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江苏省扬州中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题和答案

密……封……圈……内……不……能……答……题 密……封……圈……内……不……能……答……题 江苏省扬州中学 2018—2019 学年第二学期期中卷 高 一数 学 2019.4 一、选择题(每小题 5 分,合计 50 分) 1.若直线过点( 3 ,-3)和点( 0 ,-4),则该直线的方程为( ★ ) A.y= 3 x-4 B. y= 3 x+4 C . y= 3 x-6 D. y= 3 x+2 3 3 3 2. 不等式 2 x 0 的解集为( ★ ) x 1 A. x x 2或x 1 B. x 2 x 1 C. x x 1或x 2 D. x 1 x 2 3.如果 A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11)在同一直线上,那么 k 的值是( ★ ) A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 4.下列四个命题中错误的是( ★ ) A.若直线 a ,b 互相平行,则直线 a ,b 确定一个平面 B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 5. 在△ABC 中, a =12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( ★ ) A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 6.设 m,n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ① α∥β α∥γ? β∥γ;② α⊥β m∥α? m⊥β;③ m⊥α m∥β? α⊥β;④ ? m∥α.其中正确的命题是( ★ ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ m∥n n? α 7. 在△ABC 中,若 a cos A bcosB ,则△ABC 的形状是( ★ ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点,则异面直线 C1E 与 BC 所成的角的 余弦值是( ★ ) A. 1 3 B. 10 10 C. 10 5 D.2 3 2 9.已知 b> a >0 且 a +b=1,则有 A. b a2 b2 2ab 1 a 2 C. a2 b2 b 1 a 2ab 2 (★) B. b a2 b2 1 2ab a 2 D. a 2+b2>b> a >12>2 a b 10.三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面,且 AB BC , AB BC AA1 2 ,若该 三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ★ ) A. 48 B. 32 C.12 D. 8 二、填空题(每小题 5 分,合计 30 分). 11.不等式 x2 6x 8 0 的解集为___▲____. 12.若圆锥的母线长是 5,高是 4,则该圆锥的体积是__▲____. 13.过点 P(2,1) ,在 x 轴上和 y 轴上的截距分别是 a, b 且满足 a 3b 的直线方程为 ___▲____. 14. 若 钝 角 三 角 形 ABC 三 边 长 分 别 是 a, a 1, a 2(a N) , 则 三 角 形 ABC 的 周 长 为 __▲___. 15.已知直线 l : mx y 3 2m 0 (m R) ,则 l 恒过定点___▲____. 16. 在 ABC 中,若 sin C 2cos Acos B ,则 sin2 A sin2 B 的最小值为_ ▲ _. 三、解答题(10 分+12 分+12 分+12 分+12 分+12 分=70 分) 17.(5 分+5 分)在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, AB BC , D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1B1 ∥平面 ABD ; (2)求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1B1 . 18. (4 分+8 分)在锐角 △ABC 中,已知 sin A 2 2 . 3 (1) 求 cos(B C) 的值; (2) 若 a 2 , S△ABC 2 ,求 b 的值. 19. (6 分+6 分)如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD= DB, 点 C 为圆 O 上一点,且 BC= AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证:PA⊥CD; (2)求二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值. 20.(4 分+8 分)直线 l 过点 P(2,1) 且斜率为 k (k >1) ,将直线 l 绕 P 点按逆时针方向旋 转 45°得直线 m ,若直线 l 和 m 分别与 y 轴交于 Q , R 两点.(1)用 k 表示直线 m 的斜 率;(2)当 k 为何值时, PQR 的面积最小?并求出面积最小时直线 l 的方程. 21.(4 分+8 分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段 AB,AC 和以 BC 为直径的半圆 弧⌒ BC 组成,其中 AC 为 2 百米,AC⊥BC,∠A 为π3 .若在半圆弧⌒ BC ,线段 AC,线段 AB 上 各建一个观赏亭 D,E,F,再修两条栈道 DE,DF,使 DE∥AB,DF∥AC.记∠CBD=θ(π3 ≤ θ<π2 ). (1)试用 θ 表示 BD 的长; (2)试确定点 E 的位置,使两条栈道长度之和最大. B D F CE A (第 21 题图) 22. (6 分+6 分)已知函数 f (x) 2x 1 , 2x 1 (1)若存在 0, 2 ,使得不等式 f (sin2 sin ) f (2sin2 k) 有解,求实数 k 的 取值范围; (2)若函数 g(x) 满足 f (x) g(x) 2 2x 2x ,若对任意 x

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