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专题03 三角函数图像与性质-名师揭秘2020年高考数学(文)一轮总复习之三角函数三角形、平面向量(解析版)

素材来源于网络,林老师编辑整理

专题 03 三角函数图像与性质

一、本专题要特别小心:

1.图象的平移(把系数提到括号的前边后左加右减)

2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况

3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几

4.五点作图法的步骤

5.利用图象求周期

6.已知图象求解析式 二.【学习目标】 1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象. 2.会用“五点法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,理解 A,ω,φ 的物理意义. 3.掌握函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=sin x 图象间的变换关系. 4.会由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象或图象特征求函数的解析式. 三.【方法总结】 1.五点法作图时要注意五点的选取,一般令 ωx+φ 分别取 0,π2,π,32π,2π,算出相应的 x 值,再列表、 描点、作图. 2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换,要注意平移与伸缩的多少与方向,并要注意变换的顺序. 3.给出 y=Asin(ωx+φ)的图象,求它的解析式,由最高点或最低点求 A 值;常由寻找“五点法”中的第一个 零点作为突破口,求 φ 值,由周期求 ω 值.

四.【题型方法规律总结】

(一)ω 与 的求法

例 1.若 0 ,函数 y cos(x ) 的图像向右平移 个单位长度后关于原点对称,则 的最小值为( )

3

3

A. 11 2

B. 5 2

C. 1 2

D. 3 2

【答案】B

【解析】函数 y cos(x ) 的图像向右平移 个单位长度后,

3

3

对应图像的解析式为 g x cos(x ) ,因为 g x 的图像关于原点对称,
33

所以 k , k Z ,

33

2

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故 3k 1 , k Z ,因 0 ,故 的最小值为 5 ,故选 B.

2

2

练习 1。已知函数

f

(

x)



sin( x



)





0, 0



2



,若

x





4



f (x) 图象的一条对称轴,( , 0) 4

是 f (x) 图象的一个对称中心,则( )
A. 4k 1(k N)

B. 4k 3(k N)

C. 2k 1(k N)

D. 2k(k N *)

【答案】C

【解析】因为 x 是 f x 图象的一条对称轴,所以 m (m Z ) ①,

4

4

2

又因为



4

,

0





f

x 图象的一个对称中心,所以

4







n (n Z )

②,②

①得,

2(n m) 1(m, n Z) ,Q m, n Z (n m) Z 所以 可以表示为:

2k 1(k Z ) ,已知 0 ,所以 是从 1 开始的奇数,对照选项,可以选 C.

练习 2.函数 f x=2sinx (>0 , )的部分图象如图所示,则, 的值分别是( )

2

2

A. 2, 3

B. 2, 6

C. 4, 6

【答案】A

【解析】 T 11 5 , T 2 , 2 ,则有

2 12 12 2

w

f x=2sin2x ,代入 x 5 得 12

D. 4, 3

f

5 12

=2sin



2



5 12







2

,则有

sin



5 6







1,

5 2k , (k z) ,

6

2

故答案选 A

2k ,又Q ,

3

2

2

3

练习 3.已知函数 f (x) 3 sinx cosx( 0) ,当| f (m) f (n) | 4 时,| m n | 的最小值为 ,若将
3

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函数 f (x) 的图象向右平移( 0) 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称,则 的最小值为

A. 9
【答案】C

B. 6

C. 2 9

D. 3

【解析】由题可得 f (x) 3 sin x cosx 2sin(x π) , 6

因为当| f (m) f (n) | 4 时,| m n | 的最小值为 ,
3

所以函数 f (x) 的最小正周期T 2 2 , 33

则 2 2 ,解得 3,所以 f x 2sin(3x ) ,

3

6

将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位后,

得到函数 y 2sin[3(x ) ] 2sin[3x ( 3)] 的图象,

6

6

因为函数 y 2sin[3x ( 3)] 的图象关于 y 轴对称, 6

所以 3 k (k Z) ,

6

2

解得 k (k Z) , 39

因为 0 ,所以 的最小值为 2 .故选 C.
39 9

(二)由函数性质求解析式

例 2. 已知函数 f (x) sin(x )( 0, 0 ) 的图象经过两点 A(0, 2 ), B( , 0) , f (x) 在 (0, )

