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高考数学二轮复习 限时训练18 点、直线、平面间的位置关系 文

【高考领航】2016 届高考数学二轮复习 限时训练 18 点、直线、平

面间的位置关系 文

(建议用时 30 分钟) 1.(2016·郑州模拟)设 α,β 分别为两个不同的平面,直线 l? α,则“l⊥β”是“α ⊥β”成立的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 A.依题意,由 l⊥β,l? α 可以推出 α⊥β;反过来,由 α⊥β,l? α 不能推

出 l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,选 A.

2.l1,l2,l3 是空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是( )

A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面

D.l1,l2,l3 共点? l1,l1,l3 共面

解析:选 B.在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线中的一

条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直线不一定

共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,

故 D 错. 3.(2016·东北三校高三模拟)直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α;②若 m∥β,α∥β,则 m∥α; ③若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α;④若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α.

其中正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选 D.由空间直线与平面平行关系可知①正确;由空间直线与平面平行关系可知②正

确;由线面垂直,线面平行的判定和性质可知③正确;由线面垂直,面面垂直可知④正确.故

选 D. 4.(2016·合肥检测)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,有以下

四个命题.

① αα∥∥βγ? β∥γ; ② αm∥⊥αβ? m⊥β;

③ mm⊥∥αβ? α⊥β; ④ mn∥ ? nα? m∥α.

其中正确的命题是( )

A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析:选 C.对于②,直线 m 与平面 β 可能平行或相交;对于④,直线 m 可能也在平面 α

内.而①③都是正确的命题,故选 C.

5.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,正方体的六个面

所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n 那么 m+n=( )

A.8

B.9

C.10

D.11

解析:选 A.如图,∵CE? 平面 ABPQ,CE∥平面 A1B1P1Q1,∴CE 与正方体的其余四个面所在平

面均相交,m=4,∵EF∥平面 BPP1B1,且 EF∥平面 AQQ1A1,∴EF 与正方体的其余四个面所在

平面均相交,n=4,故 m+n=8,选 A.

6.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 解析:选 C.直接判定每个选项是否可推出该结论. A 项,当 m∥α,n∥α 时,m,n 可能平行,可能相交,也可能异面,故错误; B 项,当 m∥a,m∥β,α,β 可能平行也可能相交,故错误; C 项,当 m∥n,m⊥α 时,n⊥α,故正确; D 项,当 m∥α,α⊥β 时,m 可能与 β 平行,可能在 β 内,也可能与 β 相交,故错误. 7.(2016·辽宁省大连市模拟)在空间中,a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平 面,则真命题是( ) A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a? α,b? β,α⊥β,则 a⊥b C.若 a∥α,a∥b,则 b∥α D.若 α∥β,a? α,则 a∥β 解析:选 D.对于 A,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,因 此选项 A 不正确;对于 B,分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的,因此 选项 B 不正确;对于 C,直线 b 可能位于平面 α 内,此时结论不正确;对于 D,直线 a 与平 面 β 没有公共点,因此 a∥β,选项 D 正确.故选 D. 8.(2016·南昌市高三模拟)已知两个不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 m,n,则下 列四个命题中不正确的是( ) A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.若 m⊥α,m∥n,n? β,则 α⊥β D.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n 解析:选 D.由线面平行、垂直之间的转化知 A、B 正确;对于 C,因为 m⊥α,m∥n,所以 n ⊥α,又 n? β,所以 β⊥α,即 C 正确;对于 D,m∥α,α∩β=n,则 m∥n,或 m 与 n 是异面直线,故 D 不正确. 9.(2016·青岛市高三模拟)设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,下列命题中正 确的是( ) A.若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β B.若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则 α∥β C.若 m∥α,n⊥β,m∥n,则 α⊥β

D.若 m∥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β 解析:选 C.

当 m∥α,n⊥β,m⊥n 时,α,β 可能垂直,也可能平行,故选项 A,B 错误;如图所示,

由 m∥n,得 m,n 确定一个平面 γ,设平面 γ 交平面 α 于直线 l,因为 m∥α,所以 m∥l,

l∥n,又 n⊥β,所以 l⊥β,又 l? α,所以 α⊥β,故选项 C 正确,D 错误,故选 C.

10.已知 α,β 是两个不同的平面,有下列三个条件:

①存在一个平面 γ,γ⊥α,γ∥β;

②存在一条直线 a,a? α,a⊥β;

③存在两条垂直的直线 a,b,a⊥β,b⊥α.

