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高三数学一轮复习(045068)文 苏教版

2016 届高三数学一轮复习(045-068)文 苏教版
045. 平面向量的概念与运算 【复习目标】 (1)了解向量的实际背景、理解平面向量的概念;理解两个向量相等的含义; (2)理解向量的几何表示;掌握向量加、减的运算,并理解其几何意义; (3)掌握向量数乘运算及意义;理解向量共线的含义;了解向量线性运算性质及几何意义. 【课前预学】

1.化简→OP-→QP+→MS-→MQ的结果为________.

2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线

向量;④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.

3.已知

D

为三角形

ABC



BC

的中点,点

P

满足P→A+B→P+C→P=

r 0

,→AP=λP→D,则实数

λ

的值为________.

4.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若A→D=2→DB,→CD=13→CA+λC→B,则 λ=________.

r uur

r ur uur r

ur uur r r

5.已知 e, e2 是一对不共线的非零向量,若 a e1 e2 ,b 2e1 e2 ,且 a,b 共线,则 _______.

uuur uuur uuur r 6.在 ABC的内部有一个点 O 满足 OA OC 3OB 0 ,则

SAOB

________.

SAOC

1.向量的有关概念 名称 向量
零向量
单位向量 平行向量 共线向量

定义 既有______又有______的量;向 量的大小叫做向量的______(或 称为______) 长度为____的向量;其方向是任 意的
长度等于__________的向量
方向______或______的非零向量 ________________的非零向量又

备注
平面向量是自由向量
记作____
r 非零r向量 a 的单位向量为 ± ar
|a| r 0 与任一向量______或共
线

叫做共线向量

相等向量 相反向量

长度______且方向______的向量 长度____且方向____的向量

两向量只有相等或不等,

不能比较大小

r

r

0 的相反向量为 0

2.向量的线性运算 向量 运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向 量和 的运算

(1)交换律:a+b= __________.(2)结 合律:(a+b)+c= ________.

减法 数乘

求a与b 的相反向 量-b 的 和的运算 叫做 a 与 b 的差
求实数 λ 与向量 a 的积的运 算

________法则

a-b=a+(-b)

(1)|λa|=______;(2)当 λ>0 时, λa 的方向与 a 的方向____;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向______; 当 λ=0 时,λa=______

λ(μa)=____;(λ +μ)a= ____________;λ(a +b)= ____________

3.共线向r 量r 定理r r 向量 a(a 0) 与 b 共线的充要条件是存在惟一一个实数 λ,使得________.
【课堂研学】

例 1. 给出下列命题:

①若|

r a

|=|

r b

|,则

r a



r b

;②若

A,B,C,D

是不共线的四点,则→AB=→DC是四边形

ABCD

为平行四边形的充

rrrr rr rr

r r rr

要条件;③若 a = b ,b = c ,则 a = c ;④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b , ⑤有向线段就是向

量,向量就是有向线段. 其中正确的序号是________.

例 2、如图, A1, A2 ,, A8 是⊙O 上的八个等分点,则在以

A1

及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于

A2

多少个?模等于半径的 2 倍的向量有多少个?

A3

O

A1, A2 ,, A8

A8

半径的向量有

A7

A4

A6

A5



3.如图,四边形

OADB

是以向量

uuur OA



ar ,

uuur OB



r b

为边的平行四边形,又 BM

1 BC,CN



1 CD ,试

3

3



a,

b

表示向量

uuuur OM

,

uuur ON

,

uuuur MN.

B M

D

N

C

O

A

例 4. 如图所示,△ABC 中,在 AC 上取一点 N,使得 AN=13AC,在 AB 上取一点 M,使得 AM=13AB,在 BN 的 延长线上取点 P,使得 NP=12BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使得→MQ=λC→M时,→AP=→QA,试确定 λ 的值.

例 5. 设 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 动 点 P 满 足

uuur OP

uuur OA (

uuur AB uuur



uuur AC uuur

), 0, ,求点 P 的轨迹,并判断点 P 的轨迹通过下述哪个定点:① ABC的

AB AC

外心 ② ABC的内心 ③ ABC的重心 ④ ABC的垂心

1.求证:起点相同的三个非零向量

ar



r b

,3

ar

-2

r b

的终点在同一条直线上。

uur uuur

uuur uur uuur

2.设 OA,OB 不共线,点 P 在 AB 上,求证: OP OA OB 且 1,, R .

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

045. 平面向量的概念与运算 1.给出下列命题:

①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;

②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
rr ③λ a = 0 (λ 为实数),则 λ 必为零;
r r rr ④λ,μ 为实数,若 λ a =μ b ,则 a 与 b 共线.

其中错误命题的个数为________.

rr rrr

rr

2.对于非零向量 a 、 b ,“ a + b = 0 ”是“ a ∥ b ”的______________条件.

3.设

r a



r b

是两个不共线向量,A→B=2

r a

+p

r b

,→BC=

r a



r b

,→CD=

r a

-2

r b

,若

A、B、D

三点共线,则实数

p 的值为________.

4.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若→AC=λA→E+μ→AF,其中 λ,μ∈R,则 λ+

μ=________.

5.如图,在△ABC 中,A→N=13N→C,P 是 BN 上的一点,若→AP=

m→AB+121A→C,则实数 m 的值为________.

6.设

O

是△ABC

内一点且满足→OA+2→OB+3O→C=

r 0

,则△ABC



△AOC 的面积之比为________.

rr

rr

7.已知向量 a ,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a 、b 共线的条件是__________(将正确的

序号填在横线上).

rrr

r

r

r

rr

①2 a -3 b =4 e ,且 a+2 b =-3 e ;②存在相异实数 λ、μ,使 λ· a +μ· b = 0 ;

r

rr

③x· a +y· b = 0 (实数 x,y 满足 x+y=0);

④若四边形 ABCD 是梯形,则→AB与→CD共线.

8.如图所示,P

是△ABC

内一点,且满足→PA+2→PB+3P→C=

r 0

,设

Q



CP

延长线与

AB

的交点,令→CP=

ur p

,试



ur p

表示P→Q.

9.如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值.

10.已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

(1)求→GA+→GB+→GO;(2)若

PQ

过△ABO

的重心

G,且→OA=

r a

,→OB=

r b

,→OP=m

r a

,O→Q=n

r b

11 ,求证:m+n=3.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________, _______________, _______________, ________________

2016 届高考文科 数学一轮复习

046. 平面向量基本定理与坐标运算

【复习目标】 (1)了解平面向量基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;

(2)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示平面向量共线的条件 【课前预学】

r

r

rr

1.设平面向量 a =(3,5), b =(-2,1),则 a -2 b =__________.

2.在□ABCD 中,AC 为一条对角线,→AB=(2,4),→AC=(1,3),则向量→BD的坐标为__________.

r

r

rrr

3.已知向量 a =(1,2), b =(-3,2),若 k a + b 与 b 平行,则 k=________.

4.在平面坐标系内,已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:

①直线 OC 与直线 BA 平行;②→AB+→BC=→CA;

③→OA+→OC=→OB;④A→C=O→B-2→OA.

其中正确结论的序号是__________.

r

r

r

r

rr

5.若向量 a =(1,1), b =(-1,1), c =(4,2),则 c =____________(用 a , b 表示).

uuur

uuur

uuur

6.已知向量 OA (3, 4), OB (6, 3), OC (5 m, (m 3)) ,若△ABC 为直角三角形,则实数 m 的值为

______________________

1.两个向量的夹角定义、范围:

2.平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理

ur uur

r

如果 e1, e2 是同一平面内两个____________的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,__________一对

r 实数 λ1,λ2,使 a =________________.

ur uur 其中,不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组________.

(2)平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量正交分解.

(3)平面向量的坐标表示

rr

r

①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,对于平面上的向量 a ,

rrr 由平面向量的基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使 a xi y j ,这样,

r

r

r

平面内的任一向量 a 都可由 x,y 惟一确定,把有序数对______叫做向量 a 的坐标,记作 a =________,

r

r

其中______叫做 a 在 x 轴上的坐标,______叫做 a 在 y 轴上的坐标.

②设→OA=x

r i

+y

r j

,则向量O→A的坐标(x,y)就是________的坐标,即若→OA=(x,y),则

A

点坐标为________,

反之亦成立.(O 是坐标原点)

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

r

r

已知向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2)和实数 λ,那么

rr

rr

a + b =__________________, a - b =________________,

r

r

λ a =________________,| a |=______________________.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则→AB=______________,|→AB|=_____________________.

4.平面向量共线的坐标表示

r

r

rrrr

设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),其中 b ≠ 0 . a ∥ b ?________________________.

【课堂研学】

uuur

uuur

uuur

例 1.已知向量 OA (3, 4),OB (6, 3), OC (5 m, (m 3))

(1)若点 A、B、C 作为顶点不能构成三角形,求 m 应满足的条件

(2)若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值

r

r

r

例 2. 平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1),请解答下列问题:

rrr (1)求满足 a =m b +n c 的实数 m,n;

r r rr (2)若( a +k c )∥(2 b - a ),求实数 k;

ur

ur r r r

ur r

ur

(3)若 d 满足( d - c )∥( a + b ),且| d - c |= 5,求 d .



3.如图,平面内有三个向量

uuur uuur uuur OA, OB, OC

,其中

uuur OA



uuur OB

的夹角为

120°,

uuur OA



uuur OC

的夹角为

150°,且

uuur uuur

uuur

uuur uuur uuur

OA OB 1 , OC 2 3 .若 OC OA OB(, R) ,则 的值为



B

O

A

C 例 4.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分
别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若→AB=m→AM,→AC=nA→N, 则 m+n 的值为______.

r 已知向量 a (

3,

1)

,

r b



(

1

,

3)

,若存在实数

x,

y

,使向量

r c



r a



(4x2



r 3)b ,

22

r d



yar



1

r b

,且

cr



r d

.

x 1

(1)试求函数 y f (x) 的关系式;

(2)若 x 1,则是否存在实数 m ,使得 m f (x) 恒成立?如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,

请说明理由.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

046. 平面向量基本定理与坐标运算
ur 1.与向量 =(12,5)平行的单位向量为________.

2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且B→P=2→PC,点 Q 是 AC 的中点,若P→A=(4,3),P→Q=(1,5),则B→C=__________.

r

r

rr

3.已知向量 a =(1,-2), b =(1+m,1-m),若 a ∥ b ,则实数 m 的值为________.

4.已知向量

r a

=(2,3),

r b

=(-1,2),若(m

r a

+n

r b

)∥(

r a

-2

r b

),则mn=________.

r

r

rr rr rr rr

5.已知向量 a =(1,2), b =(x,1), u = a +2 b , v =2 a - b ,且 u ∥ v ,则实数 x 的值为_______.

6.设O→A=(1,-2),→OB=(a,-1),O→C=(-b,0),a>0,b>0,O

为坐标原点,若

A、B、C

1 三点共线,则a+

2b的最小值是________.

ur ur

r ur ur

r

ur ur

7.若 , 是一组基底,向量 =x +y (x,y∈R),则称(x,y)为向量 在基底 , 下的坐标,现

r

ur

r

r

ur

r

已知向量 a 在基底 p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组基底 m =(-1,1),n =

(1,2)下的坐标为__________.

ur

r

ur r

8.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p =(a+c,b), q =(b-a,c-a),且 p ∥ q ,

则角 C=________.

uuur

uuur

uuur

uuur uuur

9. 如图, AB (6,1), BC ( x, y),CD (2, 3), BC ∥ AD .

(1)求 x 与 y 之间的关系; uuur uuur
(2)若 AC BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积

B

C

A

D

10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),→OM=t1O→A+t2→AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; (3)若 t1=a2,求当→OM⊥→AB且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 047. 平面向量的数量积(1)

【复习目标】 (1)掌握平面向量的数量积的定义以及几何意义
(2)了解平面向量的数量积处理有关长度、角度与垂直的问题;掌握向量垂直的条件 【课前预学】

rr 1.已知| a | 4,| b | 5

rr

rr

r r rr

(1)当 a 与 b 的夹角为 60°时, a ? b =

;(2)当 a // b 时, a ? b =



r r rr (3)当 a b 时, a ? b =

rr

rr

;(4)若 a 与 b 的夹角为θ, a 在 b 上的投影是 ;

2.下列命题中,①若→a ·→b =0,则→a =0 或→b =0

②若→a ·→b =→a · →c ,则→b =→c

③(→a ·→b ) →c =→a (→b ·→c ),其中正确命题个数为 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3.正△ABC 边长为 a,则 AB BC BC CA CA AB 的值是__________.

rr

r r rrr

4.若非零向量 a , b 满足| a || b |,(2a b) b 0 ,则 a 与 b 的夹角为 .

ur r

r ur r r ur r

5.若 m, n 是夹角为 60 的两个单位向量,则 a 2m n 和 b 3m 2n 的夹角为

.

r r rr

rr

6.已知| a | 2,| b | 5, a ? b 3 ,则| a b |

uuur uuur uuur 7. ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA (OB OC) 的最小值是_______

1.平面向量的数量积

rr

rr

已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 θ,则数量____________________叫做 a 和 b 的数量积(或内

积),记作__________________________.

规定:零向量与任一向量的数量积为______.

rr

rr

两 个 非 零 向 量 a 和 b 垂 直 的 充 要 条 件 是 ________ , 两 个 非 零 向 量 a 和 b 平 行 的 充 要 条 件 是

________________________.

2.平面向量数量积的几何意义

rr r

r rr

数量积 a ? b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影____________的乘积.

3.平面向量数量积的重要性质

rr (1)e· a = a ·e=____________;

rrrr (2)非零向量 a , b , a ⊥ b ?____________;

r

rr

(3)当 a 与 b 同向时, a · b =________;

rr

rr

rr

r

当 a 与 b 反向时, a · b =______, a · a =______,| a |=______;

(4)cos θ=________________;

rr

rr

(5)| a · b |______| a || b |.

4.平面向量数量积满足的运算律
rr (1) a · b =__________(交换律);
rr (2)(λ a )· b =________=________(λ 为实数);
rr r (3)( a + b )· c =____________.

【课堂研学】

rr

r

rr rr


r

1.(1)已知

a

·

b

是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量

c

满足(

a



c

)·(

b



c

)=0,则

| c |的最大值是________.

(2)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,→BC= 3 B→D,|A→D|=1,则→AC·→AD=________.

uuur uuur uuur uuur 例 2. 已知 AB AC 0,| AB | 3,| AC | 4 .