24

4

内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则 f (x) ( )

A.

sin



3x



4



B.

sin



5x



3 4



C.

sin



7

x



4



【答案】D

【解析】根据题意可以画出函数 f (x) 的图像大致如下

D.

sin



9x



3 4



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因为 f (0) sin 2 ,由图可知, 3 2k , (k Z )

2

4

又因为 0 ,所以 3 ,所以 f (x) sin(x 3 ) ,

4

4

因为 f ( ) sin( 3 ) 0 ,由图可知, 3 2k ,解得 1 8k, k Z ,

4

44

44

又因为 2 T ,可得 8,所以当 k 1时, 9 ,



4

所以 f (x) sin(9x 3 ) , 4

故答案选 D.

练习

1.已知函数

f

x



sin x





0, 0





的图像过两点

A 0,

2 2

,

B



4

,

0



,

f

x





0,

4



内有且只有两个极值点,且极大值点小于极小值点,则

f

x





A.

f

x



sin



3x



4



B.

f

x



sin



5

x



3 4



C.

f

x



sin



7x



4



【答案】C

D.

f

x



sin



9x



3 4



【解析】由已知得 sin 2 , 0 ,所以 或 3 .

2

44





4

时,

sin



4





4





0

,所以



1

4k,

k N*

.

若=3 时,

f

x



sin



3x



4







0,

4



有一个极大值点,不符合题意;

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7

时,

f



x



sin



7

x



4







0,

4



内极大值点为

28

,小于极小值点

5 28

,符合题意;





3 4

时,

sin



4





3 4





0 ,所以



3 4k,

k N*

.





5时,

f

x



sin



5x



3 4







0, 4



有一个极小值点,不符合题意;

若=9 时,

f

x



sin



9x



3 4







0,

4



极小值点 12

和极大值点

7 36

,不符合题意.

综上所述:应选 C.

(三) f x Asin(x ) 的图象与性质

例 3. 已知函数 f (x) cos x 3 sin x ,则下列结论中正确的个数是( ).

① f x 的图象关于直线 x 对称;②将 f x 的图象向右平移 个单位,得到函数 g x 2cosx 的图

3

3

象;③





3

,

0





f

x 图象的对称中心;④

f



x





6

, 3



上单调递增.

A.1 【答案】A

B.2

C.3

D.4

【解析】由题意,函数 f (x) cos x

3

sin

x



2



1 2

cos

x



3 2

sin

x





2

cos



x



3





①中,由

f

3





2

cos

2 3

1不为最值,则

f

x 的图象不关于直线 x



3

对称,故①错;

②中,将 f x 的图象向右平移 个单位,得到函数 g x 2cosx 的图象,故②对; 3

③中,由

f



3





2 cos 0



2

,可得





3

,

0



不是

f

x 图象的对称中心,故③错;

④中,由 2k x 2k , k Z ,解得 2k 4 x 2k , k Z ,即增区间为

3

3

3

2k



4 3

, 2k



3



,

k



Z



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由 2k x 2k , k Z ,解得 2k x 2k 2 , k Z ,即减区间为

3

3

3

2k



3

, 2k



2 3



,

k

Z

,可得

f

x在

6

, 3



上单调递减,故④错.

故选:A.

练习 1.已知函数 f (x) sin(x )( 0, ) ,其图象相邻两条对称轴之间距离为 ,将函数

2

2

y f (x) 的向右平移 个单位长度后,得到关于 y 轴对称,则( )
6

A.

f

(x)

的关于点

(

, 0)

对称

6

B. f (x) 的图象关于点 ( , 0) 对称 6

C. f (x) 在 ( π , π ) 单调递增 63

D. f (x) 在 ( 2 , ) 单调递增 36

【答案】C

【解析】∵函数 f (x) sin(x )( 0, ) ,其图象相邻两条对称轴之间距离为 1 2 ,

2

2 2

∴ 2 , f (x) sin(2x ) .

将函数 y f (x) 的向右平移 个单位长度后,可得 y sin(2x ) 的图象,

6

3

根据得到的图象关于 y 轴对称,可得 k , k Z ,∴ , f (x) sin(2x ) .