其中,所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )

A.①

B.②

C.③

D.①③

解析:选 D.对于①,存在一个平面 γ,γ⊥α,γ∥β,则 α⊥β,反之也成立,即“存

在一个平面 γ,γ⊥α,γ∥β”是“α⊥β”的充要条件,所以①对,可排除 B、C.

对于③,存在两条垂直的直线 a,b,则直线 a,b 所成的角为 90°,

因为 a⊥β,b⊥α,所以 α,β 所成的角为 90°,即 α⊥β,反之也成立,即“存在两

条垂直的直线 a,b,a⊥β,b⊥α”是“α⊥β”的充要条件,所以③对,可排除 A,选

D.

11.已知 α,β 是两个不同的平面,则 α∥β 的充分条件是( )

①存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β;

③存在两条平行直线 a,b,a? α,b? β,a∥β,b∥α;

④存在两条异面直线 a,b,a? α,b? β,a∥β,b∥α.

A.①③

B.①④

C.②③ 解析:

D.②④

选 B.存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β? α∥β,故①是 α∥β 的充分条件,①正确,排除 C,D;对于③:存在两条平行直线 a,b,a? α,b? β,如图所示,不能推出 α∥β,故 ③不是 α∥β 的充分条件,③不正确,排除 A.选 B. 12.如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分别是 AA1,A1D1,CC1,BC 的中点, 给出以下四个结论:①A1C⊥MN;②A1C∥平面 MNPQ;③A1C 与 PM 相交;④NC 与 PM 异面.其 中不正确的结论是( )

A.①

B.②

C.③

D.④

解析:选 B.作出过 M,N,P,Q 四点的截面交 C1D1 于点 S,交 AB 于点 R,

如图中的六边形 MNSPQR,显然点 A1,C 分别位于这个平面的两侧,故 A1C

与平面 MNPQ 一定相交,不可能平行,故结论②不正确. 13.已知 α,β,γ 是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有下列三个条件: ①a∥γ,b? β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a? γ.如果命题“α∩β=a,b? γ,且 __________,则 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是__________. 解析:由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直 线平行”可得,横线处可填入条件①或③. 答案:①或③ 14.(2015·长春模拟)下列命题中正确的是__________.(填上你认为正确的所有命题的序 号) ①空间中三个平面 α,β,γ,若 α⊥β,γ⊥β,则 α∥γ; ②若 a,b,c 为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与 a,b,c 都相交; ③球 O 与棱长为 a 的正四面体各面都相切,则该球的表面积为π6 a2; ④三棱锥 P?ABC 中,PA⊥BC,PB⊥AC,则 PC⊥AB. 解析:①中也可以 α⊥γ;②作平面与 a,b,c 都相交;③中可得球的半径为 r= 126a; ④中由 PA⊥BC,PB⊥AC 得点 P 在底面△ABC 的投影为△ABC 的垂心, 故 PC⊥AB. 答案:②③④ 15.如图,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的射影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC.其中正确命题的序号是__________. 解析:∵PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径, ∴CB⊥PA,CB⊥AC,∴CB⊥平面 PAC. 又 AF? 平面 PAC,∴CB⊥AF. 又∵F 是点 A 在 PC 上的射影, ∴AF⊥PC,又 PC∩BC=C,PC,BC? 面 PBC ∴AF⊥平面 PBC 故①③正确.又∵E 为 A 在 PB 上的射影,∴AE⊥PB, ∴PB⊥平面 AEF,故②正确. 而 AF⊥平面 PCB,∴AE 不可能垂直于平面 PBC.故④错. 答案:①②③ 16.(2016·西安模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N 分别是 AD,BE 的中点,将三角形 ADE 沿 AE 折起.下列说法正确的是__________(填上所有正确的序号).

①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥平面 DEC;②不论 D 折至何位置都有 MN⊥ AE;③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个 位置,使 EC⊥AD. 解析:连接 MN 交 AE 于点 P,则 MP∥DE,NP∥AB, ∵AB∥CD,∴NP∥CD. 对于①,由题意可得平面 MNP∥平面 DEC, ∴MN∥平面 DEC,故①正确; 对于②,∵AE⊥MP,AE⊥NP, ∴AE⊥平面 MNP, ∴AE⊥MN,故②正确; 对于③,∵NP∥AB,∴不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都不可能有 MN∥AB,故③不正 确; 对于④,由题意知 EC⊥AE,故在折起的过程中,当 EC⊥DE 时,EC⊥平面 ADE,∴EC⊥AD, 故④正确. 答案:①②④


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