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【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数图像与性质》优质公开课课件 (2)_图文

第一章 二次函数

二次函数y=ax? y = a(x-h)2 y = a(x-h)2 +k

时,图象将发生怎样的变化?

1、顶点坐标? (0,0)
2、对称轴? y轴(直线x=0)
3、平移问题?

(h,0)

(h,k )

(直线x= h)

(直线x=h )

一般地,函数y=ax?的图象先向左(当h<0)或向右(当h>0)平 移|h|个单位可得y = a(x-h)2的图象;若再向上(当k>0 )或向 下 (当k<0 )平移|k|个单位可得到y = a(x-h)2 +k的图象。

做一做: 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴

(1) y 2( x 1 )2 1 2
(2) y 3( x 2)2

( 1 ,1) 2

直线 x 1 2

(2, 0) 直线 x 2

(3) y 3x2 4

(0, 4) 直线 x 0

(4) y 4 (1 x)2

(1, 4)

直线 x 1

(5) y 2x 2 4x 5

(6) y 3x 2 6x 4

二次函数

y = a(x-h)2

y = a(x-h)2

y=ax?

+k

对于二次函数y=ax? +bx+c ( a≠0 )

的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的?

通过变形能否将
y=ax? +bx+c转化为 y = a(x-h)2 +k的形式


一般地,对于二次函数 y ax2 bx c

配方:y ax2 bx c



a



x2



b a

x





b 2a

2





b 2a

2





c



a



x

b 2a

2

ag4ba22

c



a



x



b 2a

2




4ac 4a

b2

顶点坐标是





b 2a

,

4ac 4a

b2



因此,当x b (当a>0):2a

时,函数达到最大值(当a<0)或最

小值

4ac b2

4a

如何画二次函数 y 2x2 6x 1 的图象

我们会画y = a(x-h)2 +k的

图象了。因此只需把

配方成

2x2 6x 1

的形式就可以- 2了x。- h2 k

配方:y 2x2 6x 1
=-2(x2 -3x)-1

=-2



x2



3x



(

3 2

)2



(

3) 2

2



1

2(x 3)2 2 9 1

2

4

2(x 3)2 7 22

故对称轴是直线

x 3 ,顶点坐标是 2



3 2

,

7 2



对称轴是直线

x3 2

,顶点坐标是



3 2

,

7 2



3
列表:自变量x从顶点的横坐标 2 开始取值

x

3 2

2

5 2

3

7 2

y



2



x



3 2

2




7 2

7 2

3

3 2

-1

9 2

描点和连线:画出图象在对称轴右边的部分.
利用对称性,画出图象在对称轴左边的部分,这样就得到
函数 y 2x2 6x 1 的图象,如图

描点和连线:画出图象 在对称轴右边的部分.

利用对称性,画出图象在

对称轴
y 2x2 6x 1
左边的部分,这样就得到

函数

的图

象,如图

4
3 2
1
-1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5

从图看出,当x等于多少时,函数 y 2x2 6x 1的值最 大?这个最大值是多少?

4

当x等于项点 3
2
的横坐标 7 时,函
2
数值 最大。这个最
大值等于顶点的纵坐


3
2
1
1234 -1 -1
-2 -3

-4

-5

从图看出,二次函数 y 1 x 12 3 ,当x等于多少时,函数值最小?
2 这个最小值等于多少?

一般地,有下述结论:

4

二次函数y ax2 bx c当

x等于顶点的横坐标时,达到

最大值(当a<0)或最小值

-4 -2

2

2

4

(当a>0),这个最大(小)

-2

值等于顶点的纵坐标.

-4

求函数 y 1 x2 2x 1 的最大值

2

解 配 y 1 x2 2x 1

方:

2
1 x2 4x 22 22 1

2

1 x 22 1 4 1

2

2

1 x 22 1
2

顶点坐标是(2,1),于是当x=2时,y达
到最大值1.

一般地,对于二次函数 y ax2 bx c

配方: y ax2 bx c



a



x2



b a

x





b 2a

2





b 2a

2





c



a



x

b 2a

2

ag4ba22

c



a



x



b 2a

2




4ac 4a

b2

顶点坐标是





b 2a

,

4ac 4a

b2



因此,当

x b 2a

时,函数达到最大值(当a<0)或最小值

(当a>0): 4ac b2 4a

1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴 并画出它们的图像.
1y 3x 2 - 6x 1 2y - 1 x2 x 1
4
开口方向:
顶点坐标:
对称轴:

2.求下列二次函数的图象的顶点坐标:
1 y x2 3x 2

配方



y



x2



3x







3 2

2








3 2

2




2





x



3 2

2



1 4

顶点坐标为



3 2

,



1 4



2y - 1 x2 - 2x 1
3
- 1 x2 6x 9 3 1 3
- 1 x 32 4
3
顶点坐标为(-3,4)

3.求下列各个二次函数的最大值或最小值.

1 y x2 3x 2

解:配方得

y



x2



3x



2





x



3 2

2



1 4

a 1 0 有最小值为 1 4

2 y 2x2 8x 3

配方得 y 2x2 8x 3 2 x 22 5

a 2 0 有最大值为5

4.已知二次函数y= 1 x?+4x–3,
2
请回答下列问题:

(1)、函数y 1 x2 4x 3 的图象能否由函数y 1 x2

2

2

的图象通过平移变换得到?若能,请说出平移的

过程,并画出示意图;

(2)、说出函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标。
画函数图象

y

y

0

x

0

x

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置

y=ax2+bx+c(a>0)





b 2a

,

4ac 4a

b2



直线x b 2a

由a,b和c的符号确定

开口方向 增减性
最值

a>0,开口向上

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.

在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大

当x b 时, y最.小值为 4ac b2

2a

4a

y=ax2+bx+c(a<0)





b , 4ac b2 2a 4a 直线x b



2a

由a,b和c的符号确定

a<0,开口向

在对称轴的下左侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小

当x

b

时,

.
y最大值为

4ac



b2

2a

4a

请写出如图所示的抛物线的解析式:
y (2,4)

(0,1)

O

x

人生的价值,并不是用时间,而 是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰


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