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

(1)求 AB BC (2)若 D 为 BC 中点,求 AD BC ;若点 G 是 ABC 的重心,求 AG BC .

uuur uuur 若点 H 为 BC 中垂线上任一点,求 AH BC

(3)

r

r

rr

rr

例 3. 已知| a |=4,| b |=3,(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,

rr (1)求 a 与 b 的夹角 θ;

rr (2)求| a + b |;

(3)若→AB=

r a

,→BC=

r b

,求△ABC

的面积.

例 4.如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问P→Q与B→C的 夹角θ取何值时B→P·C→Q的值最大?并求出这个最大值。

rr

rr

rr

rr

例 5..若向量 a 3b 垂直于向量 7a 5b ,且向量 a 4b 和向量 7a 2b 也垂直

rr

rr

(1)比较| a | 与| b | 的大小(2)求 a 与 b 的夹角

uuur uuur

uuur uuur

已知 ABC 的面积为 3,且满足 0 AB AC 6 .设 AB 和 AC 的夹角为 θ.

(1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f ( ) 2sin2 ( ) 3 cos 2 的最大值与最小值.
4

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

047. 平面向量的数量积(1)

1.设向量

r a

,b

满足|

r a

|=|

r b

|=1,

r a

·

r b

1 =-2,则|

r a

+2

r b

|=________.

2.在△ABC 中,AB=2,AC=1,B→D=D→C,则→AD·→BD的值为________.

rr

rr

rr

3.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a + b 与向量 k a - b 垂直,则 k=___.

4.已知两个单位向量

r e

1,

r e

2

的夹角为π3 ,若向量

r b

1=

r e

1-2

r e

2,

r b

2=3

r e

1+4

r e

2,则

r b



r b

2=________.

rrr

rr

rr rr

rrr

5.若 a ,b ,c 均为单位向量,且 a · b =0,( a - c )·( b - c )≤0,则| a + b - c |的最大值为________.

r

r

rr

r

r

6.已知| a |=6,| b |=3, a · b =-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是________.

7.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设B→C=2B→D,C→A=3→CE,则A→D·B→E=________.

ur 8.若平面向量

ur ,

ur 满足|

|=1,|

ur

ur |≤1,且以向量

ur ,

为邻边的平行四边形的面积为12,则

ur



ur

的夹角 θ 的取值范围是________.

rrr rrrr rr

rr

r

rrr

9.已知向量 a , b , c 满足 a + b + c = 0 ,( a - b )⊥c, a ⊥ b ,若| a |=1,则| a |2+| b |2+| c |2 的

值是________.

10.扇形 OAB 的半径为 2,圆心角 AOB 60 ,点 D 是弧 AB 的中点,点 C 在线段 OA 上,且 OC 3 ,则 uuur uuur CD OB =___________.

rr

r

r

rr

rr

rr

11.设两向量 e 1、 e 2 满足| e 1|=2,| e 2|=1, e 1、 e 2 的夹角为 60°,若向量 2t e 1+7 e 2 与向量 e 1+t e 2

的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

_______________, _______________, ______________, ________________, _______________ _______________, ______________, ________________,

2016 届高考文科 数学一轮复习

048. 平面向量的数量积(2)

【复习目标】 (1)理解平面向量的数量积的坐标表示 (2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式处理有关长度、角度、平行与垂直的问题;
【课前预学】

r

r

r

rr

rr

1.向量 a (3, 4), b (4, 2) ,则| a |

;a?b =

; cos a,b



rr rr

r

(a b) ? (a b) =

;与 a 垂直的单位向量为



r

r

r

rr r

2.若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1), c =(1,1,1),满足条件 (c a) (2b) =-2,则 x =

.

r

r

rr

3.已知 a (cos ,sin ), b (cos ,sin ) ,则| a b | 的最大值为 ;

r

r

4.已知 a (1, 2),b (3, 2) ,实数 k=

rr r r 时, ka b 与 a 3b 垂直

r

r

rr

5.若向量 a (x, 2x),b (3x, 2) ,且 a,b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是

.

6. 如 图 , 两 块 斜 边 长 相 等 的 直 角 三 角 板 拼 在 一 起 , 若

uuur uuur uuur AD x AB y AC ,则 x

,y ___________ .

uuur uuur uuur r
7.若点 P 是 ABC 的外心,且 PA PB PC 0, C 120 ,则实数 的值为

1.平面向量数量积有关性质的坐标表示

r

r

rr

设向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a · b =____________,由此得到

r

r

r

(1)若 a =(x,y),则| a |2=________或| a |=____________.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|A→B|=______________________.

rrr

r

rr

(3)设两个非零向量 a , b , a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ?________________.

【课堂研学】

ur ur ur

ur

ur ur ur

ur ur

例 1. 已知平面向量 , ,| |=1, =(2,0), ⊥( -2 ),求|2 + |的值;

例 2. 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α.(其中 k 为非零实数)



3.已知向量

r a



(cos

3

x,sin

3

x),

r b



(cos

x

,



sin

x

)

,且

x

[



,



].

22

22

34

rr r r

rr r r

(1)求 a b 及 a b ; (2)若 f (x) = a b - a b ,求 f (x) 的最大值和最小值.

例 4.已知向量 mr (1,1) ,向量 nr 与向量 mr 夹角为 3 ,且 mr nr 1. 4
(1)求向量 nr ;

(2)若向量 nr 与向量 qr (1, 0) 的夹角为 ,向量 pr (cos A, 2cos2 C ), 其中 A、C 为 ABC 的内角,且

2

2

A、B、C 依次成等差数列,求 nr pr 的取值范围。

ur

r

已知向量 m (cos ,sin ) 和 n ( 2 sin , cos ) , ( , 2 ) ,且

|

ur m



r n

|

8

2 ,求 cos( ) 的值

5

28

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

048. 平面向量的数量积(2)

1.已知向量 a (2,2),b (5, k).若| a b | 不超过 5,则 k 的取值范围是___.

rr

rr rr

rr

rr

2.已知两个非零向量 a 与 b ,定义 | a b || a || b | sin ,其中 为 a 与 b 的夹角,若 a b (3, 6) ,

rr

rr

a b (3, 2) ,则 | a b | 的值等于_______________.

r

r

rr

3.已知向量 a (1,sin ),b (1,cos ) ,则 | a b | 的最大值是

.

4.与向量 ar (

r 3, 1) 和 b (1,

3 ) 夹角相等,且模为

2 的向量 cr =_________.

uuur

uuur

5.已知 Rt△ABC 中, AB (2, 3), AC (1, m) ,则 m 的值为



uuur uuur uuur uuur
6.已知平面内三个点 A(1,7),B(0,0),C(8,3),D 为线段 BC 上一点且 BC CA DA ⊥ BC ,则

D 点的坐标为



r

r

rr r

7.已知 a (1, 2), b (1,1),且a与a b 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围是

8.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满足不等式 0≤→OP·→OM

≤1,0≤O→P·O→N≤1,则 z=→OQ·→OP的最大值为________.

r

r

rr

9.已知 a =(1,2), b =(-2,n), a 与 b 的夹角是 45°.

r (1)求 b ;

rr

rrr

r

(2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c - a 垂直,求 c .

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足(→AB-t→OC)·O→C=0,求 t 的值.

r

r

r

11.设向量 a (4cos,sin ),b (sin , 4cos ),c (cos , 4sin )

rrr (1)若 a 与 b 2c 垂直,求 tan( ) 的值;
rr (2)求| b c | 的最大值;
rr (3)若 tan tan 16 ,求证: a ∥ b .

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 049. 平面向量的综合应用

【复习目标】 1.会用平面向量解决一些简单的平面几何问题

2.会用向量解决一些简单的力学问题和其他一些实际问题;

【课前预学】

r

r

rr

1 .某人先位移向量 a : “ 向 东 走 3 km” ,接着再位移向量 b : “ 向 北 走 3 km” , 则 a + b 表 示

____________________.

2.已知 A、B 是以 C 为圆心,半径为 5的圆上两点,且|→AB|= 5,则A→C·C→B=________.

3.河水的流速为 2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为

________.

4.平面上有三个点 A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若→AB⊥→BC,则动点 C 的轨迹方程____.

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

5.已知向量 OB (2, 0) ,向量 OC (2, 2) ,向量 CA ( 2 cos, 2 sin ) ,则向量 OA 与向量 OB 的

夹角的取值范围为

6.已知 A(3,

3),

O

是原点,点

P

的坐标(x,y)满足条件



x



3x 3y

y

2

0

0

,则

z



uuur uuur OAuuguOr P

的取值范围是



y0

| OP |

7.如图,半圆的直径 AB 6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,

uuur uuur uuur

则 (PA PB) PC 的最小值是



C

P

A

O

B

1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、 全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:
rr a ∥ b ?__________________?________________.
(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质
rr a ⊥ b ?________?________________.
(3)求夹角问题,利用夹角公式
rr cos θ=____________=____________ (θ 为 a 与 b 的夹角).
2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合,当平面向 量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基 础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要

条件;二是利用向量数量积的公式和性质.
【课堂研学】 例 1.△ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3O→A+4O→B+5O→C= →0 , (1)求数量积 O→A·O→B, O→B·O→C, O→C·O→A; (2)求△ABC 的面积。
例 2. 平面上的两个向量→OA,→OB满足|O→A|=a,|→OB|=b,且O→A⊥O→B,a2+b2=4.向量O→P=x→OA+y→OB (x,y∈R), 且 a2x-122+b2y-122=1.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点,求证:M→P=x-12→OA+y-12→OB; (2)求|O→P|的最大值,并求此时四边形 OAPB 面积的最大值.

例 3. 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且 P→C+12→PQ·→PC-12P→Q=0.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求→PE·→PF的最小值.

ur

r

例 4. 已知在锐角△ABC 中,两向量 p =(2-2sin A,cos A+sin A), q =(sin A-cos A,1+sin A),且

ur r

p 与 q 是共线向量.

(1)求 A 的大小; (2)求函数 y=2sin2B+cosC-23B取最大值时,B 的大小.

uuur uuur uuur uuur 在 △ABC 中, AB AC AB AC 2 .

(1)求

uuur AB

2



uuur AC

2

的值;

(2)当 △ABC 的面积最大时,求 A 的大小.

【巩固拓展】 049. 平面向量的综合应用

班级

姓名

学号

1.若向量O→F1=(2,2),O→F2=(-2,3)分别表示两个力

uur F1



uur F2

,则|

uur F1



uur F2

|=______.

2.已知在△ABC

中,→AB=

r a

,→AC=

r b



r a

·

r b

<0,S△ABC=145,|

r a

|=3,

|b|=5,则∠BAC

=________.

3.已知平面上直线

l

的方向向量

r e

=-45,35,点

O(0,0)和

A(1,-2)在

l

上的射影分别是

O1



A1,则O→1A1

r =λ e ,其中 λ=________.

rr

rrr

4.已知 i , j 分别是 x,y 轴上的单位向量,一动点 P 与 M(1,1)连结而成的向量与另一向量 n =4 i -6 j 垂

直,动点 P 的轨迹方程是______________.

r

r

rr

5.已知向量 a =(x2,x+1), b =(1-x,t),若函数 f(x)= a · b 在区间(-1,1)上是增函数,则 t 的取

值范围为________.

6.若△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7,→AO·→BC=________.

7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若A→B·A→C=B→A·B→C=1,那么 c=________.

8.在四边形 ABCD 中,→AB=→DC=(1,1),|B→1A|→BA+|B→1C|→BC=|→BD3| →BD,则四边形 ABCD 的面积为________. 9.给定两个长度为 1 的平面向量O→A和O→B,它们的夹角为 120°.
如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若O→C=xO→A

+yO→B,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是________.

r

r

10.已知向量 a =(cos 23°,cos 67°),向量 b =(cos 68°,cos 22°).

rr (1)求 a · b ;

r

ur

r r ur r

(2)若向量 b 与向量 m 共线, u = a + m ,求 u 的模的最小值.

11.已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M 满足P→A·A→M=0,A→M=-32→MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 050. 数列的概念及表示

【复习目标】 (1)理解数列的概念;了解数列的分类;了解几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式);

(2)理解数列是一种特殊的函数(单调性、周期性);

(3)理解数列的通项公式的意义及一些基本量之间的关系(前 n 项和 Sn 与 an 的关系,前 n 项积 Tn 与 an 的关

系等.

【课前预学】

1.已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15,写出数列{an}的一个通项公式为__________. 2.已知数列 2, 5,2 2,…,根据数列的规律,2 5是该数列的第________项.

3.数列

an

中, an1



an 3an

1

,

a1



2 ,则 a4



4.数列 an 中, a1 1,对任意的 n N , n 2 都有 a1a2a3 L an n2 ,则 a3 a5

5.数列an 前 n 项和为 Sn 3 2n 3 ,则通项 an
6.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-10n (n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为 an=__________;数列{nan} 中数值最小的项是第________项.

7.已知数列{an}的通项公式 an=n+1n56 (n∈N*),则数列{an}的最小项是__________.

8.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和
数列,这个常数叫公和。已知数列an 是等和数列,且 a1 2 ,公和为 5,则这个数列的前 21项和 S21 是

1.数列的定义

按照__________排列的一列数称为数列,数列中的每个数叫做这个数列的______.

2.数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列 无穷数列

项数有限 项数无限

按项与项间 的大小关系
分类 按其他

递增数列 递减数列 常数列 有界数列

an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M

其中 n∈N*

标准分类

摆动数列

an 的符号正负相间,如 1,-1,1,-1,…

3.数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是______、______和________.

4.数列的通项公式

如果数列{an}的第 n 项与________之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个

数列的通项公式.

5.数列的前 n 项和通常用 S n 与通项 an 之间的关系

数列的前 n 项和通常用 S n 表示,即: S n a1 a2 an ,它与通项 an 之间满足如下的基本关系

式:



【课堂研学】

例 1.已知数列an 的通项公式为 an n2 n 30
(1)60 是这个数列的第几项?(2) n 为何值时 an 0? an 0? an 0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最大值?说明理由。



2.已知数列an 的通项公式为

an



n



4 5

n


(n

N)

.

(1)判断数列an 的单调性;

(2)是否存在最小的正整数 k ,使得数列an 中的任意一项均小于 k ?请说明理由.

例 3.设数列an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 1, 2Sn (n 1)an (n N ) . (1) 求 a2 , a3, a4 的值;(2)写出从 an1 到 an 的递推公式;(3)求数列 an 的通项公式.



