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学案高中数学第2章平面解析几何初步直线与圆的位置关系课件苏教版必修75

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第2章 平面解析几何初步

2.2 圆与方程 2.2.2 直线与圆的位置关系

[情景导入] 为了更好地了解鲸的生活习性,某动物 保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置,从海岸放 归点 A 处(如右图所示)把它放归大海, 并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行 了长达 40 分钟的跟踪观测,

每隔 10 分钟踩点,测得数据如下表所示(设鲸沿海面 游动).然后又在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观 测.已知 AB=15 km,观测站 B 的观测半径为 5 km.写出 a,b 近似满足的关系式,并预测:若按此关系式运动, 那么鲸经过多长时间可进入观测站 B 的范围?

观测时 跟踪观测点到放 刻t/min 归点的距离x/km

10

1

20

2

30

3

40

4

鲸位于跟踪观测 点正北方的距离
y/km 0.999
0.333 4
0.111 1
0.037 0

[学习目标] 1.理解直线与圆的几种位置关系,掌握 直线与圆的位置关系的代数法、几何法判断(难点). 2. 熟练掌握直线与圆相切的处理方法,会求圆的切线方程 (重点). 3.会解决直线与圆相交问题及简单的弦长问题 (重点).

1.直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种. 2.(1)若直线与圆相交?圆心到直线的距离 d<圆的半径 r; (2)若直线与圆相切?圆心到直线的距离 d=圆的半径 r; (3)若直线与圆相离?圆心到直线的距离 d>圆的半径 r.

3.若 P(x0,y0)(y0≠0)是圆 x2+y2=r2 上一点,过 P(x0, y0)的直线与圆相切,则切线的斜率为__-__xy_00__,切线方程 为 x0x+y0y=r2.
4.过圆(x-a)2+(y-b)2=R2 外一点 P(x0,y0)作圆的 切 线 PT(T 为 切 点 ) , 则 切 线 长 |PT| =
(x0-a)2+(y0-b)2-R2.

一、直线与圆的位置关系 ①直线与圆相交,有两个公共点; ②直线与圆相切,只有一个公共点; ③直线与圆相离,没有公共点.

二、判定直线与圆的位置关系的方法 方法一:代数法. 判断直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F= 0 的位置关系,可将xA2x++yB2+y+DCx+=E0,y+F=0联立,得 mx2 +nx+p=0.然后利用 Δ,当 Δ=0 时相切,当Δ>0 时相 交,当 Δ<0 时相离.

方法二:几何法. 已知直线 Ax+By+C=0 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心到直线的距离 d=|Aa+A2B+b+B2C|. 相交?d<r;相切?d=r;相离?d>r.

三、圆中的弦长公式 直线与圆相交有两个交点,设弦长为 l,弦心距为 d, 半径为 r,则有2l 2+d2=r2.即半弦长、弦心距、半径构成 直角三角形的三边,数形结合,利用勾股定理求解.

题型 1 直线与圆位置关系的判断 [典例 1] 已知直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=4,试判 断直线和圆的位置关系. 分析:思路一:利用代数法;思路二:利用几何法; 思路三:利用直线方程[此题直线过定点(0,1)].

y=2x+1, 解:法一:因为

所以

5x2+4x-3=0.

x2+y2=4,

判别式 Δ=42-4×5×(-3)=76>0.

所以直线与圆相交.

法二:因为 x2+y2=4,所以圆心为(0,0),半径 r= 2.
又因为 y=2x+1,

|2×0-0+1| 5 所以圆心到直线的距离 d= 22+12 = 5 <2=r. 所以直线与圆相交. 法三:由题意知,直线过定点(0,1), 而 02+12=1<4. 所以点(0,1)在圆内,从而直线与圆相交.

[变式训练] 1.已知直线 l:x+y-5=0 和圆 C:x2+y2-4x+6y -12=0,判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 解:法一:联立方程组,消 y 得 2x2-20x+43=0, 因为 Δ=(-20)2-4×2×43=56>0,
所以直线 l 与圆 C 相交.

法二:将圆的方程化为(x-2)2+(y+3)2=25, 可得圆心 C(2,-3),半径 r=5. 因为圆心到直线 l 的距离 d=3 2<5, 所以直线 l 与圆 C 相交.

题型 2 直线和圆相切问题 [典例 2] 求过点(1,-7)且与圆 x2+y2=25 相切的 直线方程. 分析:解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置关 系,在此基础上选择代数法或几何法求切线方程.

解:法一:由题意知切线斜率存在,设切线的斜率为

k,

则切线方程为 y+7=k(x-1),

即 kx-y-k-7=0.

|-k-7|

所以

=5.

k2+1

解得 k=43或 k=-34. 所以所求切线方程为 y+7=43(x-1)或 y+7=-34(x -1), 即 4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0.

法二:由题意知切线斜率存在,设切点为(x0,y0),

则xy00+-71·xy00=-1, x20+y20=25,

x0=4, x0=-3,

解得



y0=-3 y0=-4.

所以切线方程为 4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0.

法三:由题意知切线斜率存在.

设切线斜率为 k,则切线方程为

y+7=k(x-1),即 y=k(x-1)-7,

y=k(x-1)-7,





x2+[k(x-1)-7]2=25,

x2+y2=25,

即(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0.

