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福建南平希望高级中学高三第二次月考数学理

福建省南平希望高级中学 2011 届高三年级第二次月考
数学(理)试题

考试时间 120 分钟,满分 150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将你认为是正确的选项前面的代号填入
答题卡相应的空格中。

1.已知集合 A {x x a},B {x 1 x 2},且 A U(?R B) R ,则实数 a 的取值范围是

A. a ≤1

B. a 1

C. a≥2

D. a 2

()

2.函数 f (x) 2mx 4 .若在[2,1]上存在 xo ,使得 f (xo) 0 ,则实数 m 的取值范围是

A.[ 5 , 4] 4

B. (, 2]U[1, )

()

C.[1, 2]

D.[2,1]

3.双曲线 x2 y 2 1的焦点到渐近线的距离为 4 12

()

A. 2 3

B. 2

C. 3

D.1

4.方程 x 1 1 ( y 1)2 所表示的曲线是

()

A.一个圆

B.两个圆

C.半个圆

D.两个半圆

5.已知直线 l、m、n 及平面 ,下列命题中的假命题是

()

A.若 l // m , m // n ,则 l // n

B.若 l , n // ,则 l n

C.若 l m , m // n ,则 l n

D.若 l // , n // ,则 l // n

6.

y



ex ex

ex ex

的图像大致为 y

y

1 O1 x

1 O1 x

A

B

y 1 O1 x
C

y 1 O1 x D

()

7.下图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),可求得该物体的体积为( )

4
8
4

正视图

侧视图

俯视图

A. 256+64 cm3

B. 256+32 cm3

C.128+32 cm3

D.128+64 cm3

8.函数 y asin x bcosx(ab 0) 的一条对称轴的方程为 x ,则以向量 c (a,b) 为方向向量的直线 4

的倾斜角为

()

A. 45

B. 60

C.120

D.135

9.中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等,如果集合 A 中元素之间的一个关系“ ”

满足以下三个条件:

(1)自反性:对于任意 a A ,都有 a a ; (2)对称性:对于 a,b A,若 a b ,则有 b a ; (3)传递性:对于 a,b,c A,若 a b , b c ,则有 a c 则称“ ”是集合 A 的一个等价关系以

下四种关系中不.是.等价关系的是

()

A.数的相等

B.向量的共线 C.图形的相似 D.命题的充要条件

10.已知 O 为平面上的一个定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

uuur OP



uuur OA



(

uuur AB uuur

uuur



AC uuur

), (0, ) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的

AB sin B AC sin C

()

A.重心

B.垂心

C.外心

D.内心

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。把答案填写在答题卡上相应的位置。只须写出

最后结果,不必写出解题过程。

11.已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R) ,则该直线过定点

12.已知 t 1,若 t 2x 1 dx t2 ,则 t 1



13.一动圆与圆 x2 y2 6x 8 0 外切,同时与圆 x2 y2 6x 72 0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方



14.点

P(x,

y)

是椭圆

x2 a2



y2 b2

1 ( a b 0 ) 上的任意一点, F1, F2

是椭圆的两个焦点,且∠ F1PF2

90 ,

则该椭圆的离心率的取值范围是

15.正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形

面积的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤。

16.平面内给定三个向量

ar



r
3, 2 , b



1, 2 , cr



4,1

,回答下列问题:

(Ⅰ)求满足

ar



r mb



ncr

的实数

m,n;

(Ⅱ)若 ar kcr //

r 2b



ar

,求实数 k;

17.如图,在棱.长.为.2.的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AA1,和 CC1 的中点. (I)求证:EF∥平面 ACD1 (Ⅱ)求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ)在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P-AC-B 的大小为 30°?若存在,求出 BP 的长;若不存 在,请说明理由.