4.已知数列an

的通项公式为

an1



an an d

c, , an

an 3

3
.

(1)当 a1 1, c 1, d 3时,求数列an 的通项公式;

(2)当 0 a1 1, c 1, d 3 时,试用 a1 表示数列an 的前 100 项之和 S100

1.数列{an}的通项公式 an



n cos n 2

1,前 n

项和为 Sn,则 S2012=___________.

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn



1 n2 2

kn, k N* ,且 Sn 的最大值为 8.试确定

常数 k,求 an;

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

050. 数列的概念及表示

一、基础训练题组

1.数列an 的前 n 项和是 Sn 2n (n N ) ,则 an

.

2.设数列an 的前 n

项和是 Sn



a1(3n 1) 2

,且 a4



54 ,则 a1



.

3.已知数列{an}对于任意 p,q∈N*,有 ap+aq=ap+q,若 a1=19,a36=________.

5.已知数列{an}中,an=1+a+2(1n-1) (n∈N*,a∈R,且 a≠0).

(1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N*,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围.

5.数列 an 中, a1 2, an1 an cn(n N) ( c 是常数),且 a1, a2 , a3 成公比不为 1 的等比数列.

(1)求 c 的值;

(2)求an 的通项公式.

二、能力提升题组

1.将数列 3n1 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1), (3,9), (27,81, 243),L , 则第 100 组中的第 1

个数是

.

2.已知 an



n n

62 63

(n



N



)

,则在数列

an

的前

50

项中最小项和最大项分别是第

项和第

项.

3.已知数列an 满足: a1 1, an a1 2a2 3a3 L (n 1)an1(n 2) ,则通项 an

.

4.数列{an}的通项公式为 an=an2+n,若满足 a1<a2<a3<a4<a5,且 an>an+1 对 n≥8 恒成立,则实数 a 的取值范

围是____________.

5.数列an 前 n 项和 Sn 分别满足下列关系,求 an .

(1) Sn 3n 2

(2) an 2 2

2Sn (an 0)

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 051. 等差数列

【复习目标】 (1)掌握等差数列的概念、等差数列的通项公式及前 n 项和公式;

(2)能利用等差数列的相关公式解决简单的问题; 【课前预学】

1.已知数列an ,那么“对任意的 n N ,点 Pn (n, an ) 都在直线 y 2x 1上”是“an 为等差数列”



条件.

2.在等差数列 an 中, a1 3a8 a15 120 ,则 2a9 a10 的值为

.

3.等差数列an 中, a1 5 ,从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围为

.

4.等差数列an 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则该数列的前 3m 项和为

.

5.已知首项为正数的等差数列 an 满足:a2012 a2013 0, a2012 a2013 0 则使前 n 项和 Sn 0 成立的最大

自然数 n 是

.

6.若两个等差数列

an





bn



的前

n

项和分别是

S

n

,

Tn

,已知

Sn Tn



7n ,则 a5 n 3 b5

等于

.

1.等差数列的定义 如果一个数列______________________________________________________,那么这个数列就叫做等差 数列,这个常数叫做等差数列的________,通常用字母________表示.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是________________.
3.等差中项 如果______________,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+________,(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则________________________. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为________. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为________的等差数列.
5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn=____________或 Sn=________________.
6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn=d2n2+a1-d2n. 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn,(A、B 为常数).
7.等差数列的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最______值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最______值.
【课堂研学】

例 1.已知数列

an

前n

项和为

Sn

, an



0 , Sn



an2 2

an

,n

N

(1)求证:an 是等差数列;

(2)求数列an 的通项公式;
例 2.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0 (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

例 3.在等差数列an 中, a1 60, a17 12. 求数列 an 前 n 项和为Tn 。
例 4.设等差数列 an 前 n 项和为 Sn ,已知 a3 12, S12 0, S13 0.
(1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1, S2 ,, S12 中哪一个值最大,并说明理由。



5.设数列an 前 n

项和为

Sn

,若对于任意的正整数 n

,都有

Sn



n(a1 2

an )



求证:an 是等差数列。

已知等差数列 an 前 n 项和为 Sn ,若 S6 S7 , S7 S8, 则:(1)此数列公差 d 0 ;(2) S9 一定小于 S6 ;

(3) a7 是各项中最大的一项;(4) S7 是 Sn 的最大值。上面结论中正确结论的序号是



【巩固拓展】

班级

姓名

学号

051. 等差数列 一、基础训练题组

1.等差数列 an 中,若 a3 a4 a5 a6 a7 50 ,则 a2 a8 等于



2 . 已 知 等 差 数 列 an 的 公 差 d 2 , a1 a4 a7 L a97 60 , 则 a3 a6 a9 L a99 的 值





3.等差数列an 的公差 d 0 ,则 a2a6 与 a3a5 的大小关系为



4.等差数列an 中,

a1



0, d





5 3

,且

S10



S15 ,



Sn

取最大值时

n

的值。

5.已知等差数列an 中,公差 d 0 ,前 n 项和为 Sn ,且满足 a2a3 45, a1 a4 14 。 (1)求数列an 的通项公式;

(2)通过公式 bn



Sn nc

构造一个新的数列bn ,若bn 也是等差数列,求非零常数 c



二、能力提升题组

1.若等差数列的前四项和为 26,最后四项和为 110,所有项和为 187,则此数列的项数是 。

2.设等差数列an 共有 2k 1项,且所有奇数项之和为 132,所有偶数项之和为 120,则

k

; ak 1



3.等差数列 an 中 a8 0, a9 0 ,且 a9 a8 , Sn 是数列 an 前 n 项和,则使 Sn 0 的 n 的最小值





4.已知两个等差数列

an





bn



的前

n

项和分别是

Sn

,

Tn

,已知

Sn Tn



7n 45 n3

,则使得 an bn

为整数的正整

数 n 的个数是



5.设等差数列an 前 n 项和为 Sn 。

(1)若首项 a1



3 2

,公差 d



1

,求满足

S k

2

(Sk )2 的正整数 k



(2)求所有的无穷等差数列

an

,使得对于一切正整数 k

都有

S k

2

(Sk )2 成立。

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 052. 等比数列

【复习目标】 (1)掌握等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式;

(2)能利用等比数列的相关公式解决简单的问题;

【课前预学】

1.已知数列 an 是等比数列,且 an 0, a2a4 2a3a5 a4a6 25 ,那么 a3 a5 的值为 。

2 . 已 知 数 列 an 是 等 比 数 列 , 其 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 数 列 an 是 递 增 数 列 的 充 要 条 件





3.等比数列an 的公比 q 0 且 q 1,又 a1 0 ,那么 a2 a6 与 a3 a5 的大小关系是 。

4.等比数列an 中, a1 2, q 3,则满足 Sn 1000 的 n 的最小值是



5.设数列 an 是由正数组成的等比数列,公比 q 2 ,且 a1a2a3 L a30 230 ,则 a3a6a9 L a30



6.已知数列an 是等比数列, a4a7 512, a3 a8 124 ,且公比 q 为整数,则 a10 。

1.等比数列的定义 如果一个数列______________________________________________________,那么这个数列叫做等比数 列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母______表示.

2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=__________.
3.等比中项 若______________,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·________,(n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则________________. (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),a1n,{a2n},{an·bn},abnn仍是等比数列.
5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1(11--qqn)=a11--aqnq.
6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为______.
【课堂研学】
例 1.设数列an 前 n 项和为 Sn aqn b(a,b 为非零实数, q 0, q 1) 。 (1) a, b 满足什么关系时,an 是等比数列; (2)若an 是等比数列,证明: (an , Sn ) 为坐标的点都落在同一条直线上。

例 2.设数列an 前 n 项和为 Sn 2an 2n. (1)求 a3 , a4 ; (2)证明:an1 2an 是等比数列; (3)求an 的通项公式。

例 3.(1)在等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3a5=64,求{an}的前 8 项和 S8; (2)设等比数列{an}的公比为 q (q>0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3 280,且前 n 项中数值 最大的项为 27,求数列的第 2n 项.

例 4.在正项等比数列

an

中, a2 7



a9

,且 a5



a9

,求使

n i 1

(ai



1 ai

)



0 的最大正整数 n

的值。

等比数列an 的公比 q 1 ,前 n 项和为 Sn ,已知 a3 2, S4 5S2 ,求an 的通项公式。

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

052. 等比数列 一、基础训练题组

1.等比数列an 中,Tn 表示前 n 项积,若T5 1,则 a3



2.等差数列an 的第 3, 7,10 项成等比数列,那么公比 q 的值为



3.在等比数列an 中, a1 2 ,前 n 项和 Sn ,若数列an 1 也成等比数列,则 Sn = 。

4 . 等 比 数 列 an 的 公 比 q 1 , 若 a2007 和 a2008 是 方 程 4x2 8x 3 0 的 两 根 , 则 a2009 a2010 的 值





5.已知数列an 的首项 a1



2 3

, an1



2an . an 1

(1)求证:数列



1 an



1

是等比数列;(2)求数列



n an



的前

n



项和为

Sn

二、能力提升题组

1.各项均为正数的等比数列an 的前 m 项和为 2,前 3m 项和为 14,则该数列的前 4m 项和为



2.等比数列 an 的首项 a1

1002 ,公比 q

1 ,记 2

pn

a1a2a3 L

an ,则当

pn 达到最大值时, n 的值





3.等比数列an 共有偶数项,且所有奇数项之和为 15,所有偶数项之和为 45,则公比

q



4.已知数列

an

,构造一个新数列: a1, a2 a1, a3 a2 ,L , an an1,L

,此数列是首项为1,公比为 1 的 3

等比数列,则 an



5.(1)已知数列cn ,其中 cn 2n 3n ,且数列 cn1 pcn 是等比数列,求常数 p ;

(2)设an ,bn 是公比不相等的两个等比数列,且 cn an bn ,求证数列cn 不是等比数列。

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________, ______________, ________________,

2016 届高考文科 数学一轮复习

053. 等差数列、等比数列综合应用

【复习目标】 熟练运用等差、等比数列的知识解决有关数列问题,培养分析问题和解决问题的综合能力.
【课前预学】

1.若数列 {an } 是等比数列,下列命题正确的是



①{an2} 、{a2n} 是等比数列;

②{ln an} 是等差数列;

③{| an |}成等比数列;

④{can}、{an k} ( k 0 )成等比数列。

2.公差不为零的等差数列 an 中, a2 , a3 , a6 成等比数列,则其公比为___________.

3.若数列 log 3 an 为等差数列,且 log 3 a1 log 3 a2 ... log 3 a10 10 ,则 a5a6 _________.

4.设等比数列 an 的公比为 q ,前 n 和为 Sn ,若 Sn1, Sn , Sn2 成等差数列,则 q =______.

5.若数列{an}为等差数列,则数列 bn



1 n (a1 a2



an ) 构成的数列{bn}也是等差数列吗?

类比这一

特点,若数列{cn}为等比数列,写出一个结论,并判断其真假.



6.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比

数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x

?;②f(x)=2x;③

;④f(x)=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为________

1.等差、等比数列的常用性质 (1)若{an}是等差数列,则 ①m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有________________. ②Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成________数列. (2)若{an}是等比数列,则 ①m,n,p,r∈N*,则 m+n=p+r,则有________________. ②{an}是等比数列,则{a2n}、a1n是________数列. ③若 Sn≠0,且 q≠-1,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……构成________数列.
2.等差数列与等比数列的联系 (1)若数列{an}是等差数列,则数列{aan}是等比数列,公比为 ad,其中 a 是常数,d 是{an}的公差.(a>0

且 a≠1). (2)若数列{an}是等比数列,且 an>0,则数列{logaan}是等差数列,公差为 logaq,其中 a 是常数且 a>0, a≠1,q 是{an}的公比. (3)若{an}既是等差数列又是等比数列,则{an}是非零常数列.
【课堂研学】
例 1.在等差数列{an}中,公差 d≠0, {an}的部分项 ak1 , ak2 ,...akn 组成的数列恰好为等比数列, 且 k1 1, k2 5, k3 17 ,求 k1 k2 ... kn
例 2.设各项均为正数的数列 an 和 bn 满足 5an ,5bn ,5an1 成等比数列, lg bn , lg an1, lg bn1 成等差数列,且
a1 1,b1 2, a2 3 ,求通项 an , bn
例 3.已知数列{an}满足:a1=1,a2=a (a>0).数列{bn}满足 bn=anan+1 (n∈N*). (1)若{an}是等差数列,且 b3=12,求 a 的值及{an}的通项公式;

(2)若{an}是等比数列,求{bn}的前 n 项和 Sn; (3)当{bn}是公比为 a-1 的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出 a 的值;若不能,请说明理由.
例 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-5an-85,n∈N*. (1)证明:{an-1}是等比数列; (2)求数列{Sn}的通项公式,并求出 n 为何值时,Sn 取得最小值?并说明理由.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477
1)

1.下列四个命题中,真命题的有_________.

(1)若 b2 ac ,则 a,b, c 成等比数列.

(2)若an 为等差数列,且常数 c 0 ,则数列 c an 为等比数列. (3)若an 为等比数列,则数列 an 为等比数列.

(4)若 a,b, c 成等差数列,则 ma n, mb n, mc n 也成等差数列

2.互不相等的正数 a,b,c,d 成等比数列,那么 bc 与 a d 的大小关系是



2

3.若三角形的三边成等比数列,则公比 q 的取值范围是



若直角三角形三边成等比数列,则公比 q 为



【巩固拓展】

班级

姓名

学号

053. 等差数列、等比数列综合应用 一、基础训练题组 1.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5=12,a6=2,则 a2+a3=________. 2.等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=________. 3.已知等比数列{an}为递增数列,且 a3+a7=3,a2·a8=2,则aa171=________. 4.在等比数列{an}中,an>0,且 a1·a2…a7·a8=16,则 a4+a5 的最小值为________. 5.设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差
数列. (1)求数列{an}的通项; (2)令 bn=ln a3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

6.已知在数列{an}中,a1=1,a2n=qa2n-1,a2n+1=a2n+d (q,d∈R,q>0). (1)若 q=2,d=-1,求 a3,a4,并猜测 a2 ; 013 (2)若{a2n-1}是等比数列,且{a2n}是等差数列,求 q,d 满足的条件.
二、能力提升题组 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1 (a∈R,a≠0),下列给出关于数列{an}的四个判断:
①一定是等差数列;②一定是等比数列;③或是等差数列或是等比数列;④既非等差数列又非等比数列.

