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山东省聊城市某重点高中高一数学下学期阶段性测试试题(二)新人教A版

山东省聊城市某重点高中 2012-2013 学年下学期高一阶段性测试 (二)数学试题

第I卷 一.选择题(单选题,共 60 分)
1.若 是第二象限的角,则 2 是第(

)象限的角.

A .一

B .二或三

C .一或二

D .一或三

2.一束光线从点 A(1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 上的最短路径是
()

A.4

B .5 C .3 2 1

D.2 6

uuur uuur uuur 3.在 ABC 中,有如下四个命题:① AB AC BC ; ② AB BC CA 0 ;

③若 ( AB AC) ( AB AC) 0 ,则 ABC 为等腰三角形;

④若 AC AB 0 ,则 ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是( )

A.① ②

B.① ③ ④

C.② ③

D.② ④

uuur uuur

uuur uuur

OA 1, OB
4.已知

3,OAOB 0,


C

在 AOB 内 部 且 AOC

30o , 设

uuur uuur uuur

m

OC mOA nOB(m, n R) ,则 n 等于( )

1 (A) 3

(B)3

3 (C) 3

(D) 3

5.已知函数

f

(x)



a sin

x



b cos

x

(a

、b

为常数, a



0

,x



R

)在

x



4

处取得最

y f (3 x)

小值,则函数

4

是(



A.偶函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称

(3 ,0) B.偶函数且它的图象关于点 2 对称

(3 ,0) C.奇函数且它的图象关于点 2 对称

D.奇函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称

1

6.已知 f (x) a sin( x ) b cos( x ) 4 ( a,b, , 为非零

实数), f (2007) 5

则 f (2008) ( )

A.1

B.3

C.5

D.不能确定

7.函数 f (x) Asin(x ) b 的图像如图所示,则 f (x) 的解析式为

f (x) 1 sin 1 x 1

f (x) sin 1 x 1

A.

22

B.

22

f (x) 1 sin x 1

f (x) sin x 1

C.

22

D.

22

8.如图 e1, e2 为互相垂直的单位向量,向量 a b c 可表示为

A. 3e1 2e2

B. 3e1 3e2

C. 2e1 3e2

D. 3e1 2e2



a b



c

e2

e1

rrr 9.设 a 、 b 、 c 是非零向量,则下列说法中正确是

rr r rr r A. (a b) c (c b) a

rr rr ab ab
B.

rr rr r r C.若 a b a c ,则 b c

r rr r r r D.若 a // b, a // c ,则 b // c

10.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (2 x) f (x) ,且在[3, 2] 上是减函数, , 是钝

角三角形的两个锐角,则 f (sin ) 与 f (cos ) 的大小关系是

A. f (sin ) f (cos )

B. f (sin ) f (cos )

C. f (sin ) f (cos )

D. f (sin ) f (cos )

uuur

3

uuur

11.若点 P 分 AB 所成的比为 4 ,则 A 分 BP 所得的比是( )

3 A. 7

7 B. 3

7 C. 3

12.若非零向量 a , b 满足 a b b ,则( )

3 D. 7

2

A. 2b a 2b

B. 2b a 2b

C. 2a 2a b
第Ⅱ卷 二.填空题

D. 2a 2a b

13.若 AB 3a,CD 5a ,且 AD BC ,则四边形 ABCD 的形状是________.

y tan( 1 x )

14.函数

2 3 的单调递减区间为______

_.

15.已知 a (1,3),b (1,1), c a b ,若 a 和 c 的夹角是锐角,则 的取值范围是___
_.

2sin(x ) 1 a 0

[0, 2 ]

16.已知关于 x 的方程

6

在区间 3 上存在两个根,则实数 a 的取

值范围是_________.

三.解答题

f x sin2 x 3 sin x cos x 1

17.已知函数

2.

(1)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合.
(2) 求函数的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分) 设 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角是 60°. 求向量 a 2e1 e2 和 b 3e1 2e2 的夹角.

ur

r

19.已知 A, B,C 是三角形 ABC 三内角,向量 m

1,

3 , n cos A,sin A


ur r 且 mn 1.

