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【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试理科数学试卷有答案_图文

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3

长沙市 2020 届高三年级统一模拟考试

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.D
解析:∵ 2x?1 > 1,∴ x > 1,又 x2 ? 2x ≤ 0 ,则 0 ≤ x ≤ 2 ,∴ A I B = (1, 2] ,故选 D.

2.D

解析:复数

z

=1+i i

=

i

+i2 i2

=1?i

,故选

D

3.C

解析:在△CEF

中,E→F=→EC+→CF.因为点

E



DC

的中点,所以→EC=12D→C.因为

uuur CF

=

uuur 2FB



所以→CF=23C→B. 所以→EF=21D→C+23C→B=21A→B+23D→A=21A→B-23A→D,故选 C

4.D

解析:当

x



0

时,函数

y

=

x2 e x +1

,由

y

'=

2x?x e x+1

2

可知原函数有且只有一个极大值点是

x = 2 ,故选 D.

5.C

解析:设正方形的边长为

2,则图中阴影部分的面积为

S

=

4×???



1 4

π

×12

?1×1???

=



?

4



故所求恰好取自阴影部分的概率为

P

=

2π ? 4

4

=

π 2

?1

,故选

C

6. A

解析: (3x +1)(1x ?1)5 的展开式中的常数项为 C54 × 3× (?1)4 + (?1)5 = 14 ,故选 A.
7.B

( ) 解析:由 cosα 1+

3 tan10o = 1 可得 cosα

3 sin100 + cos100 = 1,即 cos100

cosα 2sin 400 = 1 ,所以 cosα = cos100 = sin 800 = 2sin 400 cos 400 = cos 400 ,

cos100

2sin 400 2sin 400

2sin 400

又α 为锐角,故α = 400 ,选 B
8.D

解析: ΔPEF2 的周长为 PE + PF2 + EF2 = PE + 2a ? PF1 + EF2 = 2a + EF2 + PE ? PF1

≥ 2a + EF2 ? EF1 = 2a = 3b ,

∴e

=

c a

=

1? (ba)2 =

1?

4 9

=

5 3

,故选

D

数学(理科)参考答案第 1 页 共 8 页

3

9.C

解析:依题意三棱柱的外接球即为底面为正方形(边长为 2)、高为 3 2 的长方体的外

接球,其直径为长方体的体对角线,设球的半径为 R ,则有

( ) (2R)2 = 22 + 22 +

3

2

2
= 26 ,故所求球体表面积为 4π R2 = 26π ,故选 C

10.C

解析:当 n ≥ 2 时, an?1 + Sn?1 = 2n?1 ,则 an ? an?1 + (Sn ? Sn?1) = 2n ? 2n?1 = 2n?1 ,

即 2an

? an?1

=

2n?1 ,则 bn

=

log2

2n+1

=

n

+ 1 ,从而

1 nbn

=

1 n

?

1 n +1





1 b1

+

1 2b2

+L+

1 99b99

=1?

1 2

+

1 2

?

1 3

+L+

1 99

?1 100

=

1

?

1 100

=

99 100

.

11.B

故选 C

解析:函数 f ( x) 的图象如图,

(1) 设 f (a)= f (b)=k ,则 k∈(2, 4] 。

由 2+log1 a=k, 2b=k ,
2



a = ( 1 )k ?2 2

,

b=log2

k





k=4

时,

a

=

1 4

, b = 2,

ab=

1 2



( ) 考虑

ab?

1 2

=(

12)k?2×log2

k

?

1 2

=(

1 ) k ?2 2

log2 k?2k?3



由图(2)可知,当 k ∈ (2, 4] 时,

log2

k

?

2k ?3



0

,所以

ab

?

1 2



0

,即

ab



1 2



故 ab 最小值为 1 .故选 B 2
12.B

解析:直线

AB

的方程为

y

=

?

a b

(

x

?

c

)

.令

x

=

0

,得

C

? ??

0,

ac b

? ??

.由

?? ? ??

y y

= =

?
b a

a b
x

(

x

?

c

)

解得

? B?
?

a2 c

,

ab c

? ?

,.由

?? ?

y

?

?? y

= =

?

a b

?

b a

( x ? c)
解得 x

? A?
?

a2c a2 ? b2

,

?abc a2 ? b2

? ? ,由 ?

OA

=

5a得 3

? ? ?

a2c a2 ? b2

?2 ? ?

+

? ??

?abc a2 ? b2

?2 ??