其中判断正确的序号是________. 2.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n-1,则 a21+a22+…+a2n=__________. 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=m2n-1-3,则 m=________. 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 3S3,2S2,S1 成等差数列,则{an}的公比为________.
5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn=Snn(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

_______________, _______________, ______________, ________________, _______________ _______________, ______________, ________________,

2016 届高考文科 数学一轮复习
【复习目标】 掌握求数列通项的常用方法;
【课前预学】

054. 数列的通项公式

1.写出下列数列的一个通项公式 ①0.9, 0.99, 0.999, 0,9999,…… an=

3

79

②2 , 1, 10 , 17 ,……

an=

2.{an}中,a1=1, a2=-3 且 an+2=an+1-an, 则 a2010=

3.{an}中,a1=0, an+1=an+(2n-1),则 an= {an}中,a1=3, an+1=3an-2,则 an=

4.已知数列an 分别满足下列条件,求 an :

(1)

a1

1, an1



2n 2n

1 1 an ,



an

=______________.

(2) a1 a2 L an n2 1, 则 an =______________.

(3) a1 1, a1 a2 L an n2an , 则 an =______________.

(4) Sn 2an 1, 则 an =______________.

求数列通项的方法大致有有两类:一类是根据前 n 项的特点归纳猜想出通项;另一类是根据递推关系, 通过代数的一些变形,然后用叠加、叠乘、迭代归纳的方法或转化为基本数列等方法求得通项。 有以下几种方法:
1.已知 an 与 an1 的递推关系,;

2.

已知 Sn ,利用 an





S1,n 1 Sn Sn1,

n



2



3. 已知 Sn 与 an 间的关系——化归法;

4. 可转化为等差等比数列的问题.

【课堂研学】
例 1.已知数列an 分别满足下列条件,求其通项公式
(1)a1=1 ,an+1=a2na+n2
(2) a1 1, an1 an2 2 ; (3) a1 1, an1 2an 1



2.已知数列an

的前

n

项和为

Sn

满足:

an



2Sn Sn1



0(n



N

,

n



2),

a1



1 2



(1)求证:



1 Sn



是等差数列;

(2)求 an 的表达式。

例 3.数列an 的前 n 项和为 Sn 满足: Sn 2an 3n, (n N ) (1)若数列an c成等比数列,求常数 c 的值;(2)求数列an 的通项公式; (3)数列an 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请
说明理由。



4.(1)数列an 中,

a1

1,

Sn2



an



Sn



1 2





n



2,



an

.

(2)已知正数数列an 满足

Sn



1 8



an



22

, ,求

an

.

数列 2,4+6,8+10+12,14+16+18+20,…的前 n 项和 Sn 为___________.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

054. 数列的通项公式 一、基础训练题组

3x

11

1.已知 f (x)=x+3 ,数列{an}满足an =f(an-1 )(n≥2),且 a1=1,则 an=

2.已知 an 为等比数列, am 2n , an 2m (m n) ,则 amn

新疆 王新敞
奎屯

3.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________.

4.数列{an } 满足 a1 1, an1 an 2n, 则 an =______________.

5.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和,且 S1, S2 , S4 成等比数列

(1)求数列 S1, S2 , S4 的公比;

(2) S2 =4,求an 的通项公式。

6.数列an 的前 n 项和记为 Sn, a1 1, an1 2Sn 1n 1 (1)求an 的通项公式; (2)等差数列 bn 的各项为正,其前 n 项和为Tn ,且T3 15 ,又 a1 b1, a2 b2 , a3 b3 成等比数列,求Tn

二、能力提升题组

1.已知数列{an } 满足 a1

0, an1



an 3an

3 1

(n



N

*

)

,则

a

20

=

2









an



a1

1, an

0



n 1

a2 n1



nan2

an1an

0n 1,2,L



,















an =_____________.

3.数列{an } 满足 a1 2a2 3a3 L nan n2 1, 则 an =______________.

4.由奇数组成数组(3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19),……,第 n 组的第一个数应是
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5, S15=225;数列{bn}是等比数列,b3=a2+a3,b2b5=128. (1)求数列{an}的通项 an 及数列{bn}的前 8 项和 T8;
(2)求使得 1 1 成立的正整数 n. an 7 4

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 055. 特殊数列求和

【复习目标】 掌握常用数列求和的方法 【课前预学】

1.(1)已知数列{ 1 }的前 n 项和为 Sn ,则 Sn =



n(n 1)

(2)数列an 通项公式是 an

1

(n N ), 若前 n 项和为 10,则项数为

n n1



(3) an

是等差数列, an

0,则 1 a1a2



1 a2 a3





1 an1an



1 an an1





2.数列 an 中, an 1 2 22 2n1 (n N ) ,则该数列前 n 项的和为



3.(1)设数列{(1) n1 n} 的前 n 项和为 S n ,则 S2013 =



(2)数列 1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,…的前 n 项和 Sn=



2 4 8 16

4.数列 an 前 n 项和为 Sn , Sn 2n2 3n 1,则 a4 a5 a6 L a10 =



5.设函数

f

(x)



1 4x 2

,若 x1



x2

1 ,则

f

(x1)

f

(x2 ) =

f (1) f ( 2) L f ( n 1) f ( n) =



nn

n

n

6. 6 66 666 L 6162L36 =



n

;又若 n N ,则

1.等差数列前 n 项和 S n =______________=________________,
推导此公式的方法为:_______________

2.等比数列前 n 项和 Sn



______________(q ______________

1) ____________(q

1)

3.常见数列求和法: (1)分组求和: (2)拆项相消:

(3)错位相减: (4)倒序相加:

4.常见的拆项公式有:

(1) 1 ___________________(2)

1

____________________

n(n 1)

(2n 1)(2n 1)

(3)

1

_________________________-

n n1

【课堂研学】 例 1.求和:(1)Sn=32+94+285+6156+…+n·22nn+1;
(2)Sn=x+1x2+x2+x122+…+xn+x1n2.
例 2.(1) 求数列:1, a a 2 , a3 a 4 a5 , a6 a7 a8 a9 , , (a 0) 的前 n 项和 S n . (2)求数列 1,1+a ,1 a a2 ,…,1 a a 2 a n1, 的前 n 项和 Sn .
例 3.已知数列1,3a,5a2,L , (2n 1)an1(a 0) ,求前 n 项和。

例 4.已知函数 y f (x) 的图象经过坐标原点,其导函数为 f ' (x) 6x 2. 数列an 前 n 项和为 Sn ,点
(n, Sn )(n N ) 均在函数 y f (x) 的图象上。

(1)求an 的通项公式;

(2)设 bn



3 an an 1

,Tn

是数列

bn



n

项和,求使得 Tn



m 20

对所有

n

N

都成立的最小正整数

m

的值。

1.已知数列 an



5n n

1, (n



2k

1) (k



N)

,求数列an 前 n

项和为

Sn



22 , (n 2k)

2.求和:

S

n

=1



1

1

2

1 1 23



1

1 23

n

_____________.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

055. 特殊数列求和 一、基础训练题组

1.数列 9,99,999,L 前 n 项和为



2.数列an 的通项公式为 an

1

,则该数列的前 99 项和为

n n 1



3.已知数列

an

是等比数列,

a2



2, a5



1 4

,则

a1a2



a2a3

L

anan1 =



4.在100以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和为



5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0 (n∈N*),

且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

(2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

6.已知数列an 满足 a1 3a2 32 a3 L

3n1an

n .(n N ) 。 3

(1)求an 的通项公式;

(2)设 bn



n an

,求数列bn 前 n

项和

Sn



二、能力提升题组

1.在数列an 中, a1 60 ,且 an1 an 3,则这个数列的前 30 项的绝对值之和为



2.1002 992 982 972 L 22 12



3.已知数列an 中, a1 1, an2 an1 1 0 ,则此数列的前 2009 项之和为



4.数列an 的通项 an

4n 1,令 bn



a1 a2 L n

an

,则数列bn 前 n 项和为



5.已知数列an 的前 n

项和为 Sn

,当

n



2 时,点 ( 1 Sn1

,

1 Sn

)在

f

(x)



x



2

的图象上,且 S1



1 2



(1)求an 的通项公式;

(2)设 bn



2(1 n)an

,求

f

(n)



(n

bn2 5)bn1

的最大值及相应的 n

的值;

(3)当 n 2 时,设Tn b22 b32 L



b2 n1

,证明:

Tn

1.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________, 056. 数列的实际应用

【复习目标】 (1)掌握以数列知识为本质的实际应用问题,如增长率问题、分期付款问题等;

(2)提高运用数列的有关概念、性质建立数学模型的能力. 【课前预学】

1.某种产品平均每三年降低价格 1 ,目前售价为 640 元,则 9 年后的价格为 4

元.

2.某工厂去年产值为a,计划今后每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值





3.一凸多边形,各内角的度数成等差数列,公差为 10°,最小内角为 100°,则凸多边形的边数 n





4.容器中有纯酒精 a 升,现倒出 1 升后用水加满搅匀,规定“倒出 1 升后用水加满搅匀”为一次操作,若

第 n 次操作后容器中酒精浓度为 an ,则{ an }的递推公式是

,通项公式是



5. 第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会 徽图案是由一连串的直角三角形演化而成

(如图),其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,记 OA1,OA2,…,OA8 的长度构成的数列为{an}(n∈N*,1≤n≤8),则{an}的通项公式是

6. 如图,五角星魅力无穷,一动点由 A 处按图中数字由小到大

的顺序依次运动,当第一次运动结束回到 A 处时,数字为 6,按

此规律无限运动,则数字 2013 应在

点处

数列应用常见模型:

(1)银行储蓄单利公式

利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r ,存期为 x ,则本利和 y



(2)银行储蓄复利公式

利息按复利计算,本金为 a 元,每期利率为 r ,存期为 x ,则本利和 y



(3)分期付款

设某商品一次性付款的金额为 a 元,以分期付款的形式等额地分成 n 次付清,每期期末所付款是 x 元,每期

利率为 r ,则 x



(4)产值模型

原来产值的基础数为 N ,平均增长率为 P ,对于时间 x 的总产值 y



【课堂研学】
例 1.某市 2012 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该 市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2012 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750 万平方米? ( 2 ) 当 年 建 造 的 中 低 价 房 的 面 积 占 该 年 建 造 住 房 面 积 的 比 例 首 次 大 于 85% ? ( 参 考 数 据 : 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
例 2.一件商品现价 20000 元,购买者实行分期付款,每期付款数相同,第一期为购买后一个月付款,以后 每隔一个月付款一次,共付 12 次,购买后一年还清,月利率为 0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少? (参考数据:1.00812=1.1)
例 3.某商品进价每个 80 元,零售价每个 100 元,为了促销拟采取买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.根
据市场调查表明:礼品价值为 1 元时销售量可增加 10%,礼品价值为 n +1 元之时比礼品价值为 n 元时的销 售量增加 10%( n N * ). ①设原销售量为 a,写出礼品价值为 n 元之时,利润 yn 元与 n 的函数关系式;

②请你设计礼品价值以使商店获最大利润.

例 4.学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐,每星期一有两样菜:A、B 可供选择.调查资料表明,若在星期

一选 A 菜的下星期一有 20%的人改选 B 菜,而星期一选 B 菜的下星期一则有 30%的人改选 A 菜.若用 An、Bn

分别表示在第 n 个星期一选 A、B 菜的人数.

(1)试用 An、Bn 表示 An1 ;

(2)证明:

An1



1 2

An

300;

(3)若 A1 a ,求 An、Bn .

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

056. 数列的实际应用 一、基础训练题组

1.一梯形的两底边长分别为 12cm 和 22cm,将梯形的一腰 10 等分,经过每个分点作平行于底边的直线,则

这些直线夹在梯形两腰之间的线段长度之和为

cm.

2.红星造纸厂今年 12 月份的产值是去年 12 月份的 m 倍,该厂这一年产值的月平均增长率为



3.一幢大楼共 2 n 层 (n N * ) ,现每层指定一人到第 k 层开会,要使得 2 n 人上、下楼梯所走台阶之和最

少,则 k 应为



4.一弹性球从 32 米高处自由落下,每次着地后又跳回原高度的一半再落下,则第五次着地时所经过的路

程为

米.

5.有一群热带鱼,每周死 2 条,余下的经繁殖增长一周后恰为剩下鱼的数量的 2 倍,设最初有 6 条鱼,则

第 n 周后有热带鱼

条.

6.某渔场第一年鱼的重量增长率为 200%,以后每年的增长率为前一年的一半.

(1)饲养 5 年后,鱼的重量预计是原来的多少倍?

(2)如因客观原因,每年约损失鱼重的 10%,那么几年后渔场中鱼的重量开始下降?

_______________, _______________, ______________, ________________, _______________ _______________, ______________, ________________,

二、能力提升题组

1.从 2013 年 1 月 2 日起,每年 1 月 2 日到银行存一万元定期储蓄,若年利率为 p,且保持不变,并约定每

年到期自动转为下一年的定期存款,到 2023 年 1 月 1 日将所有存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数



万元.

2.对任意实数 x, y ,函数 f (x) 满足 f (x) f ( y) f (x y) xy 1,若 f (1) 1,则对于正整数 n, f (n)

的表达式为



3.某地区位于沙漠边缘地区,人与自然进行了长期顽强的斗争,到 2012 年底,全地区的绿化率已达到 30%,

从 2013 年开始,预计每年出现以下的变化:原有沙漠面积的 16%栽上树,改造为绿洲,同时,原有绿洲面

积的 4%又被侵蚀,变为沙漠.

(1)设 2012 年底绿化率为 a1 ,2013 年底绿化率为 a2 ,从 2012 年底起,经过 n 年绿化率为 an1 ,试将 an1



an

表示出来,并证明数列 an



4 5



是等比数列;

(2)问至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过 60%(年取整数).

4.某地今年年初有居民住房总面积为 am2 ,其中需拆除的旧住房面积占了一半,当地有关部门决定每年以 当年年初住房面积的 10%的住房增长率建设新房,同时每年拆除 xm2 的旧住房,又知该地区人口年增长率
为 4.9‰.
(1)如果 10 年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房面积 x 是多少?(参 考数据:1.004910 1.05,1.110 2.6 )
(2)依照(1)的拆房速度,共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房?