3

2

6

6

当 x 时, f (x) 1 ,故 f (x) 的图象不关于点 ( , 0) 对称,故 A 错误;

6

2

6

当 x 时, f (x) 1,故 f (x) 的图象关于直线 x 对称,不不关于点 ( , 0) 对称,故 B 错误;

6

6

6

在 ( π , π ) 上, 2x [ , ] , f (x) 单调递增,故 C 正确;

63

6 22

在 ( 2 , ) 上, 2x [ 3 , ] , f (x) 单调递减,故 D 错误,

36

6 22

故选:C.

练习

2.

将函数

f

x



sin



2

x



π 3



的图象向右平移

π 2

个单位长度得到 g x 图像,则下列判断错误的是

()

A.函数 g x 的最小正周期是

B. g x 图像关于直线 x 7π 对称
12

C.函数

g



x



在区间





π 6

,

π 3



上单调递减

D.

g



x

图像关于点



π 3

,

0



对称

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【答案】C

【解析】由题意,将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度, 2

可得 g(x) sin[2(x ) ] sin(2x 2 ) ,

23

3

对于 A ,函数的最小正周期为 2 = ,所以该选项是正确的; 2

对于 B ,令 x 7 ,则 g(7 ) sin(2 7 2 ) sin 1为最大值,

12

12

12 3

2

函数 g(x) 图象关于直线 x 7 ,对称是正确的; 12

对于 C 中, x [ , ] ,则 2x 2 [ , 0] ,

63

3

则函数 g(x) 在区间[ , ] 上先减后增,不正确; 63

对于 D 中,令 x ,则 g( ) sin(2 2 ) sin 0 0 ,

3

3

33

g(x) 图象关于点 ( , 0) 对称是正确的, 3

故选: C .

练习

3.把函数

f

(x)



4

sin



2x



3



的图象向左平移

6

个单位长度后得到函数

g(x)

的图象,若

g(x)





12

,



上的值域为

[2,

4]

,则

的值是(



A.0 【答案】D

B. 12

C. 6

D. 4

【解析】把函数

f

(x)

的图象向左平移

6

个单位长度后得到

g(x)



4 sin



2

x



2 3



的图象,又

x





12

,



,则

2

x



2 3





2

,

2



2 3



,当

2x



2 3

2

时,g(x)的最大值为 4,



g(x)的最小值为-2,则分析得

sin



2



2 3







1 2



∴ 2 2 7 ,所以 .

36

4

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练习 4.已知函数

f

x

Asinx



A



0,

0,



2



的部分图像如图所示,现将

f

x 图像上所

有点向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图像,则 g x ( )
24

A.在





2

,

12



上是增函数

B.在





2

,

13



上是增函数

C.在



2 3

,

7 6



上是增函数

【答案】D

D.在





3

,

13



上是增函数

【解析】由图象得,

A2,T



4



5 8



3 8





,则



2 T

2

又 2 5 3 2k , k Z

8

2

2k , k Z 4

Q 2

4



f

x



2sin



2x



4





g



x



2sin

2



x



24





4





2sin



2x



3





x







2

, 12



时,

2x



3







2 3

,

2



,此时

g

x

不单调,可知

A

错误;



x







2

,

13



时, 2x



3







2 3

, 19 39



,此时

g

x 不单调,可知

B

错误;



x





2 3

,

7 6



时,

2x



3





5 3

,

8 3



,此时

g x 不单调,可知 C

错误;

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x







3

, 13



时,

2x



3







3

, 19 39



,此时

g



x

单调递增,可知

D

正确.

本题正确选项: D

(四) f x Acos(x ) 的图象与性质

例 4.

已知函数

f (x) 2cosx 0,



2



图象的相邻两条对称轴之间的距离为

2

,将函数

f (x) 的图象向左平移 个单位长度后,得到函数 g(x) 的图象.若函数 g(x) 为奇函数,则函数 f (x) 在区
6





0,

2



上的值域是(



A. 2, 3

B. 2, 2

C. 3, 2

D. 3, 3

【答案】A

【解析】由相邻两条对称轴之间的距离为 ,可知 f x 最小正周期为
2
即: 2 2 f x 2cos2x


向左平移

6

个单位长度得:

g

x



2 cos

2



x



6









2 cos



2x



3





Q g x 为奇函数 k , k Z

3

2

即: k , k Z 6

又 2

π 6



f

x



2

cos



2

x



6



当x

西骣 ???桫0,

p 2

÷÷÷时,

2x



6





6

,

7 6



cos



2x



6





1,

3 2

本题正确选项: A

f x 2, 3

练习

1.已知函数

f

x



cos x



π 3







0 的最小正周期为

,若函数

y



f

x 在0, a 上单调递减,

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则 a 的最大值是( )

