C

B. 3 2

C. 2

D. 3

【解析】

双曲线的两条渐近线方程是 y ? b x, y ? ? b x ,抛物线的准线方程为 x ? ? p ,联立渐近线

a

a

2

与 准 线 方 程 可 得 两 交 点 坐 标 为 A(? p , pb), B(? p , ? pb) , 所 以 AB ? pb , 所 以

2 2a

2 2a

a

p2b ? 3 。 因为双曲线离心率是 2,所以 b ? 3 。所以 p2 ? 4,? p ? 2 。故选 B。

4a

a

16.若函数 f(x)满足:f(|x|)=|f(x)|,则称 f(x)为“对等函数”,给出以下三个

命题:

①定义域为 R 的“对等函数”,其图象一定过原点;

②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”;

③若定义域是 D 函数 y=f(x)是“对等函数”,则{y|y=f(x),x∈D}? {y|y≥0};

在上述命题中,真命题的个数是( )

的 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

由对等函数的定义可判断①②,举反例说明③错误

【详解】①定义域为 R 的“对等函数”,可令 x=0,即 f(0)=|f(0)|,

解得 f(0)=0,或 f(0)=1,故①错误;

②两个定义域相同的“对等函数”,设 y=f(x)和 y=g(x)均为“对等函数”,

可得 f(|x|)=|f(x)|,g(|x|)=|g(x)|,

- 11 -

设 F(x)=f(x)g(x),即有 F(|x|)=f(|x|)g(|x|)=|f(x)g(x)|=|F(x)|, 则乘积一定是“对等函数,故②正确”; ③若定义域是 D 的函数 y=f(x)是“对等函数”,可得 f(|x|)=|f(x)|, 可取 f(x)=x|x|,x∈R,可得 x≥0 时,f(x)≥0;x<0 时,f(x)<0,故③错误. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的新定义问题,理解题意是关键,是基础题

三.解答题
uuur uuur 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b ? 4 , BA? BC ? 8 .

(1)求 a2 ? c2 的值;

(2)求函数 f (B) ? 3 sin B cos B ? cos2 B 的值域.

【答案】(1)32(2)

???1,

3 2

? ??

【解析】

试题分析:(1)由向量的数量积运算变形为三角形三边及内角表示,结合已知和所求的为有

关于三边问题,因此采用余弦定理将其结合起来(2)中由 a2 ? c2 ? 16 的值借助于不等式性

质得到 B 角的范围,将所求的函数式整理化简为 f ?B? ? Asin ??B ??? 的形式,进而可利用

三角函数单调性求解最值
uuur uuur 试题解析:(1)因为 BA? BC ? 8 ,所以 ac cos B ? 8 . 3 分

由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? c2 ?16 ,

因为 b ? 4 ,所以 a2 ? c2 ? 32 . 6 分

(2)因为 a2 ? c2 ? 2ac ,所以 ac ?16 , 8 分

所以 cos B ? 8 ? 1 . ac 2
因为 B??0, π? ,所以 0 ? B ? π . 10 分
3

因为 f (B) ? 3 sin B cos B ? cos2 B ? 3 sin 2B ? 1 (1? cos 2B) ? sin(2B ? π) ? 1 , 12

2

2

62

- 12 -



由于

π 6

?

2B

?

π 6

?

5π 6

,所以

sin(2B

?

π) 6

?

?1 ?? 2

,1???



所以

f

(B)

的值域为

???1,

3 2

? ??



14 分

考点:1.余弦定理解三角形;2.均值不等式求最值;3.三角函数化简及性质

18.如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD⊥平 面 PAB.

(1)求证:AB⊥平面 PCB; (2)求二面角 C﹣PA﹣B 的大小的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2) 3 . 3
【解析】 【分析】 ( 1)由题设条件,易证得 PC⊥AB,CD⊥AB,故可由线面垂直的判定定理证得 AB⊥平面 PCB; (2)由图形知,取 AP 的中点 O,连接 CO、DO,可证得∠COD 为二面角 C﹣PA﹣B 的平面角, 在△CDO 中求∠COD 即可. 【详解】(1)证明:∵PC⊥平面 ABC,AB? 平面 ABC, ∴PC⊥AB. ∵CD⊥平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴CD⊥AB.又 PC∩CD=C,∴AB⊥平面 PCB. (2)取 AP 的中点 O,连接 CO、DO.
- 13 -