所以 Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)·(k2+14k+24)=0. 解得 k=43或 k=-34. 所以所求切线方程为 y=43(x-1)-7 或 y=-34(x-1) -7. 即 4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0.

规律总结 1.求过圆上一点的圆的切线的一般步骤: ①求切点与圆心连线的斜率 k; ②由垂直关系得切线斜率为-1k; ③代入点斜式方程得切线方程.

2.求过圆外一点的圆的切线方程的方法: ①几何法: 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y-kx0+y0= 0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得 k,进而求出 切线方程.

②代数法: 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0, 代入圆的方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0 求得 k,即可求出切线方程.

[变式训练] 2.求过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引的切线方程. 解:显然 x=2 为所求切线方程之一;若切线存在斜 率,设其方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,

|4-2k|

3

从而

=2,解得 k2+1

k=4,所以切线方程为

3x-

4y+10=0.

所以所求的切线方程为 x=2 或 3x-4y+10=0.

题型 3 弦长问题 [典例 3] 直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x2+y2-2y -4=0 截得的弦长为________.

联立直线与 求出交 利用两点间的

分析:思路一:





圆的方程 点坐标 距离公式求解

利用半径、弦心距、弦长的

思路二:

→ 直接求解

一半构成的直角三角形列式

解析:法一:由直线 l 与圆 C 的方程,

3x+y-6=0,

x1=1,x2=2,



解得



x2+y2-2y-4=0, y1=3. y2=0.

所以直线 l 与圆 C 的交点为 A(1,3),B(2,0).

故直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截

得的弦长|AB|= (1-2)2+(3-0)2= 10.

法二:圆 C:x2+y2-2y-4=0 可化为 x2+(y-1)2= 5,
其圆心坐标为(0,1),半径 r= 5,点(0,1)到直线 l 的距离
|3×0+1-6| 10 d= 32+12 = 2 .

设直线 l 与圆 C 的交点为 A,B, 则A2B= r2-d2= ( 5)2- 2102= 210, 所以弦长 AB= 10. 答案: 10

规律总结 1.涉及直线被圆截得的弦长问题,解法有以下两种: (1)由于半径 r、弦心距 d、弦长 l 的一半构成直角三 角形,所以利用勾股定理 d2+2l 2=r2 求解,这是常用解 法.

(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于 x(或 y)的一 元二次方程,再利用根与系数的关系求出 xA+xB,xA·xB(或 yA+yB,yA·yB)的关系式,得弦长 AB= 1+k2·|xA-xB|=
(1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB](或 AB= 1+k12|yA- yB|= 1+k12[(yA+yB)2-4yAyB]).其中,k 为直线 l 的斜率.

2.在同圆或等圆中,弦心距越小,所对的弦长越大; 圆心角越大,所对的劣弧越大.过圆内某一定点的所有弦 中,经过圆心的弦(即直径)最长;垂直于经过该定点的直 径的弦最短,对应的弦心距最大.

[变式训练] 3.过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所 得弦的长为 2,则该直线的方程为____________. 解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=1,即圆心
为(1,2),半径 r=1.设所求直线的方程为 y=kx(由题意易
得直线的斜率存在),即 kx-y=0.

由于直线与圆相交所得弦的长为 2,圆的半径 r=1, 则圆心到该直线的距离为 12-222=0,即圆心在直线 kx-y=0 上,于是 k-2=0,即 k=2.故所求直线的方程 为 2x-y=0.
答案:2x-y=0

题型 4 有关最值问题
[典例 4] 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=
0. (1)求xy的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值.

分析:方程 x2+y2-4x+1=0 表示圆心为(2,0),半 径为 3的圆.xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, y-x 可看作直线 y=x+b 在 y 轴上的截距;x2+y2 是圆上 一点与原点距离的平方,可借助于平面几何知识,利用数 形结合求解.

解:(1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)

为圆心,半径为 3的圆.

设xy=k,即 y=kx,当直线 y=kx 与圆相切时,斜率

|2k-0|

k 取最大值和最小值,此时有

= 3,解得 k=± 3.

k2+1

故xy的最大值为 3,最小值为- 3.

(2)设 y-x=b,即 y=x+b,当 y=x+b 与圆相切时, |2-0+b|
纵截距 b 取得最大值和最小值,此时 2 = 3,即 b =-2± 6.
故(y-x)max=-2+ 6,(y-x)min=-2- 6.

(3)x2+y2 表示圆上点与原点距离的平方,由平面几何 知识知原点与圆心连线在圆的两个交点处取得最大值和 最小值.
又圆心到原点的距离为 2,故(x2+y2)max=(2+ 3)2 =7+4 3,(x2+y2)min=(2- 3)2=7-4 3.

规律总结 涉及与圆有关的最值问题时,可借助图形性质,利用
y-b 数形结合求解.(1)形如 u= 的最值问题,可转化为动
x-a 直线斜率的最值问题;(2)形如 l=ax+by 的最值问题,可 转化为动直线截距的最值问题;

(3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为圆上 的点到已知定点(a,b)的距离的平方的最大值和最小值问 题.

[变式训练]

4.已知实数 x,y 满足 x2+y2=1,求xy++21的取值范围.

y-(-2)

解:令 k=

,则 k 可看作圆 x2+y2=1 上的

x-(-1)

动点与点(-1,-2)的连线的斜率,而相切时的直线的斜率 为34,

所以xy++21≥34.


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