A. 6
【答案】B

B. 3

C. 2 3

D. 5 6

【解析】 2 2 ,

f

x



cos



2x



3



,令

2k



2x

3







2k , k

Z

,解得



π 6







x



π 3



kπ, k

Z

,则函数

y



f

x



0,

3



上单调递减,故 a

的最大值是 3

.故选

B.

练习

2.已知函数

f

x

cosx



0 的最小正周期为

,且对

xR,

f

x

f

3



恒成立,

若函数 y f x 在0, a 上单调递减,则 a 的最大值是( )

A. 6

B. 3

C. 2 3

D. 5 6

【答案】B

【解析】因为函数 f x cosx 的最小正周期为 ,所以 2 2 ,


又对任意的

x

,都使得

f

x

f

3





所以函数 f x 在 x 上取得最小值,则 2 2k , k Z ,

3

3

即 2k ,k Z , 3

所以

f



x



cos



2x



3





令 2k 2x 2k , k Z ,解得 k x k , k Z ,

3

6

3

则函数

y



f

x



0,

3



上单调递减,故 a

的最大值是 3

.

练习 3.已知函数 f (x) 2cos(x ) ( 0, 0 π) 的图象的一条对称轴为 x π , 满足条件

2

3

3 tan 2sin( π ) ,则 取得最小值时函数 f (x) 的最小正周期为( ) 2

A. π 2

B. π 5

C. π

D. 4π 5

【答案】D

【解析】Q 3tan 2sin( π ) ,3tan 2cos ,3sin 2 cos2 , 2

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即 3sin 2 2sin2 ,即 2sin2 3sin 2 0 ,

则 sin 1 ,Q 0 π ,∴ π ,则 f (x) 2cos(x π) ,

2

2

6

6

又直线 x π 是函数 f (x) 图象的一条对称轴,∴ π π kπ(k Z) ,

3

36

则 3k 1 (k Z) , 0,∴ 的最小值为 5 ,

2

2

此时函数 f (x) 的最小正周期为 4π . 5

故选 D.

(五) f x tan(x ) 的性质

例 5.已知函数 f x tan 2x ,则下列说法不正确的是( )

A. y f (x) 的最小正周期是 π C. y f (x) 是奇函数
【答案】A

B. y f (x) 在 ( π , π) 上单调递增 44
D. y f (x) 的对称中心是 (kπ ,0)(k Z)
4

【解析】 f x tan 2x ,最小正周期为T ;
2

单调增区间为 k

2



2x



k

2

,即



x



k 2

4



x



k 2



4



,故 k



0 时,

f



x







4

, 4





单调递增;

f x 定义域关于原点对称, f x tan2x tan 2x f x ,故 f x 为奇函数;

f

x 对称中心横坐标为 2x

k 2

,即 x



k 4

,所以对称中心为



k 4

,

0



k Z

练习

1.

已知函数

f

x



2

sin



x



2

gcos



2



x



的图象与直线

ax



y

0a 0 恰有三个公共点,这

三个点的横坐标从小到大依次为

x1,

x2

,

x3

,则

tan x1
x1

x2 x2

x3 x3









A.-2

B.2

C.-1

D.1

【答案】D

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【解析】

由题意得, f x sin 2x ,则 f x 2cos 2x ,易知直线 ax y 0a 0过定点 0, 0 ,如图,由

对称性可知,直线与三角函数图象切于另外两个点,

∴ x1 x3 0, x2 0 ,则切线方程过点 x1, sin 2x1 ,0,0, x3, sin 2x3 ,



2 cos

2 x3



sin 2x3 x3 0

0



即 sin 2x3 2x3 cos 2x3 ,则 tan 2x3 2x3 ,

∴ tan x1 x2 x3 tan x1 x3 tan 2x3 1.

x1 x2 x3

x1 x3

2x3

故选 D.

(六)三角函数与其它函数的综合

例 6.