18.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告宣传,经调查,每投入广告费 t(百万
元)可增加的销售额约为 5t t 2 (百万元)。
(I)若该公司将当年的广告宣传费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费才能使公司由.此.获得的 收益最大。
(II)现该公司准备投入 3 百万元,分别用于广告宣传和技术改造,经预测,每投入技术改造费 x(百

万元)可增加的销售额约为



1 3

x3



x2



3x

(百万元),请设计资金分配方案,使该公司由.此.获

得的收益最大。(注:收益=销售额—投入)

19.设圆 C 满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 5∶1. 在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线 l :3 x -4 y =0 的距离最小的圆的方程.

20.已知 f(x)= 2x a (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数. x2 2
(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A;
(Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)= 1 的两个非零实根为 x1、x2. x
试问:是否存在实数 m,使得不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a ∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?
若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.已知椭圆 C

: x2 a2



y2 b2

1(a>b>0)的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

2 ,点 F1、F2 分别 2

是椭圆的左、右焦点,在直线 x=2 上的点 P(2,
于不同的两点 A、 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若在椭圆 C 上存在点 Q,满足
OA OB OQ(O 为坐标原点),求实
值范围.

3 )满足|PF2|=|F1F2|,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交

y
l
A
F1 O

B F2

P 数 的取 x

参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将你认为是正确的选项前面的代号填入

答题卡相应的空格中。

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C

B

A

CD

C

A

D

B

A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。把答案填写在答题卡上相应的位置。只须写出

最后结果,不必写出解题过程。

11.(-2,1)

12.2

13. x2 y2 1 25 16

14. 0 e 2 2

15.


2 4

,

1 2




三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤。
16.解析:(1)由题意得 3,2 m1,2 n4,1,

所以

m



2m



4n 3 n2

,得

m n



5
9 8

…….6



9

(2)

ar



kcr



3

4k, 2



r
k ,2b



ar



5,2 ,

2 3 4k 52 k 0,k 16 …..13 分
13

17.解:如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,由已知 得 D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、 B(1 2,2,2)、D(1 0,0,2)、E(1,0,2 )、F(0,2,1).…………

(2 分)
(空间直角坐标系的建立和相关点的坐标描述各 1 分!)
uuuur (Ⅰ)易知平面 ACD1 的一个法向量是 DB1 =(2,2,2).………(4 分)

uuur

uuur uuuur

又∵ EF =(-1,2,-1),由 EF ·DB1 = -2+4-2=0,

uuur uuuur ∴ EF ⊥ DB1 ,而 EF 平面 ACD1,∴EF∥平面 ACD1………………(6 分)

uuur (Ⅱ) ∵ AB =(0,2,0),

uuur uuur cos< EF , AB >=

uuur uuur uuEurF AuBuur



4



6

| EF | | AB | 2 6 3

∴异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值为 6 …(9 分). 3

r (Ⅲ)设点 P(2,2,t)(0<t≤2),平面 ACP 的一个法向量为 n =(x,y,z),

r uuur



nr



AC uuur



0,



uuur AP

=(0,2,t),

uuur AC =(-2,2,0),

n AP 0.



2x



2y



2y 0, tz 0,



r n



(1,1,



2) t



uuur 易知平面 ABC 的一个法向量 BB1 (0, 0, 2) ,

uuur r

uuur r

依题意知,< BB1 , n >=30°或< BB1 , n >=150°,

uuur r ∴|cos< BB1 , n >|=

|4| t

3 ……(11 分)

2

2



4 t2

2

即4 t2



3 (2 4

4 t2

)

,解得

t



6 .∵ 3

6 (0, 2] , 3

∴在棱 BB1 上存在一点 P,当 BP 的长为 6 时, 3
二面角 P-AC-B 的大小为 30°.………(13 分)
18.解:(I)设通过广告费获得的收益为 y 百万元,则 y 5t t 2 t ……………1 分
4t t 2 (t 2)2 4 ……………3 分

则当 t 2时, y最大 4 ……………4 分,

因此投入广告费 2 百万元时其收益最大………5 分. (II)设收益为 y 百万元,则

y 1 x3 x2 3x 5(3 x) (3 x)2 3 1 x3 4x 3.............7分

3

3

y x2 4,令y 0,则x 2(舍去负值),当0 x 2时, y 0,当2 x 3时, y 0,.........9分

因此x 2时函数取得极大值y 25 ,.........10分,而x 0时, y 3, x 3时, y 6, 3
故x 2时函数在[0,3]取得最大值.............12分,因此,当投入2百万元用于技术改造费,

1百万元用于广告费, 其收益最大............13分.

