0467.cC
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> >>

竞赛讲义-力矩平衡——上课_图文

力学中的三种力

1 弹力:物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力 。
弹簧: F kx(在弹性范围内)
2 摩擦力:相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或 相对运动趋势的力。
滑动摩擦力: fk N
? 摩擦力总是阻止相对运动。

1.关于弹力 1.1 弹力的大小
F=k x,k为弹簧的劲度系数。

1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反.

接触面:沿法线方向 绳子:沿绳子方向

N T

杆:较复杂

F

F

Fn

1.3 弹簧的串联与并联

k1

k2

F

1 1 1 k k1 k 2

k1 F
k2
k k1 k2

2.关于摩擦角

将摩擦力f和接触面对物体的正压力N F

N

合成一个力F,合力F称为全反力。

φ

在滑动摩擦情况下定义tanφ=μ=f/N,

α f0

则角φ为滑动摩擦角;在静摩擦力达 fm

到临界状态时,定义tanφ0=μs=fm/N, 则称φ0为静摩擦角。

例 2.1 如图所示,有一固定的斜面,其倾角=300,一质
量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上,它与斜面之间的摩擦系
数为=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边
缘平行的力 F 作用在物体上,F 从零逐渐增大。问:F 为 多大时,物体开始运动,开始运动的方向怎样?

解: F 2 ( m g s in)2 fm a x m gc o s

F
F m inm g 2c o s2 sin 2



2.40(N)

f

s in m g s in ta n 0 .7 2 2 4 6 .2 0 fm a x

F

mg sin

力矩、定轴转动物体的平衡

决定物体转动效果的两个因素:1.力的大小;2.力臂。 力和力臂的乘积越大,力对物体的转动作用就越大
力矩
反映力对物体转动效果的物理量

力矩(M):

力矩总是对某一转轴而言的,对 不同的转轴,同一个力 的力臂不
同,力矩也不同。

1.定义:力F和力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。

2.定义式:

M=FL

3.单位:N·m 读作“牛米”
注:N·m作为功的单位,叫做焦耳(J),N·m作为力矩的单位不能叫做焦耳(J)

4.物理意义:力矩是表示力对物体的转动作用的物理量。
力矩越大,力对物体的转动作用就越大; 力矩为零,力对物体不会有转动作用。

注意:力矩是表示力对物体的转动作用的物理量,物
体转动方向通常认为有顺时针和逆时针两个,使物体顺 时针转动的力矩通常表示为M顺(负力矩),使物体逆 时针转动的力矩通常表示为M逆(正力矩)。
力偶:二个大小相等、方向相反而不在一直线上 的平行力称为力偶。 力偶中的一个力与力偶臂(两力作用线之间的垂 直距离)的乘积叫做力偶矩。

转动平衡:有转动轴的物体在力的作用下,处于 静止或匀速转动状态。
即:力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的 力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。
平衡时: M顺= M逆(杠杆的平衡只是两个力矩的平衡)
拓展 三个力矩平衡时: M顺= M逆

一直角尺可绕过A点垂直纸面的轴转动,直角尺AB

边的长度为30cm , BC边的长度为40cm ,F1=F2=F3=10N ,

F1⊥BC ,F2⊥AC ,F3沿着BC的方向 (如图 ),则此三个

力对轴A的 力矩M1= 4 N·m , M2= 5 N·m



M3= 3 N·m ;其中使直角尺向逆时针方向转动的力

矩有 M2 、M3 ,使直角尺向顺时针方向转动的力矩

有 M1 ,试判断尺能否平衡?

A●

F2

30cm



B

40cm

C

F3

F1

如图所示,一根轻质木棒AO,A端用光滑铰链固定于墙上,
在O端下面吊一个重物,上面用细绳BO系于顶板上,现将B点 逐渐向右移动,并使棒AO始终保持水平,则下列判断中正确
的是 ( D )
A.BO绳上的拉力大小不变。
B.BO绳上的拉力先变大后变小。
C.BO绳上的拉力对轻杆的力矩先变大后变小。
D.BO绳上的拉力对轻杆的力矩不变。 B