∵PC=AC=2,∴CO⊥PA,CO ? 2 ,
∵CD⊥平面 PAB,由三垂线定理的逆定理,得 DO⊥PA. ∴∠COD 为二面角 C﹣PA﹣B 的平面角. 由(1)AB⊥平面 PCB,∴AB⊥BC,
又∵AB=BC,AC=2,求得 BC ? 2 PB ? 6 ,CD ? 2 3
3 ∴ sin?COD ? CD ? 6
CO 3 cos∠COD ? 3 .
3
点睛】本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直,求二面角,空间角解决的关键是做角, 由图形的结构及题设条件正确作出平面角,是求角的关键.
【19.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长度 差异). (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,求内环 线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时,外环线列车平均速度为 30 千 米/小时.现内、外环线共有 18 列列车全部投入运行,要使内外环线乘客的最长候车时间之 差不超过 1 分钟,向内、外环线应各投入几列列车运行? 【答案】(1)20 千米/小时;(2)内环线投入 10 列列车运行,外环线投入 8 列列车. 【解析】 【分析】 - 14 -

(1)设内环线列车的平均速度为 v 千米/小时,根据内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,可

得 30 ? 60 ? 10 ,从而可求内环线列车的最小平均速度;(2)设内环线投入 x 列列车运行,则 9v

外环线投入(18﹣x)列列车运行,分别求出内、外环线乘客最长候车时间 t1

?

30 25x

? 60

?

72 x



t2

?

30

30
?18 ?

x?

?

60

?

60 18 ?

x

,根据 t1 ? t2

?

72 ? 60 x 18 ? x

? 1 ,解不等式,即可求得结论.

【详解】(1)设内环线列车的平均速度为 v 千米/小时,则要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,可得 30 ? 60 ? 10
9v ∴v≥20
∴要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,内环线列车的最小平均速度是 20 千米/小时; (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18﹣x)列列车运行,内、外环线乘客最 长候车时间分别为 t1,t2 分钟,

则 t1

?

30 25x

? 60

?

72 x

, t2

?

30
30?18 ?

x?

? 60

?

60 18 ?

x



t1 ? t2

?

72 ? 60 x 18 ? x

?1

?x2 ?150x ?1296 ? 0



? ?

x

2

?114x

?1296

?

0

∴ 150 ? 17316 ? x ? ?114 ? 18180

2

2

∵x∈N+,∴x=10

∴当内环线投入 10 列列车运行,外环线投入 8 列列车时,内外环线乘客的最长候车时间之差

不超过 1 分钟.

【点睛】本题考查函数模型的构建,考查利用数学模型解决实际问题,解题的关键是正确求

出乘客最长候车时间.

20.已知抛物线 G 的顶点在原点,焦点在 y 轴正半轴上,点 P(m,4)到其准线的距离等于 5. (1)求抛物线 G 的方程; (2)如图,过抛物线 G 的焦点的直线依次与抛物线 G 及圆 x2+(y﹣1)2=1 交于 A、C、D、B 四点,试证明|AC|?|BD|为定值;
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(3)过 A、B 分别作抛物 G 的切线 l1,l2 且 l1,l2 交于点 M,试求△ACM 与△BDM 面积之和的 最小值.

【答案】(1)x2=4y;(2)详见解析;(3)2.

【解析】

【分析】 (1)利用抛物线的焦半径公式求 P;(2)设直线 AB 方 y=kx+1,与抛物线联立消去 x ,结合 焦半径公式化简从而得到定值;(3)欲求面积之和的最小值,利用直线 AB 的斜率作为自变量,

建立函数模型,转化成求函数的最值问题.
【详解】(1)由题知,抛物线的准线方程为 y+1=0,故 p ? 1 2
所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)当直线 AB 的斜率不存在时,直线与抛物线只有一个交点, 故直线 AB 的斜率一定存在, 设直线 AB 方 y=kx+1 交抛物线 C 于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AC|=y1,|BD|=y2,

?x2 ? 4y 由?

得 x2﹣4kx﹣4=0,

? y ? kx ?1

显然△>0,则 x1+x2=4k,x1?x2=﹣4,

所以 y1?y2 ? x12 ? x22 ? 1,所以|AC|?|BD|为定值 1. 16

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(3)由 x2=4y,y ? 1 x2, y' ? 1 x,

4

2

得直线

AM

方程

y?

