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部编人教版八年级数学下册《第十七章勾股定理【全章】》精品PPT优质课件_图文

部编人教版八年级数学下册 《第十七章勾股定理【全章】》 精品PPT优质课件 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 导入新课 情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢?为了探寻这一点,世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号,如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等. 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话,那么他 们一定会认识这种语言,因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解. 勾股定理有着悠久的历史:古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系,古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系,下面让我们一起来通过视频来了解吧: 讲授新课 一 勾股定理的认识及验证 我们一起穿越回到2500年前,跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客,看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面(如图): 问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系? AB S正方形A S正方形B S正方形C C 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系? AB C 一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2 问题3 在网格中一般的直角三角形,以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系?观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1): C A B C A B 这两幅图中A,B的 面积都好求,该 怎样求C的面积呢? 方法1:补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形): C A B C A B 左图: 右图: SC 55 4 1 2 2 3 13 SC 7 7 4 1 2 4 3 25 方法2:分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形): C A B C A B 左图: SC 4 1 2 2 3 11 13 右图: SC 4 1 2 4 3 11 25 你还有其他 办法求C的 面积吗? 根据前面求出的C的面积直接填出下表: C A B C A B A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系? 由上面的几个例子,我们猜想: 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜 边的平方. ac b 下面动图形象的说明命题1的正确性,让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧. b a c b a c a b cb a b-a 赵爽弦图 证明:∵S大正方形=c2, S小正方形=(b-a)2, ∴S大正方形=4·S三角形+S小正方形, c2 4 1 ab b a2 a2 b2. 2 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智,它是我国古代数学的骄傲.因为,这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法,请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图,然后分析其面积关系 后证明吧. a b ac b 证明: b ca cb ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2 2 =c2+2ab, a ∴a2+b2+2ab=c2+2ab, ∴a2 +b2 =c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图,图中的三个三角形都是直角三角形,求证: a2 + b2 = c2. a b c 证明:Q S梯形 1 2 (a b)(a b), S梯形 1 2 ab 1 2 ab 1 2 c2, c a ∴a2 + b2 = c2. b 归纳总结 勾股定理 ac 如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. b 在我国又称商高定理,在外国则叫毕达哥拉斯定理, 或百牛定理. 公式变形: a c2 - b2 , b c2 - a2 , a、b、c为正数 c a2 b2 小贴士 在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”,下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边 称为“股”,斜边称为“弦”. 勾 股 勾2+股2=弦2 二 利用勾股定理进行计算 例1 如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°. (1)若a=b=5,求c; B (2)若a=1,c=2,求b. 解:(1)据勾股定理得 C A c a2 b2 52 52 50 5 2; (2)据勾股定理得 b c2 a2 22 12 3. 【变式题1】在Rt△ABC中, ∠C=90°. (1)若a:b=1:2 ,c=5,求a; (2)若b=15,∠A=30°,求a,c. 解:(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52,解得 x 5,a 5 . (2) Q A 30,b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152, 解得 x 5 3 . a 5 3 ,c 10 3 . 归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时,要运用方程思想设未知数,根据勾股定理列方 程求解. 【变式题2】 在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,求BC的长. 解:本题斜

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