A

O

匀质杆OA重P1,长为l1,能在竖直平面内绕固定铰链O 转动,此杆的A端用铰链连另一重为P2、长为l2的均匀 杆AB,在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与

水平线所成的角度与的大小,以及OA与AB间的作用

力。

O



A P1



F

B

P2

解:

(1)

以AB为研究对象,有
Fl2sinP2 l22 cos
tan P2
2F

O



A P1



F

B

以OA+AB为研究对象,有

P2

P 1 l 2 1 c o s P 2 ( F l 1 c o s l 2 2 ) F ( l 1 s i n l 2 s i n)
tan P1 2P2
2F

(2) 以AB为研究对象,其所受的合力为零,因此

N F2 P22

N

N 的方向与水平线的夹角满足:

A

F

ta n P2
F

B P2

两个可视为质点的小球a和b,用质量可忽略的刚

性细杆相连,放置在一个光滑的半球面内,如图所示。

已知小球a和b的质量之比为 3 ,细杆长度是球面半 径的 2 倍。两球处于平衡状态时,细杆与水平面的

夹角 是: ( D )

O

A. 45° C.22.5°

B.30° D.15°

b a
θ

解: 细杆长度是球面半径的 2倍, ∴∠aOb=90°

过O作竖直线OD,作ab的垂线OC,

aO D 4 5

由力矩平衡条件,ΣMO =0

m a g R sin m b g R cosO

tan mb 3

ma

3

β

β

θ

b

a

θC

30

D

mbg

4 53 0

mag

12 、 如 图 所 示 , 均 匀 球 重 为 G 30N , 放 在 倾 角 为
37 的 固 定 斜 面 上 , 球 的 顶 端 用 一 根 水 平 绳 子 拉
住,球静止。求: (1)绳子对球的拉力 T ;
(2)斜面对球的弹力 N 和摩擦力 f 。
O
α

解:
(1 )球 受 力 情 况 如 图 所 示 ,以 球 与 斜 面

交点为转动轴,根据力矩平衡可得

T (R R cos ) GR sin T GR sin 10 N R R cos

T

NO

A

f GB
α

(2)解法一:

以 球 心 为 转 轴 , 由 力 矩 平 衡 条 件 得 fR TR
f T 10 N
以斜面和绳的交点 A 为转轴,由力矩平衡条件得

G AC N AB

由于 AC AB
N G 30N

C

T

NO

A

f GB
α

解法二: 由受力平衡条件得,水平方向

T f cos N sin

竖直方向

G f sin N cos

以上两式联立可解得

T

N G 30N

NO

A

f GB
α

1.两个质量分布均匀的球,半径为 r ,重为 P ,
置于两端开口的圆筒内,圆筒半径为 R
(r R 2r) , 并 竖 直 放 在 水 平 面 上 ( 如 图 所 示 )。
设所有接触面均光滑,为使圆筒不至于倾倒,圆
筒的最小重量 Q 为多少?如果换成有底的圆筒,
情况又如何?
O2 O1

解法一:(整体法)
取两个球整体为研究对象,则地面对球的支持力
N 2P
取筒及两个球组成的系统为研究对象,受力情 况如图所示

N(2R r) Q R P r P(2R r) N

O2

Q 2(R r) P R

O1

P

P

Q

如果筒有底,则筒底总有弹力,因此筒无论如何都

不会翻。

25

解法二:(隔离法)

O2 球受力如图所示,根据平衡条件可知

N P cot P
对圆筒有

2R 2r
(2r)2 2R 2r 2

N'

N

O2



QR N (2r)2 (2R 2r)2 O 1

P

以上两式联立可解得

Q 2(R r) P R

2.如图所示,半径是 0.1m,重为10 3 N 的均匀 小球,放在光滑的竖直墙和长为 1m 的光滑木板(不 计重力)OA 之间,木板可绕轴 O 转动,木板和竖
直墙的夹角为 60o ,求墙对球的弹力和水平绳
对木板的拉力。
O

解:

