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高中数学必修四课件:1.4 三角函数的图象与性质共3课时(共39张PPT)_图文

1.4.1
正弦、余弦函数的图象

学情调查 情境导入

三角函数

三角函数线

正弦函数 余弦函数 正切函数

sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT



-1

O

M A(1,0) x

问题展示 合作探究

问题:如何作出正弦、余弦函数的图象?

途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决。

描图:用光滑曲线

y
B
1

将这些正弦线的 终点连结起来

A

O1

O



2



4

5

2

x

3

3

3

3

-1

y=sinx

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2k)=sinx, kZ
x[0,2]
f (x 2k ) f (x) 利用图象平移

y=sinx xR

问题展示 合作探究
y 1



o

2

2



-1

y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR

1

-4 -3

-2

- o



-1

3

2

x

2

正弦曲 线

2

3

4

5 6 x

问题展示 合作探究

如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像?
1

-4 -3

-2

- o
-1



2

3

4

5 6 x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y

余弦曲

-4 -3

-2

(0,11)

3

( 2 ,1)

-

(-o12 ,0)

( 2 ,0)



2

( ,-1)

3

线

4

5 6 x

问题展示 合作探究

y



五点画图法

1

(

2

,1)


( 2 ,1)



( ,0)

( 2 ,0)

五点法——
2

(

(0,0)o



(0,0)

2

(0,0)
-1

(0,0)

(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

2 ,1)


(

( 2 ,1)



(

2

,1)


( 2 ,1)

( 2 ,1)

( (

2
2

,1) ,1)

,0) 3

(
2

( ,0) 2

(

((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))

2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)

问题展示 合作探究

例1 (1)画出函数y=1+sinx,x[0, 2]的简图:

x

0


2

3



2

2

sinx 0

1

0

-1

0

1+sinx y 1
2

1



o

2

-1

2

1

0

1

步骤:

y=1+sinx,x[0, 2]

1.列表 2.描点

3.连线





2

3

2

x

2 y=sinx,x[0, 2]

问题展示 合作探究

(2) 画出函数y= - cosx,x[0, 2]的简图:

x

0


2

3



2

2

cosx 1

0

-1

0

1

- cosx -1

0

1

0

-1

y

y=cosx,x[0, 2]

1



o

2

2



3

2

x

2

-1

y= - cosx,x[0, 2]

问题展示 合作探究
例2.用五点法作函数 y 2cos(x ), x [0, 2 ] 的简图.
3

例3.利用正弦函数和余弦函数的图象, 求满足下列条件的x的集合:

(1) sin x 1 (2) cosx 1 ,x (0, 5 )

2

2

2

达标训练 巩固提升
A组: 1; B组:1 作下列函数的简图 ⑴ y=|sinx|, ⑵y=sin|x|
选做:用“五点法”作函数: y 3sin(2x ) 1 的简图
3

知识梳理 归纳总结
? 1、回顾一下本节课,你学到了什么? ? 2、请各小组派代表总结

预习指导 新课链接
? 1、巩固正(余)弦函数图像 ? 2、思考:研究函数性质的步骤是什么? ? 3、通过图像观察正弦(余弦)函数的性质:
定义域、值域、奇偶性、单调性、最大(小) 值、对称性等

1.4.2 正、余弦函数的性质

学情调查 情境导入

1)图象作法--- 几何法 五点法

2)正弦曲线、余弦曲线
y

正弦曲

-4 -3

-2



1 ( 2 ,1)

(0,0)

( ,0)

( 2 ,0)

- o



2

3

4

-1

3

( 2 ,-1)

线 5 6 x

y 余弦曲

-4 -3

-2

(0,11)

3

( 2 ,1)

-

(-o12 ,0)

( 2 ,0)



2

( ,-1)

3

线

4

5 6 x

问题展示 合作探究
(一)关于定义域 例1.求下列函数的定义域:
1) y lg sin x
2) y 2 cos3x

问题展示 合作探究
(二)关于周期性
1.周期性的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个 函数的周期. 注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周 期.

