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高考总动员高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课件 文 新人教版_图文

第四节 基本不等式

考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等 式解决简单的最大(小)值问题.

[基础真题体验]

考查角度[利用基本不等式求最值]

1.(2014·重庆高考)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b

的最小值是( )

A.6+2 3

B.7+2 3

C.6+4 3

D.7+4 3

【解析】



题意得



ab>0,

ab≥0,

所以a>0, b>0.

又 log4(3a+4b)=log2 ab,

所以 log4(3a+4b)=log4ab,

所以 3a+4b=ab,故4a+3b=1.

a+4b>0,

所以 a+b=(a+b)4a+3b=7+3ba+4ab≥7+2 +4 3,当且仅当3ba=4ab时取等号.故选 D.

3ba·4ab=7

【答案】 D

2.(2013·福建高考)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是

()

A.[0,2]

B.[-2,0]

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2]

【解析】 ∵2x+2y≥2 2x+y,2x+2y=1, ∴2 2x+y≤1, ∴2x+y≤14=2-2, ∴x+y≤-2, 即(x+y)∈(-∞,-2].
【答案】 D

[命题规律预测]

从近几年高考试题看,利用基本不等式求最值

命题 是高考的命题热点,题目形式多样,难度中档,

规律 题目灵活性强,以考查运算能力与化归思想为

目的.

预测 2016 年高考仍将以利用基本不等式求最

考向 预测

值为命题热点,对于把等式转化为不等式或采 用“拆”、“拼”、“凑”的技巧将代数式变 形为可利用基本不等式的问题,将会是高考重

点.

考向一利用基本不等式求最值 【命题视角】 利用基本不等式求最值是高考的热点类 型,题型既有选择题、填空题,也有解题答,难度中档,常 见的三个命题角度:

角度一:知和求积的最值 【例 1-1】 (2014·四川高考)设 m∈R,过定点 A 的动 直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.

【思路点拨】 由题意可推得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,利 用基本不等式可得|PA|·|PB|的最大值.

【解析】 ∵直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 分别过 定点 A,B,
∴A(0,0),B(1,3). 当点 P 与点 A(或 B)重合时,|PA|·|PB|为零; 当点 P 与点 A,B 均不重合时,∵P 为直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 的交点,且易知此两直线垂直, ∴△APB 为直角三角形,∴|AP|2+|BP|2=|AB|2=10, ∴|PA|·|PB|≤|PA|2+2 |PB|2=120=5,当且仅当|PA|=|PB|时, 上式等号成立.

【答案】 5

1.利用基本不等式求最值应满足以下三个条件: (1)一正:各项或各因式均为正; (2)二定:和或积为定值; (3)三相等:各项或各等式能取到使等号成立的值. 简记:一正、二定、三相等. 如果解题过程中不满足上述条件,可以进行必要、合理 的拆分或配凑,以满足以上三个条件.

2.已知 x,y∈R+,若 x+y=P(定值),当且仅当 x=y 时,积 xy 有最大值,且最大值是41P2(简记:和为定值,积有 最大值).

角度二:知积求和的最值 【例 1-2】 已知正实数 x、y 满足 xy=1,则xy+yyx+x 的最小值为________.

【思路点拨】 先化简,然后利用基本不等式可得最小 值.

【解析】 由题意,xy+yyx+x=1+yx2+xy2+1≥2

y2 x2 x ·y

+2=2 xy+2=4.当且仅当 x=y=1 时等号成立.

【答案】 4

已知 x,y∈R+,若 xy=S(定值),当且仅当 x=y 时,和 x+y 有最小值,且最小值是 2 S(简记:积为定值,和有最小 值).

角度三:构造不等式求最值

【例 1-3】 若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y

的最小值是( )

24 A. 5

28 B. 5

C.5

D.6

【思路点拨】 将条件变形为53x+51y=1,然后用“1”的 替换求最值.

【解析】 由 x>0,y>0,且 x+3y=5xy,得53x+51y= 1.
∴3x+4y=(3x+4y)53x+51y =153+35xy+152xy≥153+2 35xy·152xy=5, 当且仅当 x=2y=1 时,等号成立. ∴3x+4y 的最小值为 5.
【答案】 C

解含有两个变量的代数式的最值时,常用“变量替换”、 “1”的替换,构造不等式求解

考向二简单的不等式证明
[典例剖析]
【例 2】 (2013·课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤13; (2)ab2+bc2+ca2≥1.

【思路点拨】 (1)将 a+b+c=1 两边平方,化简整理, 借助不等式的性质,即得结论.
(2)证ab2+bc2+ca2≥1,也即证ab2+bc2+ca2≥a+b+c. 可分别证ab2+b≥2a,bc2+c≥2b,ca2+a≥2c,然后相加 即得.

【解】 (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1. 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤31.

(2)因为ab2+b≥2a,bc2+c≥2b,ca2+a≥2c, 故ab2+bc2+ca2+(a+b+c)≥2(a+b+c), 即ab2+bc2+ca2≥a+b+c. 所以ab2+bc2+ca2≥1.

利用基本不等式证明不等式的方法: 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种 情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用条件 的可以先进行变形转化,常见的变形技巧有:拆项,并项, 也可以乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

[对点练习] 已知 x、y、z 是互不相等的正数,且 x+y+z=1,求 证:1x-11y-11z-1>8.