对木板 OA 受力分析如图所示,由力矩平衡条件得


N1 Rctg 2

T

L cos



对球受力分析如图所示,根据平衡条件得

T

N1 sin G

N1 cos N2

由①②式得

GRctg

T

2 =4

L sin cos

② ③
3 N=6.93N


O
N1


N1 N2

由②③式得 N2=10N

G

28
3、重为 80 千克的人沿如图所示的梯子从底部向上 攀登,梯子质量为 25kg ,顶角为 30 。 已知 AC 和 CE 都为 5m 长且用铰链在 C 点处相连。 BD 为一 段轻绳,两端固定在梯子高度一半处。设梯子与 地面的摩擦可以忽略,求在人向上攀登过程中轻 绳中张力的变化规律。 (取重力加速度 g 10m/s2 )
C

B

D

A

E

解:
设梯子质量为 M ,长为 l ;人的质量为 m ,人到 A 点的距

离为 x 以整体为研究对象,受力情况如图所示 C

N1 N2 Mg mg

以 C 点为轴,应满足

B Mg

D

N2l sin 15 mg(l x) sin 15 N1l sin 15

N1 A

mg

N2 E

取左侧梯子为研究对象,以 C 点为轴,则

m g(l



x) sin 15 T



l 2

cos15

Mg 2



l 2

sin 15



N1l sin 15

以上三式联立解得

T (125160x) tan15

4.如图所示 , 一 个质 量 M 、 棱 边长 为 L 的 立方
体放在粗糙的平面上,在左上棱施力,使立方 体向前或向后翻转,立方体不与平面发生相对 滑动,求向前和向后施加力的最小值以及对应 的摩擦因数。
F



M



L

解:(1)如图图所示,当立方体向前翻滚时,以 B

点为转动轴,根据力矩平衡的条件可知,当力

臂最大时,施加的力最小,则施加的力 F 应垂

直于 BC

Mg L F 2 L

2

C

F 2Mg

M

4

若不发生相对滑动,此时应满足

(Mg F sin 45o) F cos 45o

1

3

F

B G

(2)如图所示,当立方体向后翻滚时,以 A 点为转 动轴,根据力矩平衡条件可知,当力臂最大时,施加 的力最小,则施加的力 F 应垂直于 AC

Mg L F L 2

F Mg 2

若不发生相对滑动,此时应满足

F Mg

1 2

FC

M A
G

6.质量为 m,长为 l 的均匀杆 AB,下端靠在竖直墙

上,借助绳 CD 保持倾斜状态。如图所示,绳的一端系

在墙上 C 点,一端系在杆上 D 点, AD 2 AB ,绳和 3
墙成 角,杆和墙成 角平衡。试求:为保持平衡,

墙面和杆间摩擦系数应取多大?
你可能需要的公式:
sin sin cos cos sin

C
A


cos cos cos m sin sin

a sin b c o sa 2 b 2sin ( )



D

( 为辅助角, tana )

B

b

解: 杆平衡时,取 B 轴,受力如图,则

T l sin( ) G l sin

3

2

T

3sin

G

2 sin( )

沿水平竖直方向分解,则可得:

f [1 3sin cos ]G 2 sin( )

N 3sin sin G 2 sin( )

C
A

T

D


B

G

故若 f 0 ,即 2tg tg 时, 可取任意值。
若 f 0 ,即 f 方向向上,即 2tg tg 时, 1 ( 2 1 )
3 tg tg
若 f 0 ,即 f 方向向下,即 2tg tg 时, 1 ( 1 2 ) 3 tg tg

35
8、三根质量为 m 、长为 l 的相同匀质棒,如图所示地紧靠在一起, 三棒与地接触点的连线构成一边长为 l 的正三角形。已知三个棒与地 面间的摩擦系数相等。 1.试求 OA 棒顶点所受作用力的大小与方向; 2.若在 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球,再求其顶端所受作 用力的大小和方向; 3.固定小球后,要使体系保持静止,则棒与地面之间的摩擦系数至 少为多少?
O

A

C

B

1.三根棒的顶端相互靠在一起,如图所示。
由对称性可知,任何一棒(如 OA 棒)的顶端受到其余两棒对
它的作用力的合力 F 必沿水平方向。如图所示,D 是 BC 的中点,有

AD= DO= 3 l 2
cos = 3 (1)
3
由 OA 棒所受外力相对 A 点力矩平衡,得 Fl sin -mg l cos =0 (2)
2 将(1)式代入(2)式,可解得
F = 2 mg 4