2016 届高考文科 数学一轮复习

057. 数列的综合应用

【复习目标】 (1)进一步加深对数列概念、性质等知识的理解与掌握;

(2)注重数列与函数、不等式等知识的结合,提高综合运用数列知识的能力. 【课前预学】

1.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做

等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值



,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为



2.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4·a2n-4=102n,则数列 2lg a1,2lg a2,2lg a3,2lg

a4,…,2lg an,…的前 n 项和 Sn 等于__________.

3.等差数列{an}与等比数列{bn}中,若 a1=b1>0,a11=b11>0,则 a6 与 b6 的大小关系为_________.

4.已知数列{an}:满足 a1=1,an=a1+12a2+…+n-1 1an-1(n≥2,n∈N*),若 an=100,则 n=________.

5.已知{an} 是递增数列,且对任意 n N * 都有 an n2 n 恒成立,则实数 的取值范围是 .
6.设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 a1 a3 ,数列 Sn 是公差为 d 的等差数列,

则数列an 的通项公式为

(用 n, d 表示);

数列常与不等式结合,如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等,需熟练应用不等式知识解 决数列中的相关问题;数列作为特殊的函数,在数列问题处理中学会用函数的思想解决问题.
【课堂研学】 例 1.将正奇数如下分组:(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),…, (1)2013 出现在第几组中? (2)求第 n 组之和及前 n 组之和是多少?

例 2.已知函数 f(x)=2x3+x 3,数列{an}满足 a1=1,an+1=fa1n,n∈N*, (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求 Tn; (3)令 bn=an-11an (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若 Sn<m-22 001对一切 n∈N*成立,求最小正整数 m.



3.设函数

f

(x)



1 4

x2



1 2

x

3 4

,对于正数数列an ,其前 n

项和为 Sn ,且 Sn



f

(an ) , (n N ) .

(1)求数列an 的通项公式;

(2)是否存在等比数列 bn ,使得 a1b1 a2b2 L anbn 2n1(2n 1) 2 对一切正整数 n 都成立?若存

在,请求出数列bn 的通项公式;若不存在,请说明理由.



4.数列

an

是首项为

a1



1 4

,公比

q



1 4

的等比数列,设

bn



2



3 log 1
4

an

(n N ) ,数列 cn 满足

cn an bn .

(1)求数列an 、 bn 的通项公式;(2)求数列cn 的前 n 项和 Tn ;

(3)若 cn



m2



1 4

m



1 2

对一切正整数

n

恒成立,求实数

m

的取值范围.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

057. 数列的综合应用 一、基础训练题组 1.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n·(3n-2),则 a1+a2+…+a10=________.
2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n=___.
3.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比为

________.

4.在如下的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a+b+c=

________.

1

2

0.5

1

a

b

c

5.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an-n(n1+1).

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=nan·2n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
二、能力提升题组 1. {an}是等差数列,a2=8,S10=185,从{an}中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项,…,第 3n 项,按原来
的顺序排成一个新数列{bn},则通项公式 bn=____________. 2.数列{an}满足 3an+1+an=4 (n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<1125的最小正整
数 n 是________. 3.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值
为________. 4.对正整数 n,若曲线 y=xn (1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列n+an 1的前 n 项和
为____________.
5.已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog12an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n·2n+1>50 成立的最小正整数 n 的值.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________ 058. 合情推理与演绎推理

【复习目标】 (1)能用归纳和类比等进行简单的推理,体会并了解合情推理在数学发现中的作用。 (2)归纳、类比是合情推理的两种常用的形式
【课前预学】

1.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和都是 180°; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸 n 边形内角和是(n -2)·180°.
2.已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a33=________.
3.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四 面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为__________.
4.观察下列等式 1=1
2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为________________________________________________.

1.合情推理主要包括__________和____________. 合情推理的过程

从具体问,题出发 →观察、分析、,比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
(1)归纳推理:从____________中推演出________的结论的推理.归纳推理是由部分到整体、由个别到一 般的推理. 归纳推理的基本模式:a、b、c∈M 且 a、b、c 具有某属性, 结论:? d∈M,d 也具有某属性.
(2)类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的________或________,推演出它们在其他方面也 ________或________的推理.类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性 a,b,c,d; B:具有属性 a′,b′,c′; 结论:B 具有属性 d′. (a,b,c,d 与 a′,b′,c′,d′相似或相同)
2.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理. (1) “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)“三段论”可以表示为 ①大前提:M 是 P; ②小前提:S 是 M; ③结论:S 是 P.

【课堂研学】

例 1.(1)已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3+ 17<2 10, 7.5+ 12.5<2 10, 8+ 2+

12- 2<2 10,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数 m,n 都成立的条件不等式________. (2)已知 sin2300+sin2900+sin21500=32 ;sin2600+sin21200+sin21800=32 ;

sin2450+sin21050+sin21650=32 ;sin2150+sin2750+sin21350=32 ;

观察上述等式,写出一个一般性命题:

=32 (*),并证明(*)式.

例 2 (1)请用类比推理完成下表: 平面
三角形两边之和大于第三边
三角形的面积等于任意一边的 长度与这边上高的乘积的一半 三角形的面积等于其内切圆半 径与三角形周长的乘积的一半

空间 三棱锥任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 三棱锥的体积等于任意一个表面 的面积与该表面上的高的乘积的 三分之一

(2)数列{an}是正项等差数列,若 bn=a1+21a+22++33a+3…+…+n+nan ,求证:{bn}也为等差数列,类

比上述结论,写出正项等比数列{cn},若 dn=

,则数列{dn}也为等比数列,并证

明你的结论。

例 3.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=n+n 2·Sn (n∈N*),证明:

(1)数列Snn是等比数列;

(2)Sn+1=4an.

例 4.已知函数 y=x+ax 有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在(0,
在[ a , +∞)上是增函数。 2b
(1)如果函数 y=x+ x (x>0)的值域为[6, +∞),求 b 的值;

a ]上是减函数,

(2)研究函数 y=x2+xc2 (常数 c>0)在定义域内的单调性,并说明理由。 (3)对函数 y=x+ax 和 y=x2+xa2 (常数 a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函 数的单调性(只需写出结论,不必证明),

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

058. 合情推理与演绎推理

一、基础训练题组 1.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), (1,5),(2,4),…则第 60 个数对是________. 2.设正数数列{an}前 n 项和为 Sn,且存在正数 t,使得对所有自然数 n,有 tSn=t+2 an,则通过归纳猜想可 得到 Sn=________. 3.如图所示,在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的 一个角,那么截下的一个直角三角形,按图形所标的边长, 有 c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截 面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O—LMN.如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面的面积,S4 表 示底面积,试类比得到一个相应的命题______________. 4.已知命题:若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b (m≠n,m、n∈N*),则 am+n=bnn--mam;现已知等比数 列{bn} (b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b (m≠n,m、n∈N*),若类比上述结论,则可得到 bm+n=__________.

1

1

1

1

5.已知函数 f (x) x3 x 3 , g(x) x3 x 3 ,

5

5

(1)证明 f (x) 是奇函数;

(2)分别计算 f (4) 5 f (2)g(2) 和 f (9) 5 f (3)g(3) 的值, 由此概括出涉及函数 f (x) 和 g(x) 的对所有

不等于 0 的实数 x 都成立的一个等式, 并加以证明.

二、能力提升题组

1.观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________.

2.现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都 是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重

叠部分的面积恒为 a2 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中 4

一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为

.

3.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

4.已知数列 a1, a2 ,L , a30 ,其中 a1, a2 ,L , a10 是首项为1,公差为1的等差数列; a10 , a11,L , a20 是公差为 d 的等差数列; a20 , a21,L , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d 0 ). (1)若 a20 40 ,求 d ;(2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围.
_______________, _______________, ______________, ________________, _______________ _______________, ______________, ________________

2016 届高考文科 数学一轮复习

059. 直接证明与间接证明

【复习目标】 (1)了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点(2)了解间 接证明的一种基本方法:反证法;了解反证法的思考过程和特点. 【课前预学】

1.用反证法证明命题:“a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容 应为__________________.

2.已知 a 5 3 , b 7 5 ,则 a 与 b 的大小关系是_____________

3.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使ba+ab≥2 成立的条件的个数是________.

4.已知函数

f(x)=lg

1-x 1+x,若

f(a)=b,则

f(-a)=________(用

b

表示).

5.设 a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是________.(填序号)

①b-a>0; ②a3+b3<0;③a2-b2<0; ④b+a>0.

6.下面有 4 个命题:

①当 x>0 时,2x+21x的最小值为 2;

x2 y2 ②若双曲线a2-b2=1

(a>0,b>0)的一条渐近线方程为

y=

3x,且其一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合,

则双曲线的离心率为 2;

③将函数 y=sin 2x 的图象向右平移π6 个单位,可以得到函数 y=sin2x-π6 的图象;

④在 Rt△ABC 中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径 r=

a2+b2 2 ;类比到空间,若三棱锥

S—ABC

的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别为 a、b、c,则三棱锥 S—ABC 的外接球的半径 R=

a2+b2+c2 2.

其中错.误.命题的序号为________.

1.直接证明 (1)综合法
①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的

结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P? Q1 → Q1? Q2 → Q2? Q3 →…→ Qn? Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等, Q 表示要证明的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示: Q? P1 → P1? P2 → P2? P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成 立,这样的证明方法叫做反证法.

【课堂研学】

例 1.(1)设 a,b,c>0,证明:ab2+bc2+ca2≥a+b+c.

(2)已知 a、b、c 为不全相等的正实数,证明: b c a c a b a b c 3.

a

b

c



2

对于任意的

x1,

x2



R( x1



x2 )

,若函数

f

(x)



2x,

试比较

f

(x1) 2

f

( x2 )



f

(

x1

2

x2

)

的大小

例 3.已知非零实数 a,b,c 成等差数列, a c ,求证: 1 , 1 , 1 不可能成等差数列 abc

例 4. 已知函数 f(x)=log2(x+2),a,b,c 是两两不相等的正数,且 a,b,c 成等比数列, (1)试判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系 (2)证明你对(1)下的结论.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

059. 直接证明与间接证明 一、基础训练题组 1.在由正数组成的等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=4,则 a4+a5=________. 2.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意 m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m +1,1)=2f(m,1).给出以下三个结论:
(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26. 其中正确结论的个数为________. 3.函数 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,当 m,n∈[-1,1],且 m+n≠0 时,有 f (m) f (n) 0.
m n
(1) 证明:f(x)在[-1,1]上是增函数; (2) 若 f(x)≤t2-2at+1,当 x∈[-1,1],a∈[-1,1]时恒成立,求 t 的取值范围.

二、能力提升题组 1.若 a,b,c 为 Rt△ABC 的三边,其中 c 为斜边,那么当 n>2,n∈N*时,an+bn 与 cn 的大小关系为____________. 2.凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2,…,xn,有
f(x1)+f(x2)n+…+f(xn)≤fx1+x2+n …+xn,已知函数 y=sin x 在区间(0, )上是凸函数,则在△ABC

中,sin A+sin B+sin C 的最大值为________. 3.已知函数 f(x)=x2-cos x,对于-π2 ,π2 上的任意 x1,x2,有如下条件:
①x1>x2; ②x12>x22; ③|x1|>x2. 其中能使 f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________. 4.如图,设 SA,SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点。 求证:AC 与平面 SOB 不垂直
5.若三个方程 x2 4ax 4a 3 0, x2 (a 1)x a2 0, x2 2ax 2a 0 中至少有一个方程有实根,求 实数 a 的取值范围.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________, ______________, 2016 届高考文科060. 简单的空间几何体 数学一轮复习

________________

【复习目标】

(1)直观了解柱、锥、台等多面体及其简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体

的结构. (2)了解中心投影及平行投影的概念; (3)会用斜二测画法画出立体图形的直观图. 【课前预学】
1.构成多面体的面最少是____________个.

2.直观图(如图)中四边形

为菱形边长为

2



则在坐标系

中四边形

为 ,面积为

.

3.以下命题:①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥; ②夹在圆柱的两个平行截面间的几 何体还是圆柱; ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台. 其中正确的命题序号是________.

4.下列几个命题,正确的是________________. ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥

③棱锥的所有面可能都是直角三角形

④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形 ⑤三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥

⑥顶点在底面上的射影是底面多边形的内心,又是外心的棱锥必是正棱锥

1.多面体 ( 1 ) 一 般 地 , 由 一 个 平 面 多 边 形 沿 某 一 方 向 平 移 形 成 的 空 间 几 何 体 叫 做 ________ ; 棱 柱 两 个 底 面 是 ____________,且对应边互相________,侧面都是______________. (2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做________;棱锥底面是________,侧面是有一 个公共顶点的________. (3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做________. 2.旋转体 (1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周, 形成的几何体分别叫做________、________、________; (2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做________,球面围成的几何体叫做________, 简称______.

【课堂研学】

例 1.(1)给出下列命题

①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱;

②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱;

③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥

④棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分.

其中正确的是

(2)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是

①棱柱有一条侧棱与底面垂直

②棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直

③棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直 ④棱柱有一个侧面是矩形且它与底面垂直

(3)下列命题中正确的是____________.

①底面是正多边形的棱锥为正棱锥;②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥;

③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥;

④底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥是正棱锥.

例 2.(1)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为 2, 则该三角形的斜边长为______________.

(2)如下图,有两个相同的直三棱柱,高为

,底面三角形

的三边长分别为

.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有

可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则

的取值范围

是___________ 例 3. 如右图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱

柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 CC1 的交点为 N.求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长.

,设这条最短路线与

例 4.已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱.

(1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大?

如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积 该圆柱的侧面积之差是______________

最大时,球的表面积与

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组

1.一个棱柱至少有

个面,面数最少的棱柱有

个顶点,有

条棱。

2.以下四个命题中,真命题的是_________

①底面是矩形的平行六面体是长方体;

②棱长相等的直四棱柱是正方体;

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直六面体;

④体对角线相等的平行六面体是直平行六面体.

3.下列关于棱柱的一些叙述,其中正确命题的个数是________________.

①侧棱都相等、侧面是平行四边形;

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

4.下列命题正确的是____________.

①以矩形的一边为轴旋转一周所得的几何体是圆柱

②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的几何体是圆锥;

③以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的几何体是圆台;

④一个平面截圆锥后得到一个圆锥与圆台.

5.下列命题中,真命题的序号是

__________.

①圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线是圆锥的母线;

②圆柱的两条母线一定是平行直线;

③圆台的上下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;

④圆台的两条母线可能是异面直线,

6. 已 知 四 边 形

是等腰梯形,两底边为





直线旋转一周所得的几何体是由 、 二、能力提升题组

,绕



构成的几何体.

