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专题三 第1讲 三角涵数图象与性质_图文

大二轮复习 数学(理)
专题三 三角函数及解三角形 第 1 讲 三角函数图象与性质
核心知识 核心考点 新题演练 限时规范训练

大二轮复习 数学(理)
[高考领航]————————我知道了高考航向是什么!
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1.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ),其中 cos φ = a2a+b2,sin φ= a2b+b2或 tan φ=ba.
2.三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法 (1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=kπ+π2 (k∈Z),同时当 x =0 时,f(x)取得最大或最小值.若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则 φ =kπ(k∈Z),同时当 x=0 时,f(x)=0.
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π (2)f(x)=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+ 2 (k∈Z)时为奇函数;当 φ=k π(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. f(x)=Atan(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数. (3)求三角函数最小正周期,一般先通过恒等变形化为 y=Asin(ωx +φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的形式,再分别应用公式 T=
2|ωπ|,T=2|ωπ|,T=|π ω|求解.
(4)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最 低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.
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3.若 f(x)=Asin(ωx+φ),则对称轴为 x=2k2+ω 1π-φω,
对称中心为kπω-φ,0(k∈Z).
f(x)=Atan(ωx+φ)的对称中心为k2πω-φ,0(k∈Z).
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小题速解——不拘一格 优化方法

考点一 三角函数的图象

[典例 1]

(1)已知曲线 C1:y=cos


x,C2:y=sin

2x+2π3 ,则下

列结论正确的是( D ) A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得

π 到的曲线向右平移 6 个单位长度,得到曲线 C2

B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得
π 到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2
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C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得 π
到的曲线向右平移 6 个单位长度,得到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得 π
到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2
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通解:y=sin2x+23π=cos2x+23π-π2 =cos2x+π6 =cos2x+π12,由 y=cos x 的图象得到 y=cos 2x 的 图象,需将曲线 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变;由
π y=cos 2x 的图象得到 y=cos2x+12的图象,需将 y=cos 2x 的图象上
π 的各点向左平移12个单位长度,故选 D.
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优解:由 x 的系数变化可知:把 C1 上各点横坐标压缩到原来的12倍, 故排除 A、B,然后验证 C、D.若选 C,则有 y=cos x→y=cos 2x→y= cos 2x-π6 =cos2x-π3 ≠
sin2x+23π,故选 D.
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(2)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( A )

π

A.y=2sin2x-


6



π

C.y=2sinx+


6



π

B.y=2sin2x-


3



π

D.y=2sinx+


3



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通解:根据图象上点的坐标及函数最值点,确定 A,ω与 φ 的值.

由图象知T2=π3 --π6 =π2 ,故 T=π,因此 ω=2ππ=2.又图象

的一个最高点坐标为π3 ,2,所以

A=2,且

π

π

2×3 +φ=2kπ+ 2 (k∈

Z),故

π φ=2kπ- 6 (k∈Z),结合选项可知

y=2sin2x-π6 .

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优解:代入特殊点检验排除. 当 x=π3 ,y=2 时,排除 B,D.
π 当 x=- 6 ,y=-2 时,排除 C,故选 A.
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1.已知图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的方法
(1)求 A,B,已知函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=M-2 m,B =M+2 m.
(2)求 ω,已知函数的周期 T,则 ω=2Tπ.
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(3)求 φ,常用方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω,B 已知),或
代入图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降 区间).
②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点 -ωφ ,0作为突破口,具体如下:
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“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为 ωx π
+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ= 2 ;“第三点”(即图象下
降时与 x 轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx+φ
=3π 2 ;“第五点”为 ωx+φ=2π.
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2.三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数, 这是判断移动方向的关键点; (2)看左右移动方向,左“+”右“-”; (3)看移动单位:在函数 y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换都
是沿 x 轴方向的,所以 ω 和 φ 之间有一定的关系,φ是初相,再经过ω
的压缩,最后移动的单位是ωφ . 核心素养:此类题重在考基础,三角函数的基本图象及画法,发展
学生的直观想象,逻辑推理的素养.
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[自我挑战] 1.函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=sin x+ 3cos x 的图 象至少向右平移________个单位长度得到.
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通解:化简后平移,函数 y=sin x- 3cos x= 2sinx-π3 的图象可由函数 y=sin x+ 3cos x= 2sinx+π3 的图象至少向右平移2π 3 个单位长度得到. 优解:当 y=0 时,求离原点最近的两个零点. 令 sin x- 3cos x=0,得 x=π3 . 令 sin x+ 3cos x=0,得 x=-π3 ,∴π3 --π3 =23π. 答案:23π
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2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导数

