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湖南省2002年高中数学竞赛参考答案

参考答案: 一、1、解:选(A) 提示:由 y f 1 (x) ,得 f(y)=-x,故 y=-f(x)是 y f 1 (x) 的反函数,即-f(x)=f (-x),由此可见 y=f(x) 2、解:选(C),提示: 是奇函数, 如图, 从而 b<0,2a+b<0,2a-b>0。又 f(0)=c<0,故 a-c>0,进而 M-N=|a-b+c|+|2a+b|-|a+b+c|-|2a-b|=(a-b+c)+(a+b+c)-(2a+b)-(2a+b)-(2a-b)=-2(a-c)<0 3、解:选(B),提示:由如下四图可推得 ∴M<N 4、解:选(A),提示:左边= SinAcosA+sinAcosB+cosAsinB+sinBcosB = 1 (Sin2A+sin2B)+sin(A+B)=sin(A+B)cos(A-B)+sin(A+B) 2 右边=2sin[180o-(A+B)]=2sin(A+B) 故有 sin(A+B)cos(A-B)+sin(A+B)=2sin(A+B) 即 sin(A+B)[cos(A+B)-A]=0 而 sin(A+B)>0,故 cos(A-B)=1,故 A=B 又取 A=B=30O,C=120O 代入条件式,知满足条件。 故△ABC 是等腰三角形,但不一定是直角三角形。 5、 6、解:选(D),提示:设椭圆另一个焦点为 F(x,y),由于 A、B 为椭圆上的点,由椭圆定义知|AC|+|AF|=|BC|+|BF|, 则|BF|-|AF|=|AC|-|BC|,由|AC|=15,|BC|=13,得|BF|-|AF|=2,故点 F 的轨迹为双曲线的一部分。 二、7、解:8 个,提示:X 一定包含 1,2,3 这三个元素,而 4,5,6 三个数可属于 X,也可不属于 X,每一 个数有 2 种可能,故所求的不同的 X 共有 23=8 个。 8、解:a>0,提示:必要性,若 f (x) a 2 x2 为奇函数,则 a0(若不然,则 f(x)的定义域为空集),且由 | x a | a a2 x2 a2 x2 可得 | x a | | x a | 2a,a 0. | x a | a | x a | a 充分性,若 a>0,则 f(x)的定义域为[a,0) (0, a] ,这时 f (x) a 2 x 2 ,显然 f(-x)=-f(x),f(x)为 x 奇函数。 9、解:21,提示:在六块地上种甲种蔬菜的块数可以是 0,1,2,3(最多只能为 3)。 先把 6=n(n=0,1,2,3)块种上乙方蔬菜,再用 n 块甲种蔬菜插到它们形成的含两端在内的空档中去,得到选用 n 块种甲种蔬菜的方案 C n 6 n 1 种,令 n=0,1,2,3,得共有方案数为 C70 C 1 6 C32 C 3 4 21 10、解:0,提示:由 f(0)=f 3(0),知 f(0)[1-f(0)][1+f(0)=0,因此,f(0)=0 或 f(0)=1,或 f(0)=-1; 由 f(1)=f 3(1),同理 f(1)=0 或 1 或-1;由 f(-1)=f 3(-1),同理 f(-1)=0 或 1 或-1,但 f(0),f(-1),f (-1)两两不等,故{f(0),f(1),f(-1)}={0,1,-1},由此可见,f(0)+f(1)+f(-1)=0。 11、 12、 三、13、解:(Ⅰ)作 BH⊥B1F,从而 EHB 是二面角 E-B1F-B 的平面角。(2 分) 在 Rt ΔEBH 中,由 BB1=2BF=a,知 BH BF BB1 a ,tan EHB EB 5 ,故 B1F 5 BH 2 EHB arctan 5 ,即二面角 B-B1F-E 的大小为 arctan 5 (4 分) 2 2 (Ⅱ)因 B1E=B1F=DE=DF,EF 为公共边,故 DEF B1EF,F B1EF SDEF (6 分) 设点 D 到面 B1EF 的距离为 h,由VB1DEF VD , B1EF 得 1 3 S DEF BB1 1 3 SB1EF h, 故 h=BB1=a,即点 D 到平面 B1EF 的距离为 a。 (8 分) (Ⅲ)设 EF 与 BD 交于 G,连 B1G。 因为 EF⊥ BD,EF BB1,所以 EF ⊥面 BB1D1D,面 B1EF ⊥面 BB1D1D,在面 BD1 内作 BK ⊥B1G 于 K,延长后交 DD1 于 M,由两平面垂直的性质定理知 BM ⊥面 B1EF,即在 DD1 上存在适合条件的点 M。 (10 分) 在平面 BD1 中,因 B1BG ∽ BDM, 故 B1B BD , 又BG 2 a,,B BG DM 4 2a,,B 1 a, 故DM a ,M 2 为 DD1 的中点。 (12 分) 14、解:(Ⅰ)由条件得,α+β= 1 , αβ= -1 (2 分) 2 不妨设 x1<x2,则 0>4(x1-α)(x2-β)=4x1x2-4(αx2+βx1)+4αβ=4x1x2-2 (α+β)(x1+x2)+4αβ+2(α-β)(x1-x2)> 4x1x2-2(α+β)(x1+x2)+4αβ=4x1x2 -t(x1+x2)-4 故 4x1x2-t(x1+x2)-4<0 (5 分) (Ⅱ)依据意, t t 2 16 , t t 2 16 , 4 4 所以 f( ) 8 ,f( ) 8 ,故 f( ) f( ) 4 0 (7 分) t 2 16 t t 2 16 t 又任取 x1,x 2 [, ], 且x1 x2 ,则 f x1 f x2 [4 t(( 1 x2) 4x1x2(]x (x 2 1 1)(x 2 2 1) 1

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