所在的

1.甲乙两人分别利用一张长 20 厘米,宽 15 厘米的纸,用两种不同的方法围成一个圆柱体(接头处不重叠),

那么围成的圆柱侧面积_______,体积___________.(填写是否相等) 2.如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发,沿着三 棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为______ cm.

3.圆台上、下底面半径分别为 5cm,10cm,母线长为 20cm,从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳,围绕圆台侧面 转至下底面的 B 点,求 BM 间细绳的最短长度.

_______________, _______________, ______________, ________________,
_______________ _______________, ______________, ________________
2016 届高考文06科1. 空间几何体的表面积与体积 数学一轮复习
【复习目标】 (1)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式; (2)会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆台和球的表面积和体积. 【课前预学】

1.所有棱长为 1 的正三棱锥的全面积为________. 2.圆锥的底面半径为 3,高是 4,则它的侧面积为

3.若正方体的全面积为 6,且它的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为 .

4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是_________.

5. 一 张 长 和 宽 分 别 为 8 和 4 的 矩 形 纸 板 , 将 它 折 成 正 四 棱 柱 的 侧 面 , 则 此 四 棱 柱 的 的 对 角 线 长为 ________________.

6.圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是______.

7. 若 等 腰 直 角 三 角 形 的 直 角 边 长 为 2 , 则 以 一 直 角 边 所 在 直 线 为 轴 旋 转 一 周 所 成 的 几 何 体 的 体 积



.

8.已知正四棱柱的体积为 4,过相对侧棱截面面积为 8,则该正四棱柱的全面积为___

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 圆柱 圆锥

面积 S 侧=________
S 侧=________

圆台

S 侧=____________

直棱柱 正棱锥

S 侧=______ S 侧=__________

正棱台

S 侧=____________



S 球面=________

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.

体积
V=______=__________
V=________=__________= 1 3πr2
1 V=3(S 上+S 下+)h 1 22 =3π(r1+r2+r1r2)h
V=______
V=________ 1 V=3(S 上+S 下+)h
V=________________

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、______、________;它们的表面积 等于侧面积与底面面积之和.

【课堂研学】 例 1. ( 1 ) 已 知 一 个 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 的 比 为 3 ∶ 2 ∶ 1 , 对 角 线 长 是

,求这个长方体的表面积与体积. (2)已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 6,侧棱长为 5,求四棱锥 P-ABCD 的体积与全面积.
例 2. 已知圆台的上、下底面半径分别为 2、5,且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长。
例 3.三棱锥 A-BCD 中,棱 AB 长为 6,其余的棱都为 5,求它的体积与表面积.
例 4.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900 (1)求证:PC⊥BC

(2)求点 A 到平面 PBC 的距离

例 5. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD, ABCD 是菱形,AC=6,BD=8,E 是 PB 上任意一点, 的最小值为 3 (1)求证:AC⊥DE (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

四边形 △AEC 面积

1.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______。

2. 若 圆 锥 的 侧 面 积 为

,底面积为

,则该圆锥的体积为___

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组
1.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1cm,那么该棱柱的表 面积为 ____________cm2. 2.若一个圆台下底面面积是上底面面积的 4 倍,高是 3cm,体积是 63pcm3 则圆台的侧面积为____________. 3.正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为

4.侧面都是直角三角形的正三棱锥的底面边长为 a,则此棱 锥的全面积为__________. 5.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形

和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是

.

6.体积为 52 的圆台,一个底面积是另一个底面积 9 倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是______.

7.一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小锥

与原锥体的体积之比为_____________.

8. 四棱锥 P-ABCD 的底面是面积为 9 的的矩形, PA⊥底面 ABCD, ∠PBA=60°∠PDA=30°,求四棱锥的全面积.

二、能力提升题组

1.已知正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为

,则它的外接球的

表面积为_____________. 2.在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两互相垂直且长度都为 a,则这个球的表面积为__________. 3.设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V, P、Q 分别是侧棱 AA1、 CC1 上的点, 且 PA=QC1 , 则四棱锥 B-APQC 的体 积为___________________.

4.如下图,在轴截面是直角三角形的圆锥内,有一个内接圆柱,若圆柱的全面积等于圆锥的侧面积,求圆 柱的体积与圆锥的体积的比值.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________, 2016 届高考文科 062. 平面的基本性质 数学一轮复习

______________,

【复习目标】

(1)了解平面的基本性质以及确定平面的条件;

(2)掌握线共点、点共线、线共面的判断方法; (3)能准确地使用文字语言、符号语言和图形语言.

【课前预学】

______________

1.给出下列命题:①四边形是平面图形; ②有三个公共点的两个平面重合;

③两两相交的三条直线必在同一平面内; ④三角形必是平面图形.

上述命题中,真命题的序号是

______________.

2.(1)若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是

__________.

(2)三个平面把空间最多可以分成

个部分.

3.①如果 a∥c,b∥c 直线,那么 a,b 可以确定一个平面;②如果直线 a 和 b 都与直线 c 相交,那么 a,b 可

以 确 定 一 个 平 面 ; ③ 如 果 a ⊥ c,b ⊥ c 那 么 a,b 确 定 一 个 平 面 ④ 直 线 a 过 平 面













外一点,直线 b 在平面

内不过该点,那么 a 和 b 是异面直线,上述四个命题中,真

命题的个数是_______个.

4.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱共有_____________条.

5. 已知平面α外不共线的三点 A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是______.

①平面 ABC 必平行于α

②平面 ABC 必与α相交

③平面 ABC 必不垂直于α ④存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内

6. 两 条 相 交 直 线 l,m 都 在 平 面

内且都不在平面

内,命题甲:l 和 m 中至少有一条与

相交;命题乙:平面

与平面



交,则甲是乙的____________条件.

1.平面: (1)平面的两个特征:①



.

(2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面.

(3)平面的表示:

1°用一个小写的希腊字母





等表示,














2°用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母表示,如平面 ABCD、平面 AC. 2.平面的基本性质 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内.

,

,

,

____________

公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条 ___________________的直线。 公理 3:经过___________________的三点,有且只有一个平面. 推论 1:经过一条直线和_______________的一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条_______直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条________直线,有且只有一个平面. 注:公理 1 的作用:①证明点在平面内;②证明直线在平面内.
公理 2 的作用:①确定两个平面的交线;②证明三点共线或三线共点. 公理 3 及其推论的作用:①是确定一个平面的条件;②证明有关的点线共面问题.
【课堂研学】
例 1. 已知:如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点, 求证:(1)E,C,D1,F,四点共面;
(2)CE,D1F,DA 三线共点。
例 2.如图,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1C1∩B1D1=O1,B1D∩截面 A1BC1=P. 求证:(1)P∈B O1;
(2)B1D 被平面 A1BC1 截于三等分点.

例 3.证明:空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

1.已知





是三个相互平行的平面.平面



之间的距

离为

,平面















.直线





























=

”是



”的__________条件

2.如图,面 ABEF⊥面 ABCD,四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥

AD



BE



AF,G、H 分别是 FA、FD 的中点。 (Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C、D、E、F 四点是否共面?为什么?

【巩固拓展】 一、基础训练题组

班级

姓名

学号

1. 将 “ 平 面

与平面









线

,直线

分别











线

与 O”用数学符号语言可表达为__________________________. 2.给出以下四个命题: ①若空间四点不共面,则其中无三点共线;

相交于点

②若直线

上有一点在平面

外,则



外;

③若直线 a,b,c 中,a 与 b 共面且 b 与 c 共面,则 a 与 c 共面; ④两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是_______________. 3.下列命题是真命题的是________. ①空间不同三点确定一个平面; ②空间两两相交的三条直线确定一个平面; ③空间任何有三个内角是直角的四边形一定是平面图形; ④和同一直线都相交的三条平行直线在同一平面内. 4.给出命题:

①若

,则



②若

,则



③若

,则





,且 A,B,C 不共线,则

重合。

上述命题中,真命题的个数是_______________。
二、能力提升题组 1. 如图所示,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ、CB 的延长线交于 M,RQ、DB 的延长线交于 N,RP、DC 的延长线交于 K.求证:M、N、K 三点共线.

2.三个平面

两两相交,a,b,c 是三条交线.

⑴若

, 求 证 :a,b,c 三 线 共 点 ; ⑵ 若

∥ 证:a,b,c 互相平行.

,求

3.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,若 A1C 交 平面 DBFE 于 R 点,试确定 R 点的位置.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________ 063. 空间两直线的位置关系

【复习目标】 1.感受和理解空间两直线位置关系,并能正确判定;了解平行公理和等角定理. 2.掌握两条直线平行、垂直关系的有关概念;并用上述概念进行论证和解决有关问题; 3.理解异面直线的概念,异面直线所成角、垂直的概念.
【课前预学】

1.棱台的任意两条侧棱所在直线一定是

(填空间两条直线的位置关系中的一种)

2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是__________________.

3.已知 AOB 120 ,直线 a // OA,直线 b // OB ,且 a 与 b 是异面直线,则 a 与 b 所成的角



.

4.正方体的一条对角线所在直线与正方体的棱所在直线可组成异面直线的有_________对.

5. a, b 是异面直线,且分别在平面, 内,若 I l ,则下列说法正确的命题有

个.

①直线 l 必定与 a, b 都相交;

②直线 l 必定与 a, b 都不相交;

③直线 l 必定至少与 a, b 之一相交; ④直线必定 l 至多与 a, b 之一相交;
6. 设 a、b、c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 也相交. ②若 a 与 b 平行,b 与 c 平行,则 a 与 c 也平行. ③若 a 与 b 垂直,b 与 c 垂直,则 a 与 c 也垂直. ④若 a 与 b 是异面直线,b 与 c 是异面直线,则 a 与 c 也是异面直线 ⑤若 a 与 b 共面,b 与 c 共面,则 a 与 c 也共面.其中真命题的个数是__________.

7.已知直线 l 、 m 和平面 ,则 l // m 的一个充分不必要条件是 ①直线 l 、 m 和平面 成等角 ② l // 且 m //

③l 且m

④ l // 且 m

1.空间两条直线的位置关系有以下三种:

位置关系

共面情况

公共点个数

2.平行公理 4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行.即 a // b, b // c a // c .

3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别

,并且方向 ,那么这两个角相等.

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

4.异面直线:

(1)概念:我们把

的两条直线叫做异面直线.

(2)异面直线的判定:

①定理:

.

②反证法:

※(3)异面直线所成角:a,b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别作这两条直线的平行线 a′,

b′,我们把直线 a′,b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a,b 所成的角.

注:①异面直线所成角的范围为



②当两条异面直线位置给定后,它们所成角的大小不会因为点 O 的位置选取不同而发生改变。利用

平移来确定平面,作出两条异面直线所成的角,是将空间问题转化为平面为题的一条重要途径. (4)若异面直线 a,b 所成的角是直角,则称异面直线 a,b 互相垂直.记为 a⊥b

【课堂研学】

例 1.正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 、 B1C1 的中点 (1) AM 和 CN 是否为异面直线?说明理由 (2) D1B 和 CC1 是否为异面直线?说明理由

例 2.如图,在三棱锥 A—BCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; (2)若 AC=BD,求证:四边形 EFGH 是菱形; (3)当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是正方形?
例 3. 已知 a,b 是异面直线,a 上有两点 A、B 距离为 8,b 上有两点 C、D 距离为 6,AD、BC 的中点为 M、N 且 MN=5,求证:a⊥b

如图, ABCDEFG 为多面体,平面 ABED 与平面 AGFD 垂直,点 O 在线段 AD 上, OA 1,OD 2, △ OAB,,△ OAC ,△ ODE ,△ ODF 都是正三角形,证明直线 BC ∥ EF

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组

1.“两条直线没有公共点”是“这两条直线为异面直线”的_______________条件. 2.设 a,b,c 是空间三条直线,a//b, a 与 c 相交,则 b 与 c 的位置关系是_________.

3. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F,G, H 分别 AA1 、 CC1 、 C1D1 、 D1A1 为的中点,则四边形 EFGH

的形状为_______

.

4.设 a、b、c 表示直线,给出四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a//c.以其中任意两个为条件,另外的

某一个为结论,写出你认为正确的一个命题 5.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中,

①GH 与 EF 平行;

②BD 与 MN 为异面直线;

③GH 与 MN 成 60°角; ④DE 与 MN 垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是________.

6.如果 a,b 是异面直线,P 是不在 a,b 上的任意一点,下列四个结论:

①过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都相交; ②过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都垂直;

③过 P 一定可作平面 与 a,b 都平行; ④过 P 一定可作直线 l 与 a,b 都平行.

其中正确结论的序号为_______

.

7.已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,M,N 分别是 CD,AD 的中点.

(1)求证:四边形 MNA′C′是梯形.

(2)求梯形 MNA′C′的面积.

二、能力提升题组

1.平面 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是 m1 和 n1 ,给出下列
四个命题:

① m1 ⊥ n1 m ⊥ n ;

② m ⊥ n m1 ⊥ n1 ;

③ m1 与 n1 相交 m 与 n 相交或重合; ④ m1 与 n1 平行 m 与 n 平行或重合;
其中不.正.确.的命题个数是____________. 2.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是________.(填序号) ①若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面; ②若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 也是异面直线; ③若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC; ④若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC. 3.在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点.
(1)若 AC⊥BD,求证:EFGH 为矩形;
(2)若 BD=2,AC=6,求 EG2+HF2;
(3)若 AC,BD 成 30°角,AC=6,BD=4,求四边形 EFGH 的面积.

_______________, _______________, ______________, ________________, _______________ _______________, ______________, ________________

2016 届高考文科 数学一轮复习

064. 直线与平面的位置关系(1)

【复习目标】 1.了解直线与平面的位置关系; 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关问题. 【课前预学】

1.给定空间的直线 l 与平面 .条件“直线 l 与平面 内无数条直线都平行”是“直线 l 与平面 平行”的
条件

2.梯形 ABCD 中 AB//CD, AB ,CD ,则 CD 与平面 内的直线的位置关系只能是

.

3.(1)点 A 是平面 外一点,过 A 和平面 平行的直线有



(2)点 A 是直线 l 外一点,过 A 和直线 l 平行的平面有



4.(1)过两条异面直线中的一条和另一直线平行的平面有



(2)过两条平行直线中的一条和另一直线平行的平面有



5. 若 A、B、C、D 是不共面的四个点,则与这四点距离相等的平面有

个.