O

A

C

D B

O

F



l

mg

A

D

fA

2.当 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球后,三棒的受力

情况都发生了改变,且不再对称,但 OB 与 OC 两棒受力情况 相同,此二棒顶端的受力可看成是除原受力 F 外,再各受一个

力 TB 和 TC 的作用。且有 TB =TC ,既然此二棒仍平衡,可见 TB 和
TC 必沿各自棒的方向,故这两个力的合力沿 OD 方向,其反作 用力 T 作用于 OA 棒的顶端,如图所示。
由 T 和小球重力相对 A 点合力矩为零,可得

Tl sin -mg l cos =0
2

FA

T

2 T = mg
由图所示的 F 和 T4 的矢量关系。即可求得 OA 棒 NA
顶端所受的作用力 FA 为

O

F



l
2m g

FA

=2F

cos




2

-



=2F

sin

=

3 mg 3

A

D

fA

3.由OA棒所受的竖直方向和水平方向合外力为零,可分别得

N A = 2 m g - T s i n - 2 ( 1 )

fA = F + T c o s - 2 ( 2 )

FA

T

O

将 T =F = 2代m入g 上(1)(2)式,可得

F



4

5 NA=3mg

(3)

NA

l

2m g

A

D

fA

2 fA= 3 mg

(4)

将(3)(4)代入

fA ,N可A得A

A



fA NA

=

2 5

(5)

OB棒的受力情况如图所示。

由此棒竖直方向和水平方向合外力为零,可分别得
N B = m g + T B s in (6 )
fB = F + T Bc o s (7 )

由图所示的矢量关系,可得TB 、TC 与T 的关系为

T=2TBcos30o

1 12

6

T B=

T= 3

m g= m g

34

12

(8 )

将(8)式分别代入(6)(7)式,得

N B= m g+12 6m g

2=7m g 36

(9)

fB=4 2m g+1 2 6m g1 3=3 2m g (1 0 )

O

F



TB

NB

l

mg

B



fB

T

TC

TB

O

A

C

D B

将(9)(10)式代入

fB ,可得BNB

B



fB NB

=2 2 7

(11)

由于B、C棒受力情况完全相同,故C棒平衡所需的最小摩擦系数与B棒相等。比较 (5)式与(11)式,即可得棒与地面间的摩擦系数应满足

2 2 7

7.在一些重型机械和起重设备上,常用双块式电磁制动器,它的简化示意图
如图所示,O1 和 O2 为固定铰链。在电源接通时,A 杆被往下压,通过铰链 C1、C2、C3 使弹簧 S 被拉伸,制动块 B1、B2 与制动轮 D 脱离接触,机械得以 正常运转。当电源被切断后,A 杆不再有向下的压力(A 杆及图中所有连杆及
制动块所受重力皆忽略不计),于是弹簧回缩,使制动块产生制动效果。此
时 O1C1 和 O2C2 处于竖直位置。已知欲使正在匀速转动的 D 轮减速从而实现 制动,至少需要 M=1100N?m 的制动力矩,制动块与制动轮之间的摩擦系数 μ=0.40,弹簧不发生形变时的长度为 L=0.300m,制动轮直径 d=0.400m, 图示尺寸 a=0.065m,h1=0.245m,h2=0.340m,试求选用弹簧的劲度系数 k 最小要多大。

解: 如图所示,制动时制动块 B1、B2 对 D 的正压力分别为 N1

和 N2,滑动摩擦力分别为μN1 和μN2。则制动力矩

N2

M



N1

d 2

N2

d 2



以左、右两杆为研究对象,由力矩平衡条件可得

N1 D N2
N1

F (h1 h2 ) N1h1 N1a



N2h1 F (h1 h2 ) N2a



而 F 为弹簧的弹力,由胡克定律可得

F k(d 2a L)



由①②③④四式可得

k

(h12 2a2 )M

1.24 104 N / m

h1d (h1 h2 )(d 2a L)

此课件下载可自行编辑修改,供参考! 感谢您的支持,我们努力做得更好!


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 0467资源网 0467.cc
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。liunxqq@126.com