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高中数学 1.3三角函数的诱导公式(2)作业A 新人教A版必修4

2016 高中数学 1.3 三角函数的诱导公式(2)作业 A 新人教 A 版必修 4

一.选择题 1.已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10°)的值为 ( )

11 A.-2 B.2

3 C.- 2

3 D. 2

2.若 sin(3π+α)=-12,则 cos 72π-α等于(

)

A.-12 B.12

C.

3 2

D.-

3 2

3.已知 sinα-π4 =13,则 cosπ4 +α的值等于(

)

11 A.-3 B.3

22 C.- 3

22 D. 3

4.若 sin(π+α)+cosπ2 +α=-m,则 cos32π-α+2sin(2π-α)的值为 (

)

A.-23m

B.23m

C.-32m

D.32m

5.已知 cosπ2 +φ= 23,且|φ|<π2 ,则 tan φ 等于(

)

3

3

A.- 3 B. 3 C.- 3 D. 3

6.已知 cos(75°+α)=13,则 sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是

()

1

2

A.3

B.3

1 C.-3

2 D.-3

二.填空题

7.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=________.

sin 8.已知 tan(3π+α)=2,则

α-3π

+cos -sin

-πα-α+c+ossinππ2+-αα-2cosπ2 +α=___

_____. 三.解答题 9.求证:tan

2π-α sin -2π-α cos 6π-α sinα+32πcosα+32π

=-tan α

10.化简:sin4k4-1π-α+cos4k+ 4 1π-α (k∈Z).

11.已知 sin-π2 -α·cos-5π 2 -α=16609,且π4 <α<π2 ,求 sin α 与 cos α 的值.
\

12.已知 cosπ2 +α=2sinα-π2 ,求s5icno3s5π2π+-αα++3csoisn7απ2 +-πα 的值.

13.是否存在角 α,β,α∈-π2 ,π2 ,β∈(0,π),使等式

sin

3π-α

= 2cosπ2 -β

3cos -α =- 2cos π+β

同时成立.若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由.

A-59 答案

1.A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.829

tan -α ·sin -α ·cos -α

-tan α · -sin α ·cos α

8.证明 左边=sin2π-π2 -α·cos2π-π2 -α= sin-π2 -αcos-π2 -α

sin2α

sin2α

=-sinπ2 -αcosπ2 -α=-cos α·sin

sin α=-cos

α α=-tan

α=右边.

∴原等式成立.

9.2 10.解 原式=sinkπ-π4 +α+coskπ+π4 -α. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1 (n∈Z),则

原 式 = sin 2n+1 cosπ+π4 -α

π-π4 +α + cos

2n+1

π+π4 -α = sin π-π4 +α +

=sinπ4 +α+-cosπ4 -α=sinπ4 +α-cosπ2 -π4 +α =sinπ4 +α-sinπ4 +α=0;

当 k 为偶数时,设 k=2n (n∈Z),则原式=sin2nπ-π4 +α+ cos2nπ+π4 -α=-sinπ4 +α+cosπ4 -α=-sinπ4 +α+cosπ2 -π4 +α=- sinπ4 +α+sinπ4 +α=0.综上所述,原式=0.

11.解 sin-π2 -α=-cos α,cos-5π 2 -α=cos2π+π2 +α =-sin α.∴sin α·cos α=16609,

即 2sin α·cos α=112609.①

又∵sin2α+cos2α=1,②

①+②得(sin α+cos α)2=126899,

②-①得(sin α-cos α)2=14699.

又∵α∈π4 ,π2 ,∴sin α>cos α>0, 即 sin α+cos α>0,sin α-cos α>0,

∴sin α+cos α=1173,③

sin α-cos α=173,④

③+④得 sin α=1123,③-④得 cos α=153.

12.解 ∵cosπ2 +α=2sinα-π2 ,

∴-sin α=-2cos α,∴tan α=2.

sin3 π+α +cos α+π ∴ 5cos5π 2 -α+3sin72π-α

-sin3α-cos α

= 5sin

α-3sinπ2 -α

- sin3α+cos α = 5sin α-3cos α

sin3α+cos α sin2α·tan α+1 =3cos α-5sin α= 3-5tan α

sin2α sin2α+cos2α·tan

α+1



3-5tan α

tan3α

23

1+tan2α+1 1+22+1 13

= 3-5tan α = 3-5×2 =-35.

sin α= 2sin β, ① 13.解 由条件,得
3cos α= 2cos β. ②
①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2,③ 又因为 sin2α+cos2α=1,④

由③④得 sin2α=12,即 sin

α=±

2 2,

因为 α∈-π2 ,π2 , 所以 α=π4 或 α=-π4 .

当 α=π4 时,代入②得 cos

β=

3 2,

又 β∈(0,π),

所以 β=π6 ,代入①可知符合.

当 α=-π4 时,代入②得 cos β= 23, 又 β∈(0,π), 所以 β=π6 ,代入①可知不符合.

综上所述,存在 α=π4 ,β=π6 满足条件.


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