=

25 9

a2



( ) ( ) 化简得 a2 ? 4b2 4a2 ? b2 = 0 ,解得 b = 1 或 b = 2 .由于 C 位于 A, B 之间,故 b = 1

a2 a

a2

数学(理科)参考答案第 2 页 共 8 页

3

?abc

舍去,所以 b a

= 2 ,即 b = 2a .故 | FA | = | FC |

yA yC

=

a2 ? b2 ac

= b2 b2 ? a2

=

4a2 3a2

=

4
.
3

b

另法:可知 OF = c, OB = a, FB = b ,设 ∠BOF = α , ∠AOB = β ,

则 cos β = 3 = ?cos 2α , 5

解得 sin α = 2 5 , cosα = 5 , tan α = 2 ,于是 b = 2a, c = 5a ,

5

5

利用相似可求得 BC = 1 a , FC = 5 a ,

2

2

利用平面几何知识可以求得 AC = 5 a ,则 | FA | = 4 ,故选 B

6

| FC | 3

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.

1 2

解析:因 f ( x) 是偶函数,故 f (?x)= f (x) ,

( ) ( ) 即 ?ax?log2 2?x +1 +cos(?x) = ax?log2 2x +1 +cos x ,

( ) ( ) ∴2ax = log2

2x +1 ? log2

2?x +1

=

log2

2x +1 2?x +1

=

x

,由

x

的任意性,可得 a

=

1 2

14.3

解析:由题意可知等比数列的公比 q ≠ 1,否则 S3 , S9 , S6 不成等差数列,

( ) ( ) ( ) 于是

2S9

=

S3

+

S6

?

2a1 1 ? q9 1? q

=

a1

1? q3 1? q

+

a1

1? q6 1? q

,解得 2q6 ? q3 ?1 = 0 ,解得

q3

=

?

1 2

,又由

a2

+ a5

=

6 ,得 a8 q6

+

a8 q3

=

6 ,解得 a8

=

6q6 1+ q3

=

6× 1?

1 4 1 2

=3

( 15. ? 3, 2??

解析:Q 函数 f (x) = 2sin (2x + ? ) (? > 0) 的图象关于直线 x = π 对称,
12

π + ? = kπ + π ,? = kπ + π (k ∈ Z ), 当? 取最小值时? = π ,

6

2

3

3

f

(

x)

=

2

sin

? ??

2

x

+

π 3

? ??



Q

x0



? ??

0,

π 2

? ??

,∴

2

x0

+

π 3



? ??

π 3

,

4π 3

? ??



( ?

3

<

2 sin

? ??

2x

+

π 3

? ??



2

,即

a

的取值范围是

?

3, 2?? .

16. 8 11

解析:如图,延长 CA 至 D ,使得 AD = 6 ,连接 DB, PD ,

数学(理科)参考答案第 3 页 共 8 页

3

因为 AD = AB = 6 ,故 ΔADB 为等腰三角形,



∠DAB

=

180°

?

∠CAB

=

120°

,故

∠ADB

=

1 2

(180°

?

120°)

=

30°



所以 ∠ADB + ∠DCB = 90° 即 ∠DBC = 90° ,故 CB ⊥ DB ,

因为 PB = 8, PC = 10, BC = 6 ,所以 PC 2 = PB2 + BC 2 ,所以 CB ⊥ PB ,

因 DB I PB = B , DB ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,所以 CB ⊥ 平面 PBD ,

所以 V三棱锥P ?CBD

= V三棱锥C ?PBD

=

1 3

×

CB

×

SΔPBD



因为 DA = AC = AP = 6 ,故 ΔPDC 为直角三角形,

所以 PD = CD2 ? PC2 = 144 ? 100 = 2 11 ,

又 DB = 3AD = 6 3 ,而 PB = 8 ,

故 DB2 = PD2 + PB2 ,即 ΔPBD 为直角三角形,

所以 SΔPBD

=

1 2

×

8

×

2

11 = 8

11 ,

因 A 为 DC 的中点,所以VP?ABC

=

1 2

VP?CBD

=

1 2

VC

??

PBD

=

1 2

×

1 3

×

8

11 × 6 = 8

11 ,

所以VP?ABC = 8 11 .

三、解答题:本大题共 7 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

第 17~21 题

为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共 60 分.

17.(本小题满分 12 分)

解析:(Ⅰ)由正弦定理得 sin Asin(π ? 2C) = sin C sin(π ? A) = sin C sin A , (1 分)

因为 sin A ≠ 0 ,所以 sin(π ? 2C) = sin C ,

(2 分)

即 sin 2C = 2sin C cosC = sin C .

