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山东省日照市2019-2020学年数学高二下期末调研试题含解析

山东省日照市 2019-2020 学年数学高二下期末调研试题 一、选择题:本题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知双曲线 C 与椭圆 E : x2 y2 1有共同的焦点,它们的离心率之和为 14 ,则双曲线 C 的标准 9 25 5 方程为( ) A. x2 y2 1 12 4 B. x2 y2 1 4 12 C. y2 x2 1 4 12 D. y2 x2 1 12 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标,及椭圆的离心率,结合题意进一步求出双曲线的离心率,从而得到双 曲线的实半轴长,再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案. 【详解】 由椭圆 x2 y2 1 ,得 a2 25 , b2 9 , 9 25 则 c2 a2 b2 16 , 双曲线与椭圆的焦点坐标为 F1 0, 4 , F2 0, 4 , 椭圆的离心率为 4 ,则双曲线的离心率为 14 4 2 . 5 55 设双曲线的实半轴长为 m,则 4 2 ,得 m 2 , m 则虚半轴长 n 42 22 2 3 , 双曲线的方程是 y2 x2 1. 4 12 故选 C. 【点睛】 本题考查双曲线方程的求法,考查了椭圆与双曲线的简单性质,是中档题. 2.已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a 0,b 0) , M ,N 是双曲线上关于原点对称的两点, P 是双曲线上的动点, 直线 PM , PN 的斜率分别为 k1, k2 (k1 k2 0) ,若 k1 k2 的最小值为 2,则双曲线的离心率为( ) A. 2 【答案】A 【解析】 B. 5 2 C. 3 2 D. 3 2 【分析】 先假设点的坐标,代入双曲线方程,利用点差法,可得斜率之间为定值,再利用 | k1 | | k2 | 的最小值为 2, 即可求得双曲线的离心率. 【详解】 由题意,可设点 M ( p, q) , N( p,q) , P(s,t) . p2 a2 q2 b2 1,且 s2 a2 t2 b2 1. 两式相减得 t2 s2 q2 p2 b2 a2 . 再由斜率公式得: k1k2 t2 s2 q2 p2 b2 a2 . 2b | k1 | | k2 | a 根据 | k1 | | k2 | 的最小值为 2,可知 2b a 2 , 所以 a=b. 所以 c 2a e c 2, a 故选:A 【点睛】 本题主要考查双曲线离心率的计算,根据点的对称性,利用点差法进行化简是解决本题的关 键. 3.已知函数 f x 1 x3 ax 在其定义域 0, 内既有极大值也有极小值,则实数 a 的取值范围是 3 ln a () A. 0, 1 1, 2 e ee B. 0,1 【答案】D 2 C. ee , D. 1, 2 e ee 【解析】 【分析】 根据函数 f x 1 x3 ax 在其定义域 0, 内既有极大值也有极小值,则 f x x2 ax 0 .在 3 ln a 0, 有两个不相等实根求解. 【详解】 因为 f x 1 x3 ax 3 ln a 所以 f x x2 ax . 因为函数 f x 1 x3 ax 在其定义域 0, 内既有极大值也有极小值, 3 ln a 所以只需方程 x2 ax 0 在 0, 有两个不相等实根. 即 ln a 2 ln x , x 令 g x 2 ln x x ,则 g x 21 ln x2 x . g x 在 0, e递增,在 e, 递减.其图象如下: ∴ ln a 0, 2 e , ∴ 1<a<a 2 e .故选::D. 【点睛】 本题主要考查了导数与函数的极值,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题. 4.已知函数 f x 1 2 x , x 1 ,若函数 g x f x mx m的图象与 x 轴的交点个数不少 x 2 4x 5 2 , x 1 于 2 个,则实数 m 的取值范围是( ) A. , 2ln 2 1 4 , 6 30 B. 1 4 , 6 30 C. , 2eln2 1 4 , 6 30 D. 1 4 , 6 30 【答案】C 【解析】 分析:根据 g x f x mx m 的图象与 x 轴的交点个数不少于 2 个,可得函数 f (x) 的图象与 y mx m 的交点个数不少于 2 个,在同一坐标系中画出两个函数图象,结合图象即可得到 m 的取值范 围. 详解: g x f x mx m的图象与 x 轴的交点个数不少于 2 个, 函数 y f (x) 的图象与函数 y mx m 的图象的交点个数不少于 2 个, 函数 f x 1 2 x , x 1 , x 2 4x 5 2 , x 1 x 1时,函数 f (x) 为指数函数,过点 (0,1) , A(1, 1 ) 2 x 1时,函数 f (x) (x 2)2 3 ,为对称轴 x 2 ,开口向下的二次函数. 2 y mx m m(x 1) , y mx m为过定点 (1, 0)

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