6. 已知 a∥α,b∥α,则下列关于直线 a,b 的位置关系中:① 平行;② 垂直不相交;③ 垂直相交;④

不垂直且相交;⑤ 不垂直且不相交.其中可能成立的有______________个.

7.过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有_____________



1.直线与平面的位置关系

位置关 系

直线 a 在平面α 内

直线 a 与平面α相 交

公共点

符号表



直线 a 与平面α平行

图形表

示 2.直线和平面平行
(1)定义:

(2)判定定理:

如果

的一条直线和

的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 符号语

言:

.

(3)直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那

么这条直线和______平行.

符号语言:

.

(4)直线与平面的距离:

【课堂研学】
例 1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B 和 AC 上的点,且 A1M=AN. 求证:MN∥平面 BB1C1C.

例 2. 已知直线 a∥平面α,直线 a∥平面β,平面α∩平面β=b.求证:a∥b.
例 3.在三棱锥 P-ABC 中,F、M 分别是棱 PB、AC 的中点,E 为 PC 上一动点, 若 E 点满足条件 AF//平面 MEB. 试确定点 E 的位置,并证明你的结论.
如图,在长方体 ABCD – A1B1C1D1 中,E,H 分别是 棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合),且 EH//A1D1。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G。

(I)证明:A D//平面 EFGH; (II)设 AB=2AA1=2a.在 长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取 取自于几何体 A1ABFE – D1DCGH 内的概率为 p。当点 E,F B1B 上运动且满足 EF=a 时,求 p 的最小值

一点,记该点 分别在棱 A1B1,

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组

1. 给出下列四个命题:

① 若一条直线与一个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行;

② 若一条直线与一个平面内的两条直线平行,则这条直线与这个平面平行;

③ 若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;

④ 若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行.

其中正确命题的个数是______________个.
2. 若直线 m 不平行于平面 ,且 m ,则下列结论成立的是______.

① 内所有直线与 m 异面;

② 内不存在与 m 平行的直线;

③ 内存在唯一的直线与 m 平行;

④ 内的所有直线与 m 都相交.

3.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PD 平面 ABCD, AD CD , DB 平分 ADC , E 为的 PC 中点,

AD CD 1, DB 2 2

(1)证明: PA // 平面 BDE

(2)证明: AC 平面 PBD

二、能力提升题组

1.若直线 a 、 b 是异面直线,给出下列命题

①过直线 a 有且仅有一个平面与直线 b 平行 ②过直线 b 有无数个平面与直线 a 平行

③P 为空间一点,过 P 总能作一条直线与 a 、 b 都相交

④P 为异面直线 a 、 b 外一点,过 P 与 a 、 b 都平行的平面有且仅有一个

其中正确的命题有

(填命题序号)

2.已知正四棱锥 P—ABCD 的底面边长与侧棱长均为 13,M、N 分别是 PA、BD 上的点,且 PM∶MA=BN∶ND=5∶

8

求证:直线 MN//平面 PBC

3.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,侧棱 A1A⊥底面 ABC,点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB=2.问:当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF?

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________ 065. 直线与平面的位置关系(2)

【复习目标】 1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关问题. 2.正确理解点到面的距离、线面距离,会利用相关知识论证解决有关问题

【课前预学】

1.下列命题中正确的命题有



①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;

②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;

③一条直线垂直于平面内两条直线,则这条直线垂直于这个平面;

④垂直于同一个平面的两条直线平行

2. 已知直线 l⊥平面 ,有以下几个判断:① 若 m⊥l,则 m∥ ;② 若 m⊥ ,则 m∥l;③ 若 m∥ ,

则 m⊥l;④ 若 m∥l,则 m⊥ .其中正确的是_______.

3.已知 AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上不同于 A、B 的任意一点,PA 垂直于圆 O 所在的平面,则△PAB、△PAC、

△ABC、△PBC 中,共有

个直角三角形.

4.在矩 ABCD 中,AB=3,BC=4,PA⊥面 ABCD,PA=1,则 P 到对角线 BD 的距离为

5.在空间四边形 ABCD 中

(1)若 AB=AC=AD,则 A 在面 BCD 上的射影为△BCD 的 心.

(2)若 AB=AC=AD,且∠BCD=90°,则 A 在面 BCD 上的射影所在位置是 .

(3)若 AB、AC、AD 两两垂直,则 A 在面 BCD 上的射影为△BCD 的 心.

1.直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的
2.直线和平面垂直的判定

直线都垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.

(1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的_________________直线都垂直,那么这条直线垂直于这个

平面 新疆 王新敞 奎屯

符号语言:

.

(2)其它判定方法

3.直线和平面垂直的性质

(1)直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线_____.

符号语言:

.

(2)若 a⊥ ,b 则

(3)若 a⊥ ,a⊥ 则
4.相关概念 (1)点到面的距离: (2)直线与平面的距离: ※(3)直线和平面所成角: 注:重要结论:过一点有且只有
过一点有且只有

条直线与已知平面垂直; 个平面与已知直线垂直.

【课堂研学】 例 1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点. 求证:EF⊥平面 PAB.
例 2.已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 ABCD,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E,过 E 作 EF⊥SC 于 F. (1) 求证:AF⊥SC; (2) 若平面 AEF 交 SD 于 G,求证:AG⊥SD.

例 3.已知四面体 ABCD 中,AB⊥CD,AC⊥BD, 求证:(1)A 在平面 BCD 上的射影 H 是△BCD 的垂心;(2)AD⊥BC.
例 4.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1) 求证:C1C⊥BD;
(2) 当 CD 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1

如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中,已知 AC BC , BC CC1 ,设 AB1 的中点为 D ,B1C BC1 E .

求证:(1) DE // 平面AA1C1C ; (2) BC1 AB1 .

A

C

B

D A1

E C1

B1

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组

1.“直线 l 垂直于平面 内的无数条直线”是“ l ”的_______________条件.

2. 给出以下命题:

①平行于同一平面的两条直线平行;

②垂直于同一平面的两条直线平行;

③如果一条直线和一个平面平行,那么它和这个平面内的任何直线平行;

④如果一条直线和一个平面垂直,那么它和这个平面内的任何直线垂直.

其中正确命题的是_______________.
3.设 和 为不重合的两个平面,给出下列命题:

(1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线,则 平行于 ;

(2)若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行,则 l 和 平行;
(3)设 和 相交于直线 l ,若 内有一条直线垂直于 l ,则 和 垂直;

(4)直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直。

上面命题中,真.命.题.的序号

(写出所有真命题的序号).

4.如图 PA 矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB 和 PC 中点.

(1)求证:MN CD;

P

(2)若 PDA 45,求证:MN 平面 PCD

N

A

D

M

B

C

二、能力提升题组 1.①空间四边形中,互相垂直的边最多有__________对;
②在三棱锥的四个面中,最多可以有_______个直角三角形.

2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是

____________.

3.点 A,B 到平面 的距离分别是 4cm,6cm,则线段 AB 的中点 M 到平面 的距离是

.

4.如图 SA⊥面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥SB,且 SB∩AE=E,AF⊥SC,且 AF∩SC=F, 求证:(1) AE⊥面 SBC;(2) SC⊥EF

S F

E

A

C

B

_______________, _______________, ______________, ________________, _______________ _______________, ______________, ________________

2016 届高考文科 数学一轮复习

066. 平面与平面的位置关系(1)

【复习目标】 1.了解平面与平面的位置关系; 2.掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关问题 【课前预学】

1.以下命题: ①垂直于同一条直线的两个平面平行;②与同一条直线成等角的两个平面平行; ③一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行,则这两个平面平行

④一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等,则这两个平面平行; ⑤两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行. 其中正确命题的序号是______________.
2.平面 内的两条直线 a, b 都平行于平面 ,则 和 的位置关系是_____________ 3. 已知平面 // ,直线 l ,点 P ,则关于平面 内过点 P 的直线有以下说法:

① 不存在与 l 平行的直线;

② 不一定存在与平面 平行的直线;

③ 有且只有一条与 l 平行的直线;

④ 有无数条与 l 平行的直线.

其中正确的是_____________.(填序号) 4.若夹在两个平行平面间的两条线段相等,则这两条线段所在直线的位置关系是 5.设平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS = 18,BS = 9,CD = 34,则 CS = _____________.

1.两个平面的位置关系 位置关系 公共点
符号表示 图形表示

两平面平行

两平面相交

2.两个平面平行 (1)定义:________________________________________________. (2)两平面平行的判定:
①判定定理:如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号语言:
②垂直于同一条直线的两个平面平行. ③平行于同一个平面的两个平面平行. (3)两个平面平行的性质
①性质定理:若一个平面与两个平行平面都相交,则两交线___________.
符号语言:

②两个平行平面中的一个平面内的所有直线__________于另一个平面.

③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,必_________于另一个平面.

④夹在两个平行平面间的平行线段



※(4)两个平行平面距离

和两个平行平面同时

的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面



,两个平行面的公垂线段的

,叫做两个平行平面的距离.

注:①过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个.

②两个平行平面间的距离处处相等.

【课堂研学】

例 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,设 M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是棱 B1C1、C1D1 的中点.求 证: (1)E、F、B、D 四点共面; (2)求证:平面 AMN//平面 EFBD

例 2 . 已知平面 ∥平面 ,AB、CD 是夹在平面 和平面 间的两条线段,点 E、F 分别在 AB、CD 上,且 AE CF m .求证:EF∥ ∥ .
EB FD n
例 3.已知直线 a,b 异面,平面 过 a 且平行于 b,平面 过 b 且平行于 a,求证: ∥ .

例 4.如图,已知平面 α∥平面 β,线段 PQ、PF、QC 分别交平面 α 于 A、B、C、点,交平面 β 于 D、F、E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是 72,求△DEF 的面积.

P

A

α

C

B

β D

E

F

Q

1.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列四个命题:

①若β∥γ,α∥γ,则β∥α;②若α⊥β,m∥α,则m⊥β;

③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;④若m∥n,n α,则m∥α. 其中正确的命题是 .(填序号) 2.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,那么下列命题中为真命题的是

.(填序号)

①若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n;②若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;

③若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m∥n;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组

1.设 a .甲: // , 乙: a // ,则甲是乙的

条件

2. 一直线平行于两平行平面中的一个,则它与另一平面的位置关系是_____. 3.下列各命题中不.正.确.的命题个数是

①平行于同一直线的两个平面平行;

②平行于同一平面的两个平面平行;

③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交;

④垂直于同一直线的两个平面平行.

4. 已知 , 是不重合的两个平面,则下列条件中,可推出α∥β的是_______(填序号).

① , 都与直线 l 成等角;

② 内有不共线的三点到β的距离相等;

③ l, m 是 内的两条直线且 l ∥ , m ∥ ;

④ l, m 是异面直线且 l ∥ , m ∥ , l ∥ , m ∥ .
5. 如图,在长方体 AC1 中,如果分别过 BC 和 A1D1 的两个平行平面将长方体分成体积相等的三个部分,那么 C1N 的值为______. ND1

6.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 BC 上一点,且 A1B//平面 AC1D,D1 是 B1C1 的中点. 求证:平面 A1BD1//平面 AC1D

二、能力提升题组 1. ABCD 为空间四边形,M,E,F 分别为△ABC,△ACD,△ADB 的重心. (1) 求证:平面 MEF∥平面 BCD; (2) 求 S△MEF 与 S△BCD 的比值.

2. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问: 当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________ 067. 平面与平面的位置关系(2)

【复习目标】 (1)了解二面角、二面角的平面角的概念; (2)掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关问题. 【课前预学】

1.已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________

条件.

2.过平面外一点和已知平面垂直的平面有



3.已知平面, ,下列能得出 ⊥ 的条件有

(填序号)

①直线 l // ,直线 l

② , // ( 是平面)

③ , ( 是平面) ④ // 1 , // 1 ,1 1 (1, 1 是平面) 4.a、b 表示直线,, , 表示平面,命题:①若 I a,b , a b, 则 ;

②若 a ,a 垂直于 内任意一条直线,则 ;③若 a ,b , a // b, 则 //

④若 , I a, I b, 则 a b ;

⑤若 a 不垂直于平面 ,则 a 不可能垂直于平面 内无数条直线;
上述五个命题中,不.正.确.的命题序号为________________________.

5.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,且点 P 到这三个平面的距离分别为 3,4,5,则 OP 的

长为

.

6.在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的一个动点,但 M 满足

时,平

面 MBD⊥平面 PCD

1.二面角 (1)二面角的定义:从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上的任意一点为端点,在两个平面内分别作

棱的两条射线,

这两条射线所成的角.大小范围:

.

(3)常用作二面角平面角的方法:

2.两个平面垂直

(1)定义:________________________________________________.

(2)两平面垂直的判定:

①判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条

,那么这两个平面互相垂直.

符号语言:

②定义法.

(3)两个平面平行的性质

①性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面

垂直于它们的

的直线垂直于另一个

平面.

符号语言: ②如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点且

的直线必在第一个平面内.

【课堂研学】

例 1.如图所示,在四面体 S-ABC 中,SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.

求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

A

BD

S

C

例 2.若两个相交平面都垂直于第三个平面,求证:它们的交线垂直于第三个平面.

例 3.如图,S 为平面 ABC 外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC. (1) 求证:AB⊥BC; (2) 若 AF⊥SC 于 F,AE⊥SB 于 E,则平面 AEF 与平面 SAC 是否垂直?并证明你的结论.
例 4.在正三棱锥 A—BCD 中, BAC 30, AB a, 平行于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC、CA 于

点 E、F、G、H (1)判定四边形 EFGH 的形状,并说明理由.
(2)设 P 为棱 AD 上的点,当 AP 为何值时,平面 PBC 平面 FGH,请给出证明.

如图,在四棱锥 P ABCD中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点

求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;

(2)平面 BEF⊥平面 PAD

P

E

D

A

F

C B

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

一、基础训练题组

1. 对于直线 m、n 和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是__________.

①m⊥n,m∥α,n∥β ;

②m⊥n,α∩β=m,n α;

③m∥n,n⊥β,m α ;

④m∥n,n⊥β,m⊥α.

2.关于直线 m,n 与平面α,β,有以下四个命题:

① 若 m∥α,n∥β且α∥β,则 m∥n;② 若 m⊥α,n⊥β且α⊥β,则 m⊥n;

③ 若 m⊥α,n∥β且α∥β,则 m⊥n;④ 若 m∥α,n⊥β且α⊥β,则 m∥n.

其中真命题的序号是______________.

3. 在各个面都是正三角形的四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立

的是________(填序号).