1 4

x12

?

1 2

x1(x﹣x1)(1),

直线

BM

方程

y?

1 4

x22

?

1 2

x2(x﹣x2)(2),

由(2)﹣(1)得

1 2

(x1﹣x2)x

?

1 4

x12

?

1 4

x22



所以 x ? 1 (x1+x2)=2k,∴y=﹣1 2

所以点 M 坐标为(2k,﹣1),

k ? 2k ?1?1 点 M 到直线 AB 距离 d ? 1? k 2 ? 2 1? k2 ,

弦 AB 长为|AB| ? 1? k 2 (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 1? k 2 16k 2 ?16 ? 4(1+k2),

△ACM 与△BDM 面积之和,

S ? 1 (|AB|﹣2)?d ? 1 ? (2+4k2)×2

2

2

1? k2 ? 2(1+2k2)

1? k2 ,

当 k=0 时,即 AB 方程为 y=1 时,△ACM 与△BDM 面积之和最小值为 2.

【点睛】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力、探究能力、分析

问题和解决问题的能力,求解定值与最值的基本策略有二:一是从几何角度考虑,当题目中

的条件和结论明显体现几何特征及意义时,可用图形性质来解;二是从代数角度考虑,当题

中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时,可通过建立目标函数,求其目标函数的最值.

21.已知数列{an}是以 d 为公差的等差数列,{bn}数列是以 q 为公比的等比数列. (1)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2﹣2010,求整数 q 的值; (2)在(1)的条件下,试问数列中是否存在一项 bk,使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续 p (p∈N,p≥2)项的和?请说明理由; (3)若 b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数),求证: 数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项. 【答案】(1)2;(2)不存在;(3)详见解析. 【解析】 【分析】
(1)先求 an=2n,利用等比数列得 q 的不等式求解即可;(2)反证法推得矛盾即可;(3)由
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b1=ar,得 d ? ar ?q ?1? ,进而 q ? t ? r ?1 得 q 是整数,且 q≥2,再证明对于数列中任一项

s?r

s?r

bi (i>3)一定是数列{an}的项即可 【详解】(1)由题意知,an=2n,bn=2?qn﹣1,所以由 S3<a1003+5b2﹣2010, 可得到 b1+b2+b3<a1003+5b2﹣2010? b1﹣4b2+b3<2006﹣2010? q2﹣4q+3<0. 解得 1<q<3,又 q 为整数,所以 q=2;

(2)假设数列{bn}中存在一项 bk,满足 bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p﹣1, 因为 bn=2n,∴bk>bm+p﹣1? 2k>2m+p﹣1? k>m+p﹣1? k≥m+p(*)

? ? 又 bk

?

2k

? bm

? bm?1 ? bm?2

? ?bm? p?1

?

2m

? 2m?1 ? ?2m? p?1

?

2m

2p ?1 2 ?1

=2m+p﹣2m<2m+p,所以 k<m+p,此与(*)式矛盾.

所以,这样的项 bk 不存在; (3)由 b1=ar,得 b2=b1q=arq=as=ar+(s﹣r)d,

则 d ? ar ?q ?1?
s?r

又 b3

? b1q2

?

ar q2

?

at

?

ar

? ?t

?r?d

?

ar q 2

? ar

?

?t

?r??

ar ?q ?1?
s?r



从而

ar

?

q

?1?

?

q

?1?

?

ar

?

q

?1?

?

t s

? ?

r r



因为 as≠ar? b1≠b2,所以 q≠1,又 ar≠0,

故 q ? t ? r ?1.又 t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数, s?r

所以 q 是整数,且 q≥2,

对于数列中任一项 bi(这里只要讨论 i>3 的情形), 有 bi=arqi﹣1=ar+ar(qi﹣1﹣1) =ar+ar(q﹣1)(1+q+q2+? +qi﹣2) =ar+d(s﹣r)(1+q+q2+? +qi﹣2) =ar+[((s﹣r)(1+q+q2+? +qi﹣2)+1)﹣1]?d, 由于(s﹣r)(1+q+q2+? +qi﹣2)+1 是正整数,所以 bi 一定是数列{an}的项.

故得证.

【点睛】本题考查等差等比的通项公式,考查数列综合问题,考查推理能力,注意等价转化

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和分类讨论的合理运用,是难题
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