(3 分)

因为 sin C ≠ 0 ,所以 cos C = 1 , 2
因为 0 < C < π ,所以 C = π 3

(4 分) (5 分)

(Ⅱ)由

SΔABC

=

1 2

absin C

=

3 ,可得 ab = 4 .

(6 分)

因为 2a + b = 6 ,所以 2a + 4 = 6 ,解得 a =1 或 2 a
当 a =1 时, b = 4 ,由余弦定理得 c2 = a2 + b2 ? 2ab cos C = 13, c = 13 ,

(7 分)

所以周长为 5 + 13 .

(9 分)

当 a = 2 时,b = 2 ,由余弦定理得 c2=a2 +b2?2ab cos C=4, c=2 ,所以周长为 6 .(11 分)

综上,△ABC 的周长为 6 或 5 + 13 .

(12 分)

18.(本小题满分 12 分). 解析:(Ⅰ)证明: ∵ 四边形 BB1C1C 是菱形, ∴ B1C ⊥ BC1 ,
Q AB ⊥ B1C, AB I BC1 = B , ∴ B1C ⊥ 平面ABC1 , ∴ B1C ⊥ AO ,
数学(理科)参考答案第 4 页 共 8 页

(1 分) (2 分) (3 分)

3

又Q AB = AC1 , O 是 BC1 的中点, ∴ AO ⊥ BC1 ,

(4 分)

又Q B1C I BC1 = O , ∴ AO ⊥ 平面 BB1C1C

(5 分)

(Ⅱ) ∵ AB / / A1B1 ,

∴ 直线 A1B1 与平面 BB1C1C 所成的角等于直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角.

∵ AO ⊥ 平面 BB1C1C , ∴ 直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角即为 ∠ABO ,

即 ∠ABO = 450 。

不妨设菱形 BB1C1C 的边长为2,则在等边三角形 BB1C 中 BO = 3,CO = B1O = 1 ,

在 RtΔABO 中, AO = BO = 3 ,

(7分)

以 O 为原点,分别以 OB,OB1,OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,
( ) ( ) 则 B1 (0,1, 0),C (0, ?1, 0), A1 ? 3,1, 3 ,C1 ? 3, 0, 0 ,
而则则设uAu1u平平Bc?????uro1nunuu面面r1sur=1??u(AnuBuABur11u1u1B,BuBCu3nuu1r11urC1,r2C=01=1C,=?的?3的nnuu一xrr3311一?)?x个,nnuu?个uuuBrr22u法31yuC法z=u向r=1=向=01量05(量,?为=为可n3u5ur1得nu5, u?=r2,1nu=(,ur1x0(,=)0y,,(,01z,,)1?),,3,1) ,

(8分)
(9分) (10分) (11分)

∴二面角 A1? B1C1 ? B 的余弦值的大小为 ?

5. 5

(12分)

19.(本小题满分 12 分)

解析:(Ⅰ)设椭圆 C1 的半焦距为 c

,依题意,可得 a

=

p 2

,则 C2

:

y2

= 4ax ,(1

分)

代入 x = c ,得 y2 = 4ac ,即 y = ±2 ac ,所以 4 ac = 4 2 ,

(2 分)

则有

???????????? a

2

ac = 2
c=1 a2 = b2 +

c2

?

a

=

2,

b

=

3

(4 分)

所以椭圆 C1 的方程为

x2 4

+

y2 3

=1

,抛物线 C2

的方程为

y2

=

8x

.

(Ⅱ)依题意,当直线 l 的斜率不为 0 时,设其方程为 x = t y ? 4 ,

联立 ???????3x2x

=ty?4 + 4 y2 =12

,得

(3t

2

+

4)

y2

?

24ty

+

36

=

0



设 M (x1, y1), N (x2, y2 ),则 E (x1,?y1), 由 Δ > 0 ,得 t < ?2 或 t > 2 ,

(5 分)
(6 分) (7 分)



y1

+

y2

=

24t 3t2 +

4

,

y1

y2

=

3t

36 2+

4



(8 分)

根据椭圆的对称性可知,若直线 EN 过定点,此定点必在 x 轴上,设此定点为 Q(m, 0)

数学(理科)参考答案第 5 页 共 8 页

3

因斜率

kNQ

=

kEQ

,得

y2 x2 ? m

=

?y1 x1 ? m

,即

(x1 ? m)y2

+ (x2

?

m) y1

=

0



即 (ty1 ? 4 ? m)y2 + (ty2 ? 4 ? m)y1 = 0 ,即 2ty1y2 ? (m + 4)(y1 + y2) = 0 ,



2t

?