函数

f

x



3sin

2

x



log 1
2

x

的零点的个数是

(

)

A.2

B.3

C.4

【答案】D

D.5

【解析】由

f

(x)



0

得 3sin

2

x= log1
2

x

,

在同一坐标系下画出函数

y



3sin

2

x和y



log 1
2

x

的图像,如图所示,



从图像上看,两个函数有 5 个交点,所以原函数有 5 个零点. 故选:D
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练习

1.已知函数

f

(x)

的定义域为

R



f



1 2







1 2

,对任意的

x R 满足

f

( x)



4x

.当

[0, 2 ] 时,不

等式 f (sin ) cos 2 0 的解集为( )

A.



7 6

, 11 6



B.



4 3

,

5 3



C.



3

,

2 3



【答案】D

【解析】由题意构造函数 g(x) f (x) 2x2 1,

D.



6

,

5 6



则 g(x) f (x) 4x 0 ,∴函数 g(x) 在 R 上为增函数.



f

1 2



1 ,∴ g(1)

2

2

f

(1) 2(1)2

2

2

1 0 .

又 f (sin) cos 2 0 ,∴ g(sin ) f (sin ) 2sin2 1 f (sin ) cos 2 0 g(1) , 2

∴ sin 1 ,∵ 0 2 ,∴ 5 ,

2

6

6

∴不等式

f

(sin )

cos 2



0

的解集为



6

,

5 6





故选 D.

练习

2.已知函数

f

x



2x2

x2 sin x2 2

x



4

,则函数

g x



2 sin 2 x 与

f

x 的图象在区间 1,1 上的

交点个数为( )
A.1
【答案】C

B. 3

C. 5

D. 7

【解析】

f

x



2x2

x2 sin x2 2

x

4



2

x2 sin x x2 2

,因为

y



x2 sin x x2 2

是奇函数,图像关于原点对称,所以

f x 的图像关于点 0, 2 对称,同理可得 g x 的图像也关于点 0, 2 对称,因为当 x 1,1 时,

f

'x



x4

cos

x



2x2 cos x x2 2 2

4x sin

x



0 ,所以

f

x 在 1,1 上单调递增,且

f 1 2 sin1, 2 f 1 3, f 0 2 ,作出 f x 和 g x 在 1,1 的图像可以看出交点个数为 5.
3

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(七)三角函数与数列综合

例 7. .己知函数 f (x) 3 sin x cosx(>0) 的零点构成一个公差为 的等差数列,把函数 f (x) 的 2

图像沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数 g(x) 的图像,关于函数 g(x) ,下列说法正确的是( )
6

A.在[ , ] 上是增函数 42

B.其图像关于 x 对称 4

C.函数 g(x) 是奇函数

D.在区间[ , 2 ] 上的值域为[-2,1] 63

【答案】D

【解析】 f (x) 3 sin x cosx 可变形为 f (x) 2sin(x ) , 6

因为 y f (x) 的零点构成一个公差为 的等差数列,所以 y f (x) 的周期为 , 2

故 2 ,解得 2 ,所以 f (x) 2sin(2x ) ,



6

函数 f (x) 的图像沿 x 轴向左平移 个单位后得到, 6

g(x) f(x ) 2 sin(2(x ) ) 2 sin(2x ) 2 cos(2x),

6

66

2

选项 A: 2k 2x 2k,k z ,解得: k x k ,k z , 2

即函数 y g(x) 的增区间为[ k , k ], k z 显然[ , ] [ k , k ] ,

2

42

2

故选项 A 错误;

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选项 B:令 2x k , k z ,解得: x k ,k z , 2

即函数 y g(x) 的对称轴为 x k ,k z ,不论 k 取何值,对称轴都取不到 x ,

2

4

所以选项 B 错误;

选项 C: y g(x) 的定义域为 R,因为 g(0) 2 cos 0 2 0 ,所以函数 y g(x) 不是奇函数,

故选项 C 错误;

选项 D:当 x [ , 2 ] 时,故 2x [ ,4 ],根据余弦函数图像可得,g(x) 2 cos(2x) [2,1],

63

33

故选项 D 正确. 故本题应选 D.