19.解:设所求圆的圆心为 P( a , b ),半径为 r ,则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为| b |、| a |.

由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 60°……2 分,圆 P 截 x 轴所得弦长为 r ,故 又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2,所以有 r2= a 2+1,…………5 分
从而有 4 b 2-3 a 2=3 又点 P( a , b )到直线 3 x -4 y =0 距离为 d = | 3a 4b | ,…………7 分
5 所以 25 d 2=|3 a -4 b |2 =9 a 2+16 b 2-24 a b ≥9 a 2+16 b 2-12( a 2+ b 2)………10 分 =4b2-3 a 2=3 当且仅当 a = b 时上式等号成立,此时 25 d 2=3,从而 d 取得最小值,

3 r 2=4 b 2,

a b 由此有 4b2 3a2 3

,解方程得

a



3



a





3

………12 分

b 3 b 3

由于 3 r 2=4 b 2,知 r =2,于是所求圆的方程为

(x- 3 )2+(y- 3 )2=4 或(x+ 3 )2+(y+ 3 2=4……….13 分

20.解:(Ⅰ)f'(x)= 4 2ax 2x2 = 2(x2 ax 2) ………….2 分

(x2 2)2

(x2 2)2

∵f(x)在[-1,1]上是增函数,

∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立,

即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立.

①………..3 分

设 (x)=x2-ax-2,

(1)=1-a-2≤0,



…………4 分 -1≤a≤1……………….5 分 (-1)=1+a-2≤0.

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. ………………6 分
(Ⅱ)由 2x a = 1 ,得 x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0 x2 2 x

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a,



从而|x1-x2|= (x1 x2 )2 4x1x2 = a2 8 .

x1x2=-2,

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a2 8 ≤3.

要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,

当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立,

即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立.



设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

g(-1)=m2-m-2≥0,



g(1)=m2+m-2≥0,

m≥2 或 m≤-2.
所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2, 或 m≤-2}. 21.解:(Ⅰ)依题意有

c



a

(2c) 2

2 2

, (2



c) 2



c 解得 3. a

1,

2.

b 1.

所求椭圆方程为 x 2 y 2 1. ………………………………………………5 分 2

y kx m,

(Ⅱ)由



x

2



2y2



得 (1 2,

2k

2 )x2



4kmx



2m 2



2



0



设点 A 、 B 的坐标分别为 A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) ,





x1







x1

x2

x2

4km 1 2k 2
2m2 2 . 1 2k 2

,

………………7 分,

y1



y2



k ( x1



x2 ) 2m

2m 1 2k 2



(1)当 m 0 时,点 A 、 B 关于原点对称,则 0 . (2)当 m 0 时,点 A 、 B 不关于原点对称,则 0 ,

由 OA

OB



OQ

,得



xQ



yQ



1 1

( x1 ( y1

x2 ), y2 ).





xQ



yQ



4km , (1 2k 2 )
2m . (1 2k 2 )

点 Q 在椭圆上,有[ 4km ]2 2[ 2m ]2 2 ,

(1 2k 2 )

(1 2k 2 )

化简,得 4m2 (1 2k 2 ) 2 (1 2k 2 )2 .

1 2k 2 0 ,有 4m2 2 (1 2k 2 ) ……①…10 分

又 16k 2m2 4(1 2k 2 )(2m2 2) 8(1 2k 2 m2 ) ,

由 0 ,得1 2k 2 m2 ……② …12 分

由①、②两式得 4m2 2m2 . m 0 ,2 4 ,则 2 2 且 0 . 综合(1)、(2)两种情况,得实数 的取值范围是 2 2 .…………………14 分


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