π

f′(x)的图象如图所示,则

f


2

的值为(


D

)

A.2 2

C.-

2 2

B. 2

D.-

2 4

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解析:选 D.依题意得 f′(x)=Aωcos(ωx+φ),
结合函数 y=f′(x)的图象可知,T=2ωπ=43π8 -π8 =π,ω=2.
又 Aω=1,因此 A=12. 因为 0<φ<π,3π 4 <3π 4 +φ<7π 4 ,且 f′3π 8 =cos3π 4 +φ=-1,
所以3π 4 +φ=π,φ=π4 ,
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∴f(x)=12sin2x+π4 . 故 fπ2 =12sinπ+π4 =12×-sinπ4 =- 42.
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考点二 三角函数性质及应用

[典例 2]

(1) 函 数

f(x) = 15 sin

π

x+


3



+ cos

π

x-


6




最大值为

( A) A.65

B.1

C.35

D.15

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通解:∵f(x)=15sinx+π3 +cosx-π6

=1512sin

x+

23cos


x+


3 2 cos

x+12sin

x

=110sin

x+

3 10 cos

x+

3 2 cos

x+12sin

x

=35sin x+35 3cos x=65sinx+π3 ,

∴当 x=π6 +2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值65.故选 A.

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π π π

优解:∵x+


3




6

-x=


2



∴f(x)=15sin

x+π3 +cos

π

x-


6



=15sinx+π3 +cosπ6 -x

=15sinx+π3 +sinx+π3

=65sinx+π3 ≤65.

∴f(x)max=65.故选 A.

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(2)设函数 f(x)=cosx+π3 ,则下列结论错误的是( D ) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线 x=8π3 对称 C.f(x+π)的一个零点为 x=π6 D.f(x)在π2 ,π单调递减
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通解:f(x)的最小正周期为 2π,易知 A 正确;

f8π 3 =cos83π+π3 =cos 3π=-1,为 f(x)的最小值,故 B 正确;

∵f(x+π)=cosx+π+π3 =-cosx+π3 ,

∴fπ6 +π=-cosπ6 +π3 =-cos

π 2 =0,故 C 正确;

由于 f2π 3 =cos2π3 +π3 =cos π=-1,为 f(x)的最小值,故 f(x)

在π2 ,π上不单调,故 D 错误.

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π

π

优解:y=cos

x

的图象向左平移

3

个单位得

y=cosx+


3

的图象,


观察其图象如图所示.

显然在π2 ,π不单调,故选 D.
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(3)函数 f(x)=sin2x+ 3cos x-34x∈0,π2 的最大值是________. 解析:由题意得 f(x)=sin2x+ 3cos x-34
=-cos2x+ 3cos x+14


=-cos


x-

232+1.

因为 x∈0,π2 ,所以 cos x∈[0,1].

