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1.4.3 正切函数的性质与图象_图文

1.4.3 正切函数的性质与图象

[基础梳理]

知识点 函数y=tan x的图象与性质
解析式

y=tan x

图象 定义域

___???_x_???_x_≠_k_π_+__π2__,__k_∈__Z__???_____

值域 周期 奇偶性
单调性

_R__ __π_ 奇__函__数__
在开区间___???k_π__-__2π_,__k_π_+__π2_???_,__k∈__Z___上都是增函数

[基础自测]

1.f(x)=tan???2x+π3???的最小正周期为(

)

A.π4

B.π2

C.π

D.2π

解析:方法一:函数 y=tan(ωx+φ)的周期是 T=|ωπ |,

直接套用公式,可得 T=|2π|=2π.

方法二:由诱导公式可得 tan???2x+3π???=tan???2x+π3+π???=tan???2???x+π2???+π3???,

所以 f???x+π2???=f(x),所以周期为 T=2π. 答案:B

2.函数 f(x)=tan???x+π4???的单调增区间为(

)

A.???kπ-π2,kπ+π2???,k∈Z

B.(kπ,kπ+π),k∈Z

C.???kπ-34π,kπ+4π???,k∈Z

D.???kπ-π4,kπ+34π???,k∈Z

解析:由 kπ-2π<x+π4<kπ+2π(k∈Z),得 kπ-34π<x<kπ+π4,k∈Z,

所以函数 f(x)的递增区间为???kπ-34π,kπ+π4???(k∈Z).

答案:C

3.函数 f(x)=ttaann2xx的定义域为________.

???2x≠kπ+π2,

???x≠k2π+4π,

解析:函数应满足??x≠kπ+π2, (k∈Z),即??x≠kπ+π2,,(k∈Z),

??tan x≠0

??x≠kπ

所以 x≠k4π,k∈Z.

答案:???x???x≠k4π,k∈Z???

题型一 正切函数的定义域

[课堂探究]

例 1 求下列函数的定义域:

(1)y=tan???x+4π???;(2)y= 3-tan x.

解:(1)由 x+4π≠kπ+π2(k∈Z)得,x≠kπ+4π,k∈Z, 所以函数 y=tan???x+4π???的定义域为???x| x≠kπ+π4,k∈Z???.

(2)由 3-tan x≥0 得,tan x≤ 3.

结合 y=tan x 的图象可知,

在???-2π,π2???上,满足 tan x≤ 3的角 x 应满足-π2<x≤π3,

所以函数 y=

3-tan

?
x的定义域为?x|
?

kπ-π2<x≤kπ+3π,k∈Z???.

变式训练 1

求函数

y=1+1tan

的定义域. x

解:要使函数有意义,则有 1+tan x≠0,

∴tan x≠-1,∴x≠kπ-4π且 x≠kπ+π2,k∈Z.

因此,函数

y=1+1tan

?
x的定义域为??x|

x≠kπ-π4且x≠kπ+π2,k∈Z???.

题型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 例 2 (1)求 f(x)=tan???2x+3π???的周期;(2)判断 y=sin x+tan x 的奇偶性.

解:(1)∵tan???2x+π3+π???=tan???2x+π3???,即 tan???2???x+2π???+3π???=tan(2x+3π),

∴f(x)=tan???2x+π3???的周期是π2.

?
(2)定义域为?x|
?

x≠kπ+π2,k∈Z???,关于原点对称,

∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),

∴它是奇函数.

变式训练 2 (1)函数 y=tan???π2x+3???的最小正周期是(

)

A.4

B.4π

C.2π

D.2

(2)已知函数 f(x)=tan x+ta1n x,若 f(a)=5,则 f(-a)=________.

解析:(1)T=ππ=π·2π=2. 2

(2)f(x)的定义域为???kπ-π2,kπ???∪???kπ,kπ+π2???(k∈Z). 可知 f(x)的定义域关于原点对称.



f(-x)=tan(-x)+tan(1-x)=-???tan

x+ta1n

?
x??=-f(x),

∴f(x)为奇函数.∴f(-a)=-f(a)=-5.

答案:(1)D (2)-5

题型三 正切函数的单调性的应用 例 3 (1)求函数 y=tan???12x-4π???的单调区间; (2)比较 tan???-143π???与 tan???-152π???的大小.

解: (1)由 kπ-π2<12x-4π<kπ+π2(k∈Z)得,2kπ-2π<x<2kπ+32π,k∈Z,

所以函数 y=tan???12x-4π???的单调递增区间是???2kπ-2π,2kπ+ 32π???(k∈Z).

(2)由于 tan???-143π???=tan???-4π+34π???=tan 34π=-tan π4, tan???-125π???=-tan???2π+25π???=-tan 25π,

又 0<π4<25π<π2,而 y=tan x 在???0,2π???上单调递增,

所以 tan

π 4<tan

25π,-tan

4π>-tan

25π,即 tan???-143π???>tan???-125π???.

变式训练 3 (1)已知函数 y=tan???3x-3π???,求函数的单调区间; (2)利用正切函数的单调性比较下列函数值的大小: ①tan???-65π???与 tan???-137π???;②tan 1,tan 2,tan 3. 解: (1)由于正切函数 y=tan x 在区间???-2π+kπ, π2+kπ???(k∈Z)上为增函数, 因此令-2π+kπ<3x-π3<π2+kπ,解得k3π-1π8<x<k3π+51π8(k∈Z), 即函数 y=tan???3x-3π???的单调递增区间为???k3π-1π8,k3π+ 51π8???(k∈Z).

(2)①∵tan???-65π???=tan???-5π???,tan???-137π???=tan

π 7.

又∵函数 y=tan x 在???-2π,π2???上是增函数,而-π2<-π5<π7<π2.

∴tan???-π5???<tan 7π,即 tan???-65π???<tan???-137π???. ②因为 tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),

又因为2π<2<π,所以-2π<2-π<0.因为2π<3<π,所以-π2<3-π<0.

显然-2π<2-π<3-π<1<π2,又 y=tan x 在???-π2,π2???内是增函数,

所以 tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,即 tan 2<tan 3<tan 1.

谢谢观看!


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