【证明】 因为 x,y,z 是互不相等的正数,且 x+y+z

=1,所以1x-1=1-x x=y+x z>2 xyz,



1y-1=1-y y=x+y z>2 yxz,



1z-1=1-z z=x+z y>2 zxy,



又 x,y,z 为正数,由①×②×③,得

1x-11y-11z-1>8.

考向三基本不等式的实际应用
[典例剖析]
【例 3】 (2014·福建高考)要制作一个容积为 4 m3,高 为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造 价是( )
A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元

【思路点拨】 设底面矩形的一条边长是 x m,总造价 是 y 元,把 y 与 x 的函数关系式表示出来,再利用基本不等 式求最小值.

【解析】 由题意知,体积 V=4 m3,高 h=1 m,所以 底面积 S=4 m2,设底面矩形的一条边长是 x m,则另一条边 长是4xm,又设总造价是 y 元,则 y=20×4+10×2x+8x≥80 +20 2x·8x=160,当且仅当 2x=8x,即 x=2 时取得等号.
【答案】 C

解不等式的实际应用问题时应注意的问题: (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、 销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅 读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题 求解; (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函 数;

(3)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基 本不等式求得函数的最值;
(4)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意 义的自变量的取值范围)内求.当运用基本不等式求最值时, 若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等 式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

[对点练习]

(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为

a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( )

A.a<v< ab

B.v= ab

a+b C. ab<v< 2

D.v=a+2 b

【解析】 设甲、乙两地之间的距离为 s. ∵a<b,∴v=as+2sbs=a2+sabbs=a2+abb<22aabb= ab. 又 v-a=a2+abb-a=aab+-ba2>aa2+-ba2=0,∴v>a.
【答案】 A

思想方法 14 消元思想在基本不等式求最值中的应用 所谓消元思想就是将未知数的个数由多到少,逐一解决 的思想方法,由于基本不等式“ ab≤a+2 b”只限于“二元” 范畴之内,故对于多元求最值问题可采用“消元”思想,转 化为“二元”问题,再用基本不等式求解.

[典例剖析]
【典例】 (2014·辽宁高考)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+b2-c=0 且使|2a+b|最大时,1a+2b+4c的最小 值为________.

【解析】 由题意知,c=4a2-2ab+b2=(2a+b)2-6ab,

∴(2a+b)2=c+6ab.若|2a+b|最大,则 ab>0.

当 a>0,b>0 时,

(2a+b)2=c+6ab=c+3×2a·b≤c+32a+ 2 b2,



(2a



b)2≤c



3 4

(2a



b)2





(2a



b)2≤4c



|2a



b|≤2 c,当且仅当 b=2a,即a= 2c, 时取等号. b= c

此时1a+2b+4c=

2+ c

2c+4c>0.

当 a<0,b<0 时,

(2a+b)2=c+6ab=c+3(-2a)·(-b)≤c+3-2a2-b2, ∴(2a+b)2≤4c,|2a+b|≤2 c,即-2a-b≤2 c.

当且仅当 b=2a,即a=- 2c, 时取等号. b=- c

此时1a+2b+4c=-

2- c

2c+4c=4c-

4c=4

1c-122-1≥

-1,当 1c=12,即 c=4 时等号成立.

综上可知,当 c=4,a=-1,b=-2 时,1a+2b+4cmin

=-1.

【答案】 -1

[对点练习]

(2013·山东高考)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-

z=0,则当xzy取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为( )

A.0

B.1

9 C.4

D.3

【解析】 z=x2-3xy+4y2(x>0,y>0,z>0), ∴xzy=x2-3xxyy+4y2=xy+4x1y-3≤4-1 3=1. 当且仅当xy=4xy,即 x=2y 时等号成立,此时 z=x2-3xy +4y2=4y2-6y2+4y2=2y2,∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-y12+ 2y=-1y-12+1,∴当 y=1 时,2x+1y-2z的最大值为 1.
【答案】 B

课堂达标训练

1.已知 a<0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值

是( )

1 A.2

B.1

C. 2

D.2

【解析】 ∵a+2b=2,且 a>0,b>0,∴2=a+ 2b≥2 2ab,∴ab≤12,当且仅当 a=2b 时等号成立.
【答案】 A

2.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为

A.18

B.36

()

C.81

D.243

【解析】 ∵m>0,n>0,mn=81,∴m+n≥2 mn= 2 81=18.当且仅当 m=n=9 时等号成立.
【答案】 A

3.已知函数 f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在 x=3 时取得最小 值,则 a=________.

【解析】 f(x)=4x+ax≥2 4x·ax=4 a,当且仅当 4x= ax,即 a=4x2 时等号成立,∴a=4×32=36.
【答案】 36

4.如图 6-4-1 所示,要挖一个面积为 800 平方米的矩形 鱼池,并在鱼池的四周留出左右宽 2 米,上下宽 1 米的小路, 则占地总面积的最小值是________平方米.
图 6-4-1

【解析】 设鱼池的长 EH=x,则 EF=80x0,

占地总面积是(x+4)·80x0+2

=808+2x+1

600 x

≥808+2·2

1 x·

6x00=968.

当且仅当 x=1 6x00,即 x=40 时,取等号.

【答案】 968


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