① BC∥平面 PDF;

② DF⊥平面 PAE;

③ 平面 PDF⊥平面 ABC;

④ 平面 PAE⊥平面 ABC.

4.如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A1B 、 A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上, A1D B1C .

求证:(1)EF∥平面 ABC;

(2)平面 A1FD 平面 BB1C1C .

二、能力提升题组 1.α、β是两个不同的平面,m、n 是平面α及β之外的两条不同直线。给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β; ③n⊥β;④m⊥α.以其中的三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ______________.
2., , , 是四个不同平面,若 , , , , ,则下列命题正确的有

① // 且 //

② // 或 //

③这四个平面中可能任意两个都不平行 ④这四个平面中至多有一对平面平行.
3.如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 都是边长为 2 的等边三角形 AB=2,O 为 AB 中点.
(1)在棱 PA 上求一点 M,使 OM∥平面 PBC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 ABC.

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ _______________,
2016 届高考文科 数学一轮复习

______________, ________________ 068. 空间位置关系的综合应用

【复习目标】 1.能够综合运用直线与平面平行、垂直的判定与性质和两个平面平行、垂直的判定与性质,2.判断和论证 空间几何体中的各种平行和垂直关系,体会相互转化的思想; 【课前预学】

1.已知直线 l 平面 ,直线 m 平面 ,下面三个命题:

① // l m

② l // m

③ l // m

则真命题的个数为

2.设 a, b 是两条直线,, 是两个平面,给出下列命题:

①若 a // b , a ,则 b

②若 a // , b // ,则 a // b

③若 a b , b ,则 a //

④若 a , a ,则 //

其中正确的命题有

3.正四面体中 ABCD,M , N 分别是 ABC, ACD 的重心,则若 BD 6 ,则 MN 的长是是

.

4. 设直线 l 和平面α,β,且 l α, l β,给出如下三个式子:① l ⊥α ②α⊥β, ③ l ∥β 从中任取两个作条件,余下的一个作为结论,在构成的命题中,写出你认为正

确的一个命题 【课堂研学】

例 1.如图,正方形 ABCD和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1
(1)求证:AF//平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE;

例 2.如图,四边形 ABCD 为矩形,DA⊥平面 ABE, AE EB BC 2 , BF 平面 ACE 于点 F,且点 F 在

CE 上.

D

C

(1)求证: AE BE ;

(2)求三棱锥 D AEC 的体积;

(3)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM 2MB ,

试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .

A

F

·M

B

E

例 3.如图(1),在等腰梯形 ABCD 中。AD//BC,AB=AD,∠ABC=60°,E 是 BC 的中点,如图(2),将△ABE 沿着 AE 折起,使二面角 B-AE-C 成直二面角,连接 BC、BD,F 是 CD 的中点,P 是 BC 的中点 (1)求证:AE⊥BD (2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC,并说明理由.

例4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥BD于点O. (1) 求证:平面PBD⊥平面PAC; (2) 设E为线段PC上一点,若AC⊥BE,求证:PA∥平面BED.

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

1.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M 为 CC1 中点, AC ∩ BD 于 O 。求证: A1O ⊥平面 MBD

2.如图,正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都相等,D 为 CC1 的中点,AB1 与 A1B 相交于点 O ,连结 OD . (1)求证: OD ∥ 平面ABC ; (2)求证: AB1 平面 A1BD .

3.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的 中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

4.如图,在等腰梯形 PDCB 中,PB=3,DC=1,PD=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将 ΔPAD 沿 AD

折起,使平面 PAD⊥平面 ABCD。

(1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD。

(2)试在 PB 上找一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA:VMACB=2:1。

(3)在(2)的条件下,判断 AM 是否平行于平面 PCD。

A P
D

B C

P M

A

B

D C

5.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC。 (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)AM=MA1 是截面 MBC1⊥平面 BB1C1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由。

_______________, _______________, ______________, ________________,

_______________ 数列专题复习

_______________, ______________, ________________

1.(1)等差数列an 中,其前 n 项和 S n ,若 S7 21 ,则 a4 的值为

.

(2)在等比数列{ an }中,若 a7 a9 4, a4 1 ,则 a12 的值是

.

(3)公比为 2 的等比数列{an} 的各项都是正数,且 a4a10 16 ,则 a10 ___.
2.(1)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8?S3=20,则 S11 的值为_________. (2)设等比数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 1,a3 4 ,Sk 63 ,则 k ______.

(3)设实数数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn1 a S n1 n n N* , a1,S2 2a2 成等比数列,则 S2=

.

(4)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn , Sm1 2, Sm 0, Sm1 3 ,则公差 d



3.(1)在等差数列{an} 中,若

a21 a20



1,且它的前 n

项和

Sn

有最大值,那么当 Sn

取最小正数时 n

的值



.

(2)设公差为

d

的等差数列an 的前

n

项和为

Sn

,若

a1



1,

2 17



d





1 9

,则当

Sn



最大值时, n 的值为________.

4.已知各项均为正数的等比数列{an} ,若 2a4 a3 2a2 a1 8,则 2a8 a7 的最小值为____.

5. 设 an 为 递 减 的 等 比 数 列 , 其 中 q 为 公 比 , 前 n 项 和 Sn , 且 a1,a2,a3 4,3,2,0,1,2,3,4 , 则

S10 =

.

1 q5

6. 已知数 列 an 是 各项 均不 为 0 的 等差数 列, Sn 为 其前 n 项 和,且 an2 S2n1 n N . 若不等 式

≤ n 8 (1)n 对任意的 n N 恒成立,则实数 的最大值为___________.[来 7.设数列

an1

n

an

的前 n 项

和为 Sn ,满足 an Sn An2 Bn 1( A 0 ).

(Ⅰ)若

a1



3 2



a2



9 4

,求证数列 an



n

是等比数列,并求数列an 的通项公式;

(Ⅱ)已知数列

an

是等差数列,求

B 1 A

的值.

8.设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 1 ,且 (Sn1 )an (Sn 1)an1 对一切 n N* 都成
立.
(Ⅰ)若 λ = 1,求数列an 的通项公式; (Ⅱ)求 λ 的值,使数列an 是等差数列.

9.已知数列{an}中,a1=2,n∈N+,an>0,数列{an}的前

n

项和

Sn,且满足 an1



2 Sn1Sn



2



(Ⅰ)求{Sn}的通项公式; (Ⅱ)设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列。
(1)求 b3; (2)存在 N(N∈N+),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.

10.已知数列 {an } 中,

a1



3,前 n

和 Sn



1 2

(n 1)(an

1) 1

(Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式

(Ⅲ)设数





a

n

1 an1



的前

n

项和为

Tn

,是否存在实数

M

,使得 Tn



M

对一切正整数 n

都成立?若存在,

求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。

11.已知数列an 、bn ,其中, a1



1 2

,数列an 的前 n 项和 Sn



n2an (n N* ) ,数列

bn 满足 b1 2, bn1 2bn .

(Ⅰ)求数列an 、bn 的通项公式;

(Ⅱ)是否存在自然数 m ,使得对于任意 n N*, n ≥ 2, 有1 1 1 ... 1 m 8 恒成立?若存在,

b1 b2

bn

4

求出 m 的最小值;

(Ⅲ)若数列cn 满足 cn



1



nan

, n为奇数

,求数列cn 的前 n

项和 Tn



bn , n为偶数

12.已知数列{an}中,a2=1,前

n

项和为

Sn,且

Sn



n(an 2

a1 )



(Ⅰ)求 a1;

(Ⅱ)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;

(Ⅲ)设 lg bn



an1 3n

,试问是否存在正整数

p,q(其中

1<p<q),使

b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出

所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

1.(1)等差数列an 中,其前 n 项和 S n ,若 S7 21 ,则 a4 的值为

.

答案:3

(2)在等比数列{ an }中,若 a7 a9 4, a4 1 ,则 a12 的值是



.

答案:4

(3)公比为 2 的等比数列{an} 的各项都是正数,且 a4a10 16 ,则 a10 ___.
答案:32 2.(1)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8?S3=20,则 S11 的值为_________. 【答案】44

(2)设等比数列{an} 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 1 , a3 4 , Sk 63 ,则 k ___▲

___. 【答案】6

(3)设实数数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn1 a S n1 n n N* , a1,S2 2a2 成等比数列,则 S2=

.

【答案】-2

(4)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn , Sm1 2, Sm 0, Sm1 3 ,则公差 d





答案:1

3.(1)在等差数列 {an } 中,若

a21 a20



1,且它的前 n

项和 Sn

有最大值,那么当 Sn 取最小正数时 n

的值为



.

答案:39

(2)设公差为 d

的等差数列an 的前 n

项和为

Sn

,若

a1



1,



2 17



d





1 9

,则当

Sn

取最大值时,

n

的值

为________.

【答案】9

4.已知各项均为正数的等比数列{an} ,若 2a4 a3 2a2 a1 8 ,则 2a8 a7 的最小值为______.
【答案】54

5.设 an 为递减的等比数列,其中 q 为公比,前 n 项和 Sn ,且a1, a2, a3 4, 3, 2,0,1, 2,3, 4 ,则

S10 = 1 q5

▲.

答案: 33 4

6. 已知数 列 an 是 各项 均不 为 0 的 等差数 列, Sn 为 其前 n 项 和,且 an2 S2n1 n N . 若不等 式

≤ n 8 (1)n 对任意的 n N 恒成立,则实数 的最大值为___________.[来源:学科网

an1

n

7.设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足 an Sn An2 Bn 1( A 0 ).

(Ⅰ)若

a1



3 2



a2



9 4

,求证数列 an



n

是等比数列,并求数列an 的通项公式;

(Ⅱ)已知数列

an

是等差数列,求

B 1 A

的值.

8.设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 1 ,且 (Sn1 )an (Sn 1)an1 对一切 n N* 都成 立.(1)若 λ = 1,求数列an 的通项公式; (2)求 λ 的值,使数列an 是等差数列.

9.已知数列{an}中,a1=2,n∈N+,an>0,数列{an}的前

n

项和

Sn,且满足 an1



2 Sn1Sn



2



(Ⅰ)求{Sn}的通项公式; (Ⅱ)设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列。
(1)求 b3; (2)存在 N(N∈N+),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.

10.已知数列 {an } 中,

a1



3,前 n

和 Sn



1 2

(n 1)(an

1) 1

(Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式

(Ⅲ)设数





a

n

1 an1



的前

n

项和为

Tn

,是否存在实数

M

,使得 Tn



M

对一切正整数 n

都成立?若存在,

求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。

11.已知数列an 、bn ,其中, a1



1 2

,数列an 的前 n 项和 Sn



n2an (n N* ) ,数列

bn 满足 b1 2, bn1 2bn .

(Ⅰ)求数列an 、bn 的通项公式;

(Ⅱ)是否存在自然数 m ,使得对于任意 n N*, n ≥ 2, 有1 1 1 L 1 m 8 恒成立?若存在,

b1 b2

bn 4

求出 m 的最小值;

(Ⅲ)若数列cn 满足 cn



1



nan

, n为奇数

,求数列cn 的前 n

项和 Tn



bn , n为偶数

解:(1)因为 Sn n2an (n N* ) .当 n ≥ 2 时, Sn1 (n 1)2 an1 ,

所以 an Sn Sn1 n2an (n 1)2 an1

所以 (n 1)an



(n 1)an1 ,即

an an1



n 1 . n 1

………………………………2 分

又 a1



1 2

,所以 an



an an1



an1 an2



an2 an3



a3 a2



a2 a1

a1

n 1 n 2 n 3 …… 2 1 1 1 .

n 1 n n 1

4 3 2 n(n 1)

……………………4 分

当 n 1时,上式成立,

因为 b1 2, bn1 2bn ,所以bn 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

故 bn 2n . ……………………………………………………………………6 分

(2) 由(1)知 bn 2n ,则

1

1 b1



1 b2



1 bn

1

1 2



1 22

…+

1 2n



2

1 2n

.

假 设 存 在 自 然 数 m , 使 得 对 于 任 意 n N*, n ≥ 2, 有 1 1 1 L 1 m 8 恒 成 立 , 即

b1 b2

bn 4

2

1 2n



m8 4

恒成立,由 m 8 ≥ 2 ,解得 m ≥16 .…………9 分 4

所以存在自然数 m ,使得对于任意 n N*, n ≥ 2, 有1 1 1 L 1 m 8 恒成立,此时, m 的

b1 b2

bn 4

最小值为 16. ………………………………………………11 分
(3)当 n 为奇数时,

Tn



(1 a1



1 3a3



1 nan

)



(b2

b4

bn1)

[2



4

(n

1)]

(22



24



2n 1 )

n1

2 n 1 n 1 4(1 4 2 ) n2 4n 3 4 (2n1 1) ;…………………13 分

2

2

1 4

4

3

当 n 为偶数时,

Tn

[ 1 a1



1 3a3



1 ] (n 1)an1

(b2

b4

bn )



(2 4 n) (22



24



2n )

n

2 n n 4(1 42 ) n2 2n 4 (2n 1) .

2 2 14

43

…………………………15 分

因此 Tn





n2

n2

4n 3 4 (2n1 1), n为奇数

4

3

2n 4 (2n 1), n为偶数 43



……………………………16 分

12.已知数列{an}中,a2=1,前

n

项和为

Sn,且

Sn



n(an 2

a1 )



(Ⅰ)求 a1;

(Ⅱ)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;

(Ⅲ)设 lg bn



an1 3n

,试问是否存在正整数

p,q(其中

1<p<q),使

b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出

所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

解:(1)令

n=1,则

a1=S1=

1(a1

2

a1 )

=0.

………………………………………3 分

(2)由

Sn



n(an 2

a1 )

,即 Sn



nan 2







Sn1



(n

1)an1 2





②-①,得 (n 1)an1 nan .



于是, nan2 (n 1)an1 .



③+④,得 nan2 nan 2nan1 ,即 an2 an 2an1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1,

…………………………7 分

所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列.

所以,an=n-1. ………………………………………………………………9 分

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列,

于是,

2p 3p



1 3



q 3q



……………………………………………………11 分

所以,

q



3q

(

2 3

p
p



13)

(☆).

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. ………………………………………13 分



p≥3,且

p∈N*时,

2( p 1) 3 p 1



2p 3p



24p 3 p 1

<0,故数列{

2p 3p

}(p≥3)为递减数列,

于是

2p 3p



1 3



23 33



1 3

<0,所以此时方程(☆)无正整数解.

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. …………16 分


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