问题展示 合作探究
2.求函数的周期 例2.求下列函数的周期:
1) y 3cos x 2) y sin 2x
3) y 2sin(1 x ), x R
26
---定义法

问题展示 合作探究

例3.求下列函数的周期: ---利用结论
1) y sin(x )
3 2) y cos 3x

3) y 3sin(1 x ), x R
35

一般结论:

函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R

( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2

问题展示 合作探究
(三)关于奇偶性(复习)
一般地, ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x ),那么就说f( x )是偶函数 ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x ),那么就说f( x )是奇函数

问题展示 合作探究

sin( x) sin x

y sin x( x R)

定义域关于原点对称

cos(x) cos x

y cos x(x R)

奇函数 偶函数

正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数

达标训练 巩固提升
书本P46.A组3.10 B组3 附加.判断下列函数的奇偶性
1) y 2 cos 2x
2) y sin x 1

知识梳理 归纳总结
? 1、回顾一下本节课,你学到了什么? ? 2、请各小组派代表总结

预习指导 新课链接
? 1、回顾正(余)弦函数图像的画法 ? 2、思考:如何画出正切函数的图像? ? 3、通过图像观察正切函数的性质:定义域、
值域、奇偶性、单调性、最大(小)值、对 称性等

1.4.3 正切函数的图象和性质

学情调查 情境导入
一.正弦余弦函数的作图: 几何描点法(利用三角函数线) 五点法作简图
二.周期性: 函数y Asin(x )和y Acos(x ),x R的周期T 2
| | 三.奇偶性:
y sin x为奇函数,图像关于原点对称; y cosx为偶函数图像关于y轴对称。

学情调查 情境导入

-6 -5 -6 -5

-4 -3 -4 -3

-2 -

-2

-

y y=sinx
1 o
-1
y y=cosx
1
-1

四.单调性:

2 3

4 5

2 3 4

5

6 x 6 x

正弦函数在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递增的, 从 1到1;

2

2

在[ 2k , 3 2k ](k Z )上是单调递减的, 从1到 1

2

2

余弦函数在区间[2k ,2k ](k Z)上是单调递增,从 1到1: 在区间[2k ,2k ](k Z)上是单调递减,从1到1

学情调查 情境导入

-6 -5

-4 -3

-2 -

-6 -5 -4 -3 -2

-

y y=sinx
1 o
-1
y y=cosx
1
-1

2 3

4 5

2 3 4 5

6 x 6 x

五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:

y sin x : 定义域为R,值域[1,1]

最大值1,此时x 2k ;最小值-1, 此时x 2k ;

2

2

y cos x : 定义域为R,值域[1,1]

最大值1,此时x 2k ;最小值-1, 此时x 2k ;

学情调查 情境导入

-6 -5 -6 -5

-4 -3 -4 -3

-2 -

-2

-

y y=sinx
1 o
-1
y y=cosx
1
-1

2 3

4 5

2 3 4 5

6 x 6 x

六.对称轴和对称点:
y sin x的对称轴:x k , 对称点: (k ,0);
2
y c os x的对称轴:x k , 对称点: (k ,0);
2
七.y sin x和y cosx的图像性质的研究思想: (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想

问题展示 合作探究
(1)正切曲线图象如何作:
几何描点法(利用三角函数线)
思考:画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?

问题展示 合作探究

(二)周期性 :

由诱导公式 tan(x+ )=tanx,x R, x k , k Z
2
可以知道 是正切函数的一个正周期

问题:是否是最小的正周期呢?

(三)奇偶性:

由诱导公式tan(-x

)=-tanx,x



R,x




2



k

,

k



Z

y tan x, x k k z 为奇函数,图像关于原点对称
2

问题展示 合作探究

问题展示 合作探究
(四)单调性:观察图像

正切函数在 , ,k Z中为递增函数,由周期性知,
2 2

正切函数在 k, k ,k Z中是增函数。

2

2



思考:在整个定义域内是增函数么?

问题展示 合作探究 (五)定义域、值域:
(六)关于对称点对称轴:从图象可以看出:无对称轴。
直线 x k 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点,即
2

问题展示 合作探究

? 例1

求函数y



tan




2

x




3

的定义域,值域,并指出它的周期性,

奇偶性,单调性,对称中心,作出它的大致草图

解:

定义域: {x | x 2k 1,k Z} 值域:R

3

周期:T 2 奇偶性:非奇非偶

单调区间:( 5 2k,1 2k),k Z 33
对称中心:(k- 2 , 0), k Z 3

问题展示 合作探究
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小 ?
4 5

问题展示 合作探究

练习1:试着画出y | tan x | 和y tan | x |

并讨论它们的单调性,周期性和奇偶性.

练习2.如果、




(

,

)且

tan



cot

,

2

那么必有( )

A.

B.

C. 3 D. 3

2

2

问题展示 合作探究
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性

达标训练 巩固提升
1.书本P45练习 2.P46习题A组6,7,8,9;B组2

知识梳理 归纳总结
正切函数的基本性质


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