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2020【新版上市】河南省新乡市延津县高级中学高二数学第一学期期中试题 理

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延津县高级中学高二年级期中考试试卷

理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
1.设集合 A= x x 2 0 , B x x2 3x 4 0 ,则 AI B ( )

A. 2, 4

B. 2, 4

C. 1,3

D. 4,

2.数列23, 45,67, 89……的第 10 项是(



A.1176

B.1198

C.2210

D.2232

3.设 ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a,b, c ,若 a 2, c 4, B 60 ,则 b 等于( )

A.28

B.2 7

C.12

D.2 3

4.已知 a b , c d ,且 c , d 不为 0,那么下列不等式成立的是( )

A. ad bc

B. ac bd

C. a c b d

D. a c b d

5.数列{an } 满足 a1 1, an1 2an 1 ( n N ), 那么 a4 的值为( )

A. 4

B. 8

C. 15

D. 31

6.不等式 x 2y 6 0 表示的区域在直线 x 2y 6 0 的( )

A.右上方

B.右下方

C.左上方

D.左下方

7.已知 f (x) x 1 2 x 0 ,则 f (x) 有( )
x

A.最大值为-4

B.最大值为 0 C.最小值为 0

D.最小值为-4

8.数列{an} 满足, a1



2, an



an1 an1



1 1

,

(n



N



)

其前

n

项积为

Tn

,则 T2018

(

)

A. 6

B. 1 3

C. 2 3

D. 3

9.在△ ABC 中, A 60 , AB 2 ,且 ABC 的面积为 3 ,则 BC 的长为( ) 2

A. 3 2

B. 3

C. 2 3

D. 2

10.《九章算术》中有这样一则问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安三百里,

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良马初日行一百九十三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,

复还迎驽马.”则现有如下说法:①驽马第九日走了九十三里路;②良马前前五日共走了一

千零九十五里路;③良马和驽马相遇时,良马走了二十一日;则以上说法错误的个数是( )



A. 0

B.1

C. 2

D. 3

11.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为

75°,30°,此时气球的高度是 60 m ,则河流的宽度 BC 等于( )

A. 240( 3 1)m

B.180( 2 1)m

C. 120( 3 1)m

D. 30( 3 1)m

12.下列命题中,正确命题的个数是( )

①a

b



ac 2

bc2 ② a



b

ac 2



bc2 ③

a c



b c



ac



bc

④ a b ac bc cc

⑤ a b且ac bc c 0 ⑥ a b且ac bc c 0

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13.已知数列

an

中, a1

1且

1 an1



1 an



1 (n 3

N *) ,则 a10





x y 1 0

14.已知实数

x,

y

y

满足



x



y



0

,则 2x y 的最大值为

.

x 0

15.数列an 的通项公式是 an =

2n 1 ,其前 n 2n

项和 Sn



321 64

,则项数 n



.

16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,

8,13,……,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数

所组成的数列an 称为“斐波那契数列”,该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇
妙的属性,比如:随着项数的增加,前一项与后一项的比值越逼近黄金分割 0.6180339887.

若把该数列an 的每一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn ,在数列bn

中第 2018 项的值是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

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17. (本小题满分 10 分)已知 f (x) 3x2 m(6 m)x 6
(Ⅰ)若关于 x 的不等式 f (x) n 的解集为 1,3, 求实数 m, n 的值;
(Ⅱ)解关于 m 的不等式 f (1) 0 .

18. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b2 c2 a2 bc .
(1)求 A 的大小; (2)如果 cos B 6 , b 2 ,求 a 的值.
3

19.

(本小题满分 12 分)

已知数列an 的前 n 项和 Sn



n2 n , n N* . 2

(1)求数列an 的通项公式;

(2)设 bn 2an (1)n an ,求数列 bn 的前 2n 项和.

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20. (本小题满分 12 分)为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部
不可到达),我们选择与峰底 E 同一水平线的 A , B 为观测点,现 测得 AB 20 米,点 A 对主梢 C 和主干底部 D 的仰角分别是 40 °, 30 °,点 B 对 D 的仰角是 45 °.求这棵千年松树的高(即 求 CD 的长,结果保留整数. 参考数据: sin10° 0.17 , sin 50 ° 0.8, 6 2.4, 2 1.4)

21. (本小题满分 12 分)已知数列 an 的前 n 项和 Sn 3n2 8n , bn 是等差数列,且

an bn bn1

(1)求数列bn 的通项公式;

(2)设 cn



an 1 n1 bn 2n

,求数列cn 的前 n

项和 Tn

.

22. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知

cos A 2cos C 2c a .

cos B

b

(1)求 sin C 的值; sin A

(2)若 cos B 1 ,△ ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4

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一、选择题: BCDDC
二、填空题: 13. 1 4
三、解答题:

延津县高级中学高二年级期中考试试卷 理科数学参考答案

CAABB BD

14. 1 2

15. 6

16. 1

17.(Ⅰ)Q f (x) n3x2 m(6 m)x n 6 0

1,3 是方程 3x2 m(6 m)x n 6 0 的两根



2



m(6 3

m)

3



n

3

6



m 3 n 3

3

………5 分

(Ⅱ)由已知 f (1) m2 6m 3m2 6m 3 0m2 6m 3 0

3 2 3 m或m 3 2 3

不等式 f (1) 0 的解集为:{m | 3 2 3 m或m 3 2 3}

………10 分

18.(Ⅰ)解:因为 b2 c2 a2 bc ,

所以

b2 c2 a2 cos A

1,

2bc

2

又因为 A(0, π) , 所以 A π .
3 (Ⅱ)解:因为 cos B 6 , B (0, π) ,
3

……………… 4 分 ……………… 6 分

所以 sin B 1 cos2 B 3 , 3
由正弦定理 a b , sin A sin B
得 a bsin A 3 . sin B
19.(1)当 n 1 时, a1 S1 1;

………………8 分 ………………11 分 ………………12 分 (2 分)

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当 n 2 时,

an



Sn



Sn1



n2 2

n



(n 1)2 (n 2

1)



n

.

(4 分)

a1 也满足 an n ,

故数列an 的通项公式为 an n .

(6 分)

(2)由(1)知 an n ,故 bn 2n (1)n n .

记数列bn 的前 2n 项和为T2n ,

则T2n (21 22 L 22n ) (1 2 3 4 L 2n) .

记 A 21 22 L 22n , B 1 2 3 4 L 2n ,

则 A 2(1 22n ) 22n1 2 , 1 2
B (1 2) (3 4) L (2n 1) 2n n.

(8 分) (10 分)

故数列 bn 的前 2n 项和T2n A B 22n1 n 2 .
20.解:∵ DAE 30 0 , DBE 45 0 ,

(12 分)

∴ ADB 450 300 ,

∴ sin ADB sin(45 0 30 0 ) sin 45 0 cos30 0 cos 45 0 sin 30 0

2 3 21 6 2 1



2 2 22

4

4

在 ABD 中,由正弦定理得 ∵ AB 20,

…………4 分
AD AB , sin ABD sin ADB

∴ AD AB sin DBE 20

2 2

20 1.4



2 56 .

sin ADB

1

1

4

4

……………8 分

根据题意,得 CAD 10 0 , ACD 50 0 ,在 ACD 中,

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由正弦定理得

CD AD

sin CAD sin ACD

即 CD 56 sin10 0 56 0.17 12 (米).

sin 50 0

0.8

………………………………11 分

答:这棵千年松树高 12 米.

………………………………12 分

注:如果有考生计算出 AD 56,得出 DE 28,再在 ACD中,由正弦定理得 AC AD ,得出 AC 35 3 ,进而 CE 35 3 0.6 36.732 ,
sin ADC sin ACD 然后得到 CD CE DE 36.372 28 8.372 8 (米),

参照相应步骤得分,最高得满分.

21.(1)由题意知,当 n 2 时, an Sn Sn1 6n 5

当 n 1 时, a1 S1 11符合上式

所以 an 6n 5

(3 分)

设数列bn 的公差为 d



aa12



b1 b2

b2 b3.



11 17



2b1 2b1



d 3d

可解得 b1 4, d 3

所以 bn 3n 1

(6 分)

(2)由(1)知另 cn



(6n 6)n1 (3n 3)n



3n 1g2n1.

又 Tn C1 C2 Cn ,
得Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n1 2Tn 3 2 23 3 24 n 1 2n2 两式作差得 Tn 3 2 22 23 24 2n1 n 1 2n2

(8 分) (9 分)
(10 分)



3

4



(4 1 1

2

n)

2

n

1

2n2





3n



2n2

所以Tn 3n 2n2

(12 分)

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22. (1)由正弦定理 a b c 2R 知, sin A sin B sin C

cos A 2cos C 2 2R sin C 2R sin A ,

cos B

2R sin B

即 cos Asin B 2cosC sin B 2cos BsinC cos Bsin A ,

(2 分)

即 sin(A B) 2sin(B C),

(4 分)

又由 A B C π知, sin C 2sin A, 所以 sin C 2 .
sin A (2)由(1)可知 sin C 2 ,∴ c 2a ,
sin A
由余弦定理得 b2 a2 (2a)2 2 a 2a cos B 4a2

(6 分) (8 分)

∴ b 2a , ∴ a 2a 2a 5, ∴ a 1,∴ b 2 .

(10 分) (12 分)

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