练习 1.函数 f (x) sinx ( 0) 的图象与其对称轴在 y 轴右侧的交点从左到右依次记为 A1, A2 ,

A3 ,…… An …在点列 An 中存在三个不同的点 Ak , At , Ap ,使得△Ak At Ap 是等腰直角三角形将满足上

述条件的 值从小到大组成的数列记为n ,则 2019 ( )

A. 4033 2

B. 4035 2

C. 4037 2

D. 4039 2

【答案】C

【解析】由 x k ,得 x (2k 1) , k Z ,

2

2

由题意得 x , 3 , 5 ,, (2n 1)

2 2 2

2

,即

A1



2

,1

,

A2



3 2

,

1

,

A3



5 2

,1

,

A4



7 2

,

1L



由 VA1 A2 A3 是等腰直角三角形,得 kA1A2 kA2 A3 1 ,



2



2



1,得 1



2



同理 VA1 A4 A7 是等腰直角三角形得 kA1A4

k A4 A7

1 ,得 2



3 2

.

同理 VA1A6 A11 是等腰直角三角形得 kA1A6

k A6 A11

1,得 2



5 2

……

n



(2n

1) 2

则 2019



(2 2019 1) 2



4037 2

,故选

C.

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练习

2.已知函数

f

(x)



4

sin



2

x



6



,

x



0,

46 3



,若函数 F(x)



f

(x) 3 的所有零点依次记为

x1, x2 , x3,L , xn ,且 x1 x2 x3 L xn ,则 x1 2x2 2x3 L 2xn1 xn =( )

A. 1276 3
【答案】C

B. 445

C. 455

D. 1457 3

【解析】函数

f

(x)



4

sin



2x

6



,令

2

x



6



2

k

得x



1 k 2

3

,kZ

,即

f

(x) 的对称轴方程

为 x 1 k , k Z . 23
∵ f (x) 的最小正周期为T , 0剟x

46 .当 k 30 时,可得 x 46 ,

3

3



f

(x)



0,

46 3



上有

31

条对称轴,

根据正弦函数的性质可知:函数

f

(x)



4 sin



2x



6





y



3 的交点有

31

个,

且交点

x1

,

x2

关于

3

对称,

x2

,

x3

关于

5 6

对称,……,

即 x1

x2



2 6

2, x2



x3



5 6

2,L

, x30



x31



2





29 2





3





将以上各式相加得: x1 2x2 3x3 L 2x30 x31



2



2 6

5 6

L

89 6





(2



5



8



L

89) 3

455

则 x1 2x2 2x3 L 2xn1 xn 455
故选 C.

(八)三角方程

例 8.关于 x 的方程

3

sin

x



cos

x



m



0



x





2

,

2



上有解,则实数 m 的取值范围为(



A. (2, 3)

B.[2, 3]

C. ( 3, 3)

D.[ 3, 3]

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【答案】B

【解析】由关于 x 的方程

3

sin

x



cos

x



m



0

,在

x





2

,

2



上有解,则函数

y



2

sin



x



6



的图

像与直线

y=m



x





2

,

2



有交点,令

t=

x



6

,则

t





2 3



,

3



如图,则 2 m 3 ,
故选 B.

练习 1.记函数 f (x) ex x a ,若曲线 y cos2 x 2 cos x 1上存在点 x0, y0 使得 f y0 y0 ,则 a 的

取值范围是( )

A. ,e2 4

B. 2 2ln 2,e2 4

C. 2 2ln 2, e2 4

D. ,e2 4

【答案】C

【解析】 y cos2 x 2 cos x 1 (cos x 1)2 2Q 1 cos x 12 y 2 ,

所以 2 y0 2 ,若 f y0 y0 有解,等价于 f (x) x 在 2 x 2 上有解,即
ex x a x ,也就有 a ex 2x 在 2 x 2 上有解,设 h(x) e x 2x ,则

h(x) e x 2 ,由 h(x) 0 ,得 ln 2 x? 2, h(x) 为增函数,由 h(x) 0 ,得 2? x ln 2, h(x) 为减函数,即当 x ln 2 时,函数取得极小值同时也取得最小值 h(ln 2) 2 2ln 2 , h(2) e2 4, h(2) e2 4 则 h(2) 为最大,即

2 2 ln 2剟h(x) e2 4 ,要使 a ex 2x 在 2 x 2 上有解,只需

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2 2ln2剟a e2 4 ,所以 a 的取值范围是 2 2ln 2, e2 4 ,故本题选 C.