3t

36 2+

4

?

(m

+

4)

?

3t

24t 2+

4

=

0

,得

(3

?

m

?

4)t

=

(?m

?1)

t

=

0



由 t 的任意性可知 m = ?1.

当直线 l 的斜率为 0 时,直线 EN 的方程即为 y = 0 ,也经过点Q(?1, 0) ,

所以当 t < ?2 或 t > 2 时, 直线 EN 恒过一定点Q(?1, 0) .

(11 分) (12 分)

20.(本小题满分 12 分)

解析:(I) 因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为 1 , 4

(1 分)

用 X 表示“抽取的 5 辆汽车中蓝颜色汽车的个数”,则 X 服从二项分布,即 X ~ B(5,1 ), 4

所以抽取的

5

辆汽车中有

2

辆是蓝颜色汽车的概率

P=C52

? ??

3 4

?3 ??

? ??

1 4

?2 ??



135 512

.

(4 分)

(2) ξ 的可能取值为:0,1,2,…,n .

(5 分)

P (ξ

=

0)

=

1 4



P (ξ

= 1)

=

3 4

×

1 4

=

3 16



P (ξ

=

2)

=

? ??

3 4

?2 ??

×

1 4

,……,

P (ξ

=

n

?1)

=

? ??

3 4

?n?1 ??

?

1 4



P (ξ

=

n)

=

? ??

3 4

?n ??

.

(7 分)

所以 ξ 的分布列为:

(8 分)

ξ0

1

2

……

n ?1

n

P1 4

3? 1 44

? 3 ?2 1 ?? 4 ?? 4

……

? ??

3 4

?n?1 ??

?

1 4

? 3 ?n ?? 4 ??

ξ 的数学期望为:

( ) ( ) ( ) ( ) Eξ

=1×

34?

1 4

+2×

3 4

2?1 +3× 4

3 4

3
?

1 4

+L+

(

n?1)×

3 4

n?1
?

1

+



4

3 4

n


(1) (9 分)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
4



=1×

3 4

2

?

1 4

+



3 4

3
?

1 4

+L+(

n

?

2



3 4

n?1
?

1 4

+(

n?1)×

3 4

n
?

1

+



4

3 4

n+1
. (2)(10 分)

(1)-(2)得:

1 4



=

3 4

?

1 4

+

? ??

3 4

?2 ??

?

1 4

+

? ??

3 4

?3 ??

?

1 4

+

L

+

? ??

3 4

?n?1 ??

?

1 4

+

? ?n ??

×

? ??

3 4

?n ??

?(n

?1)

×

? ??

3 4

?n ??

?

1 4

?

n

×

? ??

3 4

?n+1 ?

??

? ??

1 4



=

3 4

?

1 4

+

? ??

3 4

?2 ??

?

1 4

+

? ??

3 4

?3 ??

?

1 4

+L+

? ??

3 4

?n?1 ??

?

1 4

+

? ??

3 4

?n ??

?

1 4



数学(理科)参考答案第 6 页 共 8 页

3



=

3 4

+

? ??

3 ?2 4 ??

+

? ??

3 ?3 4 ??

+L

+

? ??

3 ?n?1 4 ??

+

? ??

3 ?n 4 ??

=

3 4

? ?1 ??

?

? ??

3 4

?n ??

? ? ??

1? 3

4

所以



=

3

?



? ??

3 4

?n ??

.

=

3

? ?1 ??

?

? ??

3 4

?n ??

? ? ??

.

(12 分)

21.(本小题满分 12 分)
解析:(1)由 f ( x) = aex ? e?x ? (a +1) x 得 f / ( x) = aex + e?x ? (a +1) ,

( )( ) 即 f / ( x) = e?x ex ?1 aex ?1 ,

(1 分)

由题意,若 f ( x) 存在极大值和极小值,则 f / ( x) = 0 必有两个不相等的实数根,

由 ex ?1 = 0 得 x = 0 ,所以 aex ? 1 = 0 必有一个非零实数根,

∴ a ≠ 0, ex = 1 ,∴ 1 > 0 且 1 ≠ 1 ,∴ 0 < a < 1 或 a > 1 .

aa

a

综上,实数 a 的取值范围为 (0,1) U (1, +∞) .

