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【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期第二次调研考试(10月)数学(理)

哈六中 2019-2020 学年度上学期

高三学年第二次调研考试 理科数学 试卷

考试时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的)
1. 已知全集U R , A x y ln(1 x2) , B y y 2x1 ,则 A (CU B) ( )

A. (1,0)

B. [0,1)

C. (0,1)

D. (1,0]

2. 若复数满足 (1 i)z 2 i ,则在复平面内,的共轭复数的虚部为( )

A. 3 2

B. 3 i 2

C. 3 2

D. 3 i 2

3.已知向量 a, b 满足 a 5 , b (1,3) , a b 5 ,则 a b 在 a 方向上的投影为( )

A. 10

B. 2 5

C. 3 5

D. 3 10

4.已知曲线 f (x) ex x2 ax 在区间 (0,1) 内存在垂直于 y 轴的切线,则 a 的取值范围是( )

A. (0, e 1)

B. (1, e 1)

C. (0, e 2)

D. (1, e 2)

5.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷

影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计

算出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1 4 寸表示115寸1 4 分(1 寸 10

6

6

分)

节气

小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种

冬至

夏至

(大雪) (小雪) (立冬) (霜降) (寒露) (秋分) (白露) (处暑) (立秋) (大暑) (小暑)

晷影 135 125. 115. 105. 95. 85. 75.5 66. 55. 45. 35. 25. 16.0

长 (寸)

5 14 24 32 42 6 6 666

55 64 73 82 91 66666

已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0 寸,夏至晷影长为14.8 寸,那么《易经》中所记录的惊

蛰的晷影长应为( )

A. 72.4 寸

B. 81.4 寸

C. 82.0 寸

D. 91.6 寸

2
6.已知正方形 ABCD的边长为 4 , E 为 BC 边的中点, F 为 CD 边上一点,若 AF AE AE ,

则 AF ( )

A. 5

B. 3

C. 3

D. 5

2

2

7.函数 f (x) Asin(x ) ( 0) 的部分图像如图所示, f (x) 图象与 y 轴交于 M 点,与 x 轴交

于 C 点,点 N 在 f (x) 图象上,满足 MC CN ,则下列说法中正

确的是( )

A.函数 f (x) 的最小正周期是 2 B.函数 f (x) 的图像关于 x 7 轴对称
12

C.函数

f

(x)







2 3

,



6



单调递减

D.函数 f (x) 的图像上所有的点横坐标扩大到原的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 后关于 y 轴对 3


8.已知函数

f

(x)



x3

2x



ex



1 ex

,其中 e

是自然对数的底数,若

f

(a

1)

f

(2a2 )



0 ,则实

数 a 的取值范围是( )

A.[1, 3 ] 2

B.[ 3 ,1] 2

C. [1, 1 ] 2

D.[ 1 ,1] 2

9.已知 ABC中,内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ,若 (a cosB b cos A) cosB 1 ,且

2a b

2

2SABC 3c 0,则当 ab 取到最小值时, a ( )

A. 2 3

B. 3

C. 3 3

D. 3 2

10.已知向量

ar ,

r b

,

cr

满足

a



4,

b



2 ,a 与b

的夹角为 60 ,若 (c a)(c b) 0 ,则

c

的最

大值是( )

A. 7

B. 7 3

C. 7 2 3

D. 7 3

11.已知等差数列an满足 a3 3 , a4 a5 a8 1,数列bn满足

bnan1an an1 an ,记数列 bn 的前 n 项和为 Sn ,若对于任意的 a 2, 2 , n N * ,不等式

Sn 2t 2 at 3 恒成立,则实数 t 的取值范围为( )

A. , 2 U2,

B. , 2 1,

C. ,12,

D. 2,2

12.已知函数

f

(x)



1



ln x

x

,

x





x3



5 2

x



0 2, x



0

,若方程

f

(x)



ax 有四个不等的实数根,则实数 a

的取值

范围是( )
A. (0, e ) 2

B. (1 , e ) 22

C. (0,1)

D. (0, 1 ) 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置
13.已知 f (x) 是定义在 R 上的函数,且满足 f (x 2) 1 ,当 2 x 3 时, f (x) 2x ,则 f (x)
f (log 1 3) _________
2
14.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向
上,行驶 300m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度

CD __________m

uuur uuur 15.在 ABC 中,E 为 AC 上一点,且 AC 4AE ,P 为 BE 上一点, 且 满 足 AP mAB nAC(m 0, n 0) , 则 1 1 最 小 值 为
mn
__________.

16.正项数列

an

满足:

an

1



a(1)n n

2n ,设 Tn a1 a2 an ,若 T20 22 ,则 的取值范围是

______________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.(本小题满分 12 分)



Sn

是正项数列an的前 n

项和,且

Sn



1 2

an2



1 2

an

1(n

N)

(1)设数列an 的通项公式.

(2)若 bn 2n ,设 cn anbn ,求数列cn 的前 n 项和Tn .

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 a =( ( 3 sin x, cos x sin x) , b (2cosx,sin x cosx) , f (x) a b
(1)求函数 f (x) 在 0, 上的单调递增区间和最小值.
(2)在 ABC 中, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边,且 f (B) 2 , b 7 (a c) , 求 cos A的值.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f x 2 alnx 2(a 0) .
x
(1)若对于任意 x 0, 都有 f x 2a 1 成立,试求 a 的取值范围.
(2)记 g x f x x bbR .当 a 1时,函数 g x 在区间 e1, e 上有两个零点,求实数b
的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)

数列 an 满足 a1 3 , an1 an 2 3n ( n N ) (1)求 an 的通项公式.

(2)设 bn an 2(2)n1 ,若对任意 n N ,恒有 bn1 bn ,求 的取值范围;

(3)设 cn



2n 3 n(n 1)an

,求数列cn 的前 n

项和

Sn

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) x a ln 2 x 2a ln x 1. (a e2 ) 2
(1)当 a 1 时,求 f (x) 的单调区间. 2
(2)若 x 1时, f (x) 0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

:



x cost y 1 sin

t



t

为参数),以坐标原点

O

为极点,以

x

轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线

C2

的极坐标方程为

2

cos





3





3

3.

(1)求曲线 C1 的极坐标方程.

(2)已知点

M (2,0) ,直线 l

的极坐标方程为



3

,它与曲线 C1 的交点为 O, P

,与曲线 C2

的交

点为 Q ,求 MPQ的面积.

23.(本小题满分 10 分)
已知函数 f x | x 2 | 2x a ,a R .
(1) 当 a 1时,解不等式 f (x) 3 (2) 若存在 x0 满足 f (x0 ) x0 2 5 ,求 a 的取值范围.

2020 届高三 10 月阶段测试理科数学答案

一、选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

A

B

D

C

A

B

C

A

B

A

B

二、填空题:

13. 16 ; 3

14、 50 6 ; 15、 9

三、解答题:

16、 (10,11)

17.(1) an n 1; (2)Tn n 2n1

18. (1) f (x) 2sin(2x ) 增区间 (0, ),(5 , )

6

36



x

5 6



f (x)min

2

(2)

cos A 7 14

19. (1) 0 a 2 (2)1 b e 2 1

e

e

20.(1) an 3n

(2) 3 1 2

(3) Sn

1

(n

1 1)3n

21.(1)减区间 (0,1) ,增区间 (1,)

1 e2 (2)[ , ]
22

22. (1) C1 : 2sin

(2) 3 4

23. (1) (, 2] [0,) (2) 9 a 1 3


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