(九)三角函数性质综合应用



9.已知函数

y



2 sin



2x



5 6



0 x 3 4



的图象与一条平行于

x

轴的直线有两个交点,其横坐标

分别为 x1 , x2 ,则 x1 + x2 ( )

A. 4 3
【答案】B

B. 2 3

C. 3

D. 6

【解析】函数

y



2sin



2x



5 6





0



x



3 4



的图象,

对称轴方程: 2x 5 kπ,(kòZ),∴ x k ,(kòZ),

62

62

又0



x



3 4

,∴对称轴方程:

x



3

,由图可得

x1 与

x2 关于

x



3

对称,

∴x1+x2=2 2 , 33

故选 B.

练习 1. 已知函数 f (x) sin x cos x, g(x) 2sin x ,动直线 x t 与 f x、g x 的图像分别交于点

P、Q, PQ 的取值范围是( )

A. [0,1]
【答案】D

B. [0,2]

C.[1, 2]

D.[0, 2 ]

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【解析】因为 P、Q 为 x t 与 f x、g x 图像的交点

所以 PQ f (x) g(x) sin x cos x 2sin x cos x sin x

根据辅助角公式,化简可得 cos x sin x

2

cos



x



4



因为 t R 所以 PQ 的取值范围是 0, 2 所以选 D

练习

2.如图是函数

f

(x)



A sin( x



)



A



0,



0,

|



|

2



的部分图象,将函数

f(x)的图象向右

平移 个单位长度得到 g(x)的图象,给出下列四个命题: 6

①函数

f(x)的表达式为

f

(x)



2

sin



2x



3





②g(x)的一条对称轴的方程可以为 x ; 4

③对于实数

m,恒有

f

3



m





f

3



m





④f(x)+g(x)的最大值为 2.其中正确的个数有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【答案】B

【解析】由图象知,A=2, T 5 7 ,即 T=π,则 2 =π,得 ω=2,

4 6 12 4



由五点对应法得 2 5 2 , ,则 f(x)=2sin(2x+ ),故①正确,

6

3

3

当 x= 时,f( )=2sinπ=0,则函数关于 x= 不对称,故③错误,

3

3

3

将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度得到 g(x)的图象, 6

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即 g(x)=2sin[2(x﹣ )+ ]=2sin2x, 63

当 x 时,g(﹣ )=2sin( )=﹣2 为最小值,

4

4

2

则 x 是函数 g(x)的一条对称轴,故②正确, 4

(f x)+g(x)=2sin(2x+ )+2sin2x=2sinxcos +2cos2xsin +2sin2x=3sin2x+

3

3

3

3 cos2x=2

3 sin(2x+ ),
6

则 f(x)+g(x)的最大值为 2 3 ,故④错误,

故正确的是①②,

故选:B.

练习

3.若

f

(x)



cos x sin x 在



m 2

, 2m

上是减函数,则 m

的最大值是(



A. 8
【答案】D

B. 4

C. 2

D. 3 8

【解析】Q f (x) cos x sin x ,由辅助角公式可得: f (x) 2 cos(x ) 4

令 2k x 2k (k Z ) ,解得: 2k x 2k 3 (k Z ) ,

4

4

4

则函数

f

(x)

的单调减区间为 x


2k



4



x



2k



3 4

, (k



Z

)





又Q

f

(x)





m 2

,

2m

上是减函数,则

m



0



当k



0 时,函数

f

(x)

的单调减区间为 x


4



x



3 4









m 2





2m



4
3 4

,解得: 0 m 3 , 8

故答案选 D。

练习

4.已知函数

f

(x)



sin



x



3



,若

x1x2

> 0 ,且

f

x1

f

x2

0,则

x1



x2

的最小值为(



A. 6

B. 3

C. 2

D. 2 3

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【答案】D

【解析】由题得 x1 +x2 等于函数的零点的 2 倍,

所以 x1 x2 的最小值等于函数 f(x)的绝对值最小的零点的 2 倍,



f

(x)



sin



x



3



=0,所以

x



3



k , k

Z

,所以

x=

3

+k , k

Z,

所以绝对值最小的零点为 3

,故

x1 x2

的最小值为 2 3

.故选:D

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