(4 分)

(2)当 0 < a < 1时,由(1)可知 f ( x) 的极大值点为 x1 = 0 ,极小值点为 x2 = ? ln a ,

此时 f ( x1 ) = a ?1, f ( x2 ) = 1 ? a + (a + 1) ln a ,
依题意得 a ?1 + k (1 ? a + (a + 1) ln a) > 0 对任意 0 < a < 1恒成立,

由于此时 f ( x2 ) < f ( x1 ) < 0 ,所以 k < 0 ;

所以

k

(a

+ 1) ln

a

>

(a

? 1) ( k

? 1)

,即

ln

a

<

???1 ?

1 k

? ??

a a

?1 +1



设 g(x)

=

ln x ? ???1 ?

1? k ??

x ?1 , x ∈ (0,1) ,
x +1



( ) ( ) g/

(

x

)

=

1 x

?

1?

1 k

(

x

2
+1)2

=

(

x

+1)2 x(

? x

2x 1?
+1)2

1 k

=

x2 x

+

2 k

x

+1

( x+1)2



(5 分) (6 分)



x2

+

2 k

x

+1

=

0(*),判别式 Δ

=

4 k2

?

4



①当 k ≤ ?1时, Δ ≤ 0 ,所以 g / ( x) ≥ 0, g ( x) 在 (0,1) 单调递增,

(8 分)

所以

g

(x)

<

g

(1)

=

0

,即 ln

a

<

???1 ?

1 k

? ??

a a

?1 +1

,符合题意;

②当 ?1 < k < 0 时, Δ > 0 ,设(*)的两根为 x3, x4 ,且 x3 < x4 ,

则 x3

+

x4

=

?

2 k

>

0, x3 x4

= 1,因此 0 <

x3

<1<

x4 ,

则当 x3 < x < 1时, g / ( x) < 0, g ( x) 在 ( x3,1) 单调递减,

(9 分)

数学(理科)参考答案第 7 页 共 8 页

3

所以当

x3

<

a

< 1 时,

g (a)

>

g

(1)

=

0

,即 ln

a

>

???1 ?

1 k

? ??

a a

?1 +1



所以 f ( x1 ) + kf ( x2 ) < 0 ,矛盾,不合题意;

综上,k 的取值范围是 k ≤ ?1.

(12 分)

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做

的第一题计分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解析:(Ⅰ)将 l1 , l2 的参数方程转化为普通方程.

( ) l1 : y = k x + 3 ,

(1 分)

( ) l2

:

y

=

1 3k

3?x ,

两式相乘消 k 可得 x2 + y2 = 1 , 3

由题意可知

y



0

,所以 C1

的普通方程为

x2 3

+

y2

= 1( y



0) .

(Ⅱ)直线 C2 的直角坐标方程为 x + y ? 6 = 0 ,

由(Ⅰ)知曲线 C1 与直线 C2 无公共点.

由于 C1

的参数方程为

?? x ? ?? y

= =

3 cosα sin α



为参数,α



kπ , k

∈Z

),

( ) 所以曲线 C1 上的点 Q 3 cosα ,sinα 到直线 x + y ? 6 = 0 的距离为

(2 分) (4 分) (5 分) (6 分)
(7 分)

d=

3 cosα

+ sinα

?6

=

2sin ???α

+

π 3

? ??

?

6



2

2

所以当

sin

???α

+

π 3

? ??

=

?1

时,

d

的最大值为

4

2.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

(9 分) (10 分)

解析:(Ⅰ)当 x ≥ 1 时,得 x ?1 ≥ 3 ? 2x ? x ≥ 4 ,∴ x ≥ 4 ;

3

3

当 0 < x < 1时,得1 ? x ≥ 3 ? 2x ? x ≥ 2 ,∴无解 ;

(1 分) (2 分)

当 x ≤ 0 时,得1 ? x ≥ 3 + 2x ? x ≤ ? 2 ; 3

(3 分)

综上,不等式的解集为

?? x

x



4

或x



?

2

? ?

?3

3?

(5 分)

(Ⅱ)Q g ( x) = x ?1 + x ? 5 ≥ ( x ?1) ? ( x ? 5) = 4,∴ m = 4 ,即 a + b = 4 ,(7 分)

又由均值不等式有:

a2

+b≥

b2 2a,

+a



2b

b

a

(9 分)

两式相加得

? ? ?

a2 b

+

b

? ? ?

+

? ? ?

b2 a

+

a

? ?



?

2a

+

2b ,∴ a2 b

+

b2 a



a+b

=

4

(10 分)

数学(理科)参考答案第 8 页 共 8 页

3


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