(Ⅰ)求角 A ;

(Ⅱ)若

1 sin 2B cos2 B sin2

B



3

,求

tan

B



3

20.已知向量 a ( 3 sin x, cosx), b (cosx, cosx), 0 ,记函数 f (x) a b ,若

函数 f (x) 的最小正周期为 .
(1)求 的值;

0
(2)当



x



3

时,试求

f

(x)

的值域;

21. 2013 年 4 月 20 日 8 点 02 分四川省雅安市芦山县(北纬 30.3 度,东经 103.0 度)发生 7.0 级地震 ,此次地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选择一个合理的 位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。医疗队首先到达 O 点,设有四个乡镇,分别位于

一个矩形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D,为了救灾及灾后实际重建需要。需要修建三条小路

OE、EF 和 OF,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,AB=50 千米,BC= 25 3 千米且∠EOF=90°,如图所示.

(1)设∠BOE= ,试将 OEF 的周长表示成 的函数关系式,并求出此函数的定义域;

(2)经核算,三条路每千米铺设费用均为 400 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?

并求出最低总费用.

D

C

E

F

A 高一数学参考答案 一.DACBD BCDDB CA

(2k ,2k 5 )k Z

13.等腰梯形 14.

3

3

15. -52,0 ∪(0,+∞). 16. [2,3)

(1) f (x) sin(2x ) 1,

三.17.

6

………………3 分

f (x)max 2,

x



x

x



k



3

,

k



Z



………………5 分

f (x)min 0,

x



x

x



k



6

,

k



Z



………………7 分



O

B

4

2k 2x 2k

(2)

2≤ 6≤

2得

k



6

≤x≤

k



3



x



k



6

,

k



3



(k Z)

………………12 分

ur r
19.解:(Ⅰ)∵ m n 1



1,

3 cos A,sin A 1



3 sin A cos A 1,

2 sin A

3 2



cos

A

1 2





1

,

sin



A



6





1 2

0 A , A 5

A

A



6

6 6 ∴ 6 6 ∴ 3;

1 2sin B cos B (Ⅱ)由题知 cos2 B sin2 B



3

,整理得 sin2

B

sin

B cos

B



2 cos2

B



0

∴ cos B 0 ∴ tan2 B tan B 2 0 ∴ tan B 2 或 tan B 1

而 tan B 1使 cos2 B sin2 B 0 ,舍去 ∴ tan B 2 ;

f (x) 3 sin x cosx cos2 x 3 sin 2x 1 cos 2x

20. 解:(1)

2

2

sin(2x ) 1 62
0,T 2 , 1 2

f (x) sin(2x ) 1 0 x , 2x 5

(2)由(1),

6 2,

36

6 6,

5



1 2



sin(2x



6

)



1 ,

f

(x)

[ 1,
的值域为

3] 2

25 21.(1)解:(1)∵在 Rt△BOE 中,OB=25, ∠B=90°,∠BOE= ,∴OE= cos .

25 在 Rt△AOF 中,OA=25, ∠A=90°,∠AFO= ,∴OF= sin

OE2 OF 2 ( 25 )2 ( 25 )2

25

又∠EOF=90°,∴EF=

cos sin = cos sin ,

l OE OF EF 25 25 25



cos sin cos sin

l 25(sin cos 1)



cos sin .

π 当点 F 在点 D 时,这时角 最小,求得此时 = 6 ;

π 当点 E 在 C 点时,这时角 最大,求得此时 = 3 .

[π , π] 故此函数的定义域为 6 3 .

(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求 OEF 的周长的最小值即可.

l 25(sin cos 1) [ π , π ]

由(1)得,

cos sin , 6 3

sin cos t2 1

设 sin cos t ,则

2,

l



25(sin cos cos sin

1)



25(t 1) t2 1



50 t 1



2

5π π 7π

3 1 t 2

3 1 t 1 2 1

由, 12

4 12 ,得 2

,∴ 2



6

2 1 1 3 1

从而

t 1








π 4

,即

BE=25

时, lmin



25(

2 1) ,

所以当 BE=AE=25 千米时,铺路总费用最低,最低总费用为10000( 2 1) 元

7


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