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高中数学 53简单的三角恒等变换课后训练 湘教版必修2

5.3 简单的三角恒等变换 双基达标 (限时 20 分钟 ) 1.已知 sinπ4 -x=35,则 sin 2x 的值为 ( ). 19 16 14 7 A.25 B.25 C.25 D.25 解析 sin 2x=cosπ2-2x=1-2sin2π4-x=1-2×295=275. 答案 D 2.函数 y=sinx+π6 cosx+π6 的最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为 ( ). A.2π,x=π6 C.π,x=π6 B.2π,x=π12 D.π,x=1π2 解析 y=sinx+π6cosx+π6=12sin2x+π3.故选 D. 答案 D 3.在△ABC 中,若 sin C=2cos Asin B,则三角形 ABC 是 ( ). A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析 由 sin C=2cos Asin B 得,sin(A+B)=2cos Asin B,sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A-B)=0,得到 A=B.故选 C. 答案 C 4.函数 y=cos x+cosx+π3 的最大值是________. ππ π 解析 ∵y=2cos x+6cos 6= 3cosx+6, ∴ymax= 3. 答案 3 5.函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期是________. 解析 ∵y=sin4x+(1-sin2x)=sin2x(sin2x-1)+1 ∴y=1-sin2xcos2x=1-14sin22x 1 =1-14×1-c2os 4x =18cos 4x+78,∴T=24π=π2. π 答案 2 π 6.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3asin xcos x+b(a>0)的定义域为 0, 2 ,值域为 [-5,4],求常数 a,b 的值. 解 f(x)=2asin2x-2 3asin xcos x+b =2a·1-c2os 2x- 3asin 2x+b =-( 3asin 2x+acos 2x)+a+b. =-2asin2x+π6 +a+b ∵0≤x≤π2 ,∴π6 ≤2x+π6 ≤76π. ∴-12≤sin2x+π6 ≤1. ∵a>0,∴f(x)max=2a+b=4,f(x)min=b-a=-5. 由2a+b=4,,∴a=3, b-a=-5 b=-2. 综合提高 限时 25 分钟 7.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是 A.-π,-56π B.-56π,-π6 C.-π3 ,0 D.-π6 ,0 π 解析 f(x)=2sinx-3,f(x)的单调递增区间为 2kπ-π6 ,2kπ+56π(k∈Z), 令 k=0 得增区间为-π6,56π,又 x∈[-π,0], 所以所求区间为-π6 ,0. 答案 D 8.已知 cos2α-cos2β=m,那么 sin(α+β)sin(α-β)= A.-m B.m C.-m2 m D. 2 ( ). ( ). 2 解析 cos2α-cos2β=12(cos 2α-cos 2β) =-sin(α+β)sin(α-β)=m, ∴sin(α+β)sin(α-β)=-m. 答案 A 9.已知1+sincoαs α=2,则 cos α-sin α的值为________. 解析 α α 2cos2 2 cos 2 由已知 =2,即 =2, αα α 2sin 2cos 2 sin 2 ∴tan α2=12. ∴cos α-sin αα α=cos2 2 -sin2 2 -2sin α 2 cos α 2 αα αα cos2 = 2 -sin2 2 -2sin 2 cos 2 αα cos2 2 +sin2 2 α 1-tan2 2 -2tan = α 1+tan2 2 α2 =1-114+-142×12=-15. 答案 -15 10.和差化积:1+sin θ+cos θ=________. 解析 1+sin θ+cos θ=(1+cos θ)+sin θ θ θθ =2cos22+2sin 2·cos 2 θθ θ =2cos 2cos 2+sin 2 θ πθ θ =2cos 2sin2-2+sin 2 θ π πθ =4cos 2·sin 4·cos4-2 θ πθ =2 2cos 2·cos4-2. 3 θ πθ 答案 2 2cos 2 cos 4 - 2 11.设 f(x)=6cos2 x- 3sin 2x. (1)求 f(x)的最大值及最小正周期; (2)若锐角 α 满足 f(α)=3-2 3,求 tan 45α的值. 解 (1)f(x)=6·1+c2os 2x- 3sin 2x=3cos 2x- 3sin 2x+3 =2 3 23cos 2x-12sin 2x+3 =2 3cos2x+π6 +3. 故 f(x)的最大值为 2 3+3,最小正周期为π. (2)由 f(α)=3-2 3, ∴2 3cos2α+π6 +3=3-2 3, ∴cos2α+π6 =-1, π 又∵0<α< 2 , ∴π6 <2α+π6 <π+π6 , ∴2α+π6 =π,解得 α=152π, 从而 tan 45α=tan π 3= 3. 12.(创新拓展)已知 A,B,C 是△ABC 的三内角,向量 m=(-1, 3),n=(cosA,sinA)且 m·n=1 (1)求角 A; (2)若co1s+2Bs-ins2inB2B=-3,求 tan C. 解 (1)∵m·n=1,∴(-1, 3)·(cos A,sin A)=1, 即 3sin A-cos A=1, 2sin A· 23-cos A·12=1,sinA-π6 =12. ∵0<A<π,

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