所以当 cos x= 23时,f(x)max=1. 答案:1

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1.求单调区间的两种方法
(1)代换法:求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A≠0,ω>0)的单调区间时,令 ωx+φ=z,则 y=Asin z(或 y
=Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.
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2.研究三角函数的性质,首先将解析式化为形如 y=Asin(ωx+φ) 的形式.
3.研究三角函数与其它函数复合的函数问题,可利用换元法(设 t =sin x)注意 sin x 或 cos x 的有界性.
核心素养:此类题既考查了基础,又考查了运用基础知识解决问题 的能力,发展了学生逻辑推理、数学运算、直观想象的学科素养.
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[自我挑战] 3.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4
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解析:选 B.易知 f(x)=2cos2 x-sin2 x+2=3cos2 x+1=32(2cos2 x- 1)+32+1=32cos 2x+52,则 f(x)的最小正周期为π,当 x=kπ(k∈Z)时, f(x)取得最大值,最大值为 4.
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4.(2018·高考全国卷Ⅱ)若 f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是减函数,

则 a 的最大值是( A )

π

π

A. 4

B. 2

3π C. 4

D.π

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解析:选 A.解法一:f(x)=cos x-sin x= 2cosx+π4 ,且函数 y

=cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由 0≤x+π4 ≤π,得-π4 ≤x≤3π 4 .

因为 f(x)在[-a,a]上是减函数,所以-a≤a3≥π4-,π4 ,解得 a≤π4 ,所以 0

π

π

<a≤ 4 ,所以 a 的最大值是 4 ,故选 A.

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解法二:因为 f(x)=cos x-sin x,所以 f′(x)=-sin x-cos x,则由

题意,知 f′(x)=-sin x-cos x≤0 在[-a,a]上恒成立,即 sin x+cos

x≥0,即

2sinx+π4 ≥0 在[-a,a]上恒成立,结合函数 y=

π

2sinx+


4



的图象可知有a-+aπ+4 ≤π4 ≥π0,,解得

π a≤ 4 ,所以

π 0<a≤ 4 ,所以

a

的最

大值是π4 ,故选 A.

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1.若函数 f(x)=cos2x-π6 ,为了得到函数 g(x)=sin 2x 的图象, 则只需将 f(x)的图象( A )
π A.向右平移 6 个单位长度
π B.向右平移 3 个单位长度
π C.向左平移 6 个单位长度
π D.向左平移 3 个单位长度
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解析:选 A.函数 g(x)=sin 2x=cos2x-π2 =cos2x-π6 -π6 =

fx-π6 .所以要得到函数

g(x)的图象,只需将函数

π f(x)的图象向右平移 6

个单位长度,故选 A.

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2.已知关于 x 的方程 sin x+cos x=m 在[0,π]有两个不等的实根,

则 m 的一个可能值是( D )

A.0

B.12

2 C. 2

D.1

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解析:选 D.由题设可得 m=sin x+cos x= 2sinx+π4 ,又π4 ≤x +π4 ≤5π4 ,令 t=x+π4 ,则π4 ≤t≤5π4 ,由题意及函数 y= 2sin t(t∈ π4 ,5π4 )的图象可知,1≤m< 2,结合选项可知选 D.
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3.已知函数 f(x)=sin(x+φ)-2cos(x+φ)(0<φ<π)的图象关于直

线 x=π对称,则 cos 2φ=( A )

A.35

B.-35

4 C.5

D.-45

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解析:选 A.由题意可得 f(x)= 5sin(x+φ-γ),其中 sin γ=255,

cos

γ=

55.当

π x=π时,由π+φ-γ=kπ+ 2 ,得

2φ=2kπ-π+2γ,

则 cos 2φ=cos(2kπ-π+2γ)=-cos 2γ=sin2γ-cos2γ=35.故选 A.

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4.如果函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 的两个相邻零点间的距离为

2,那么 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值为( A )

A.1

B.-1

C. 3

D.- 3

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解析:选 A.f(x)=sin ωx+ 3cos ωx=2sinωx+π3 ,故函数 f(x)
的周期 T=2ωπ.

由题意得

T



2×2



4








ω



4







π ω= 2 .故

f(x) =

π π

2sin


2

x+

3

.


π π

π

π



f(1)=2sin


2



3

=1,f(2)=2sin





2

×2+

3

=-


3,

π

π

π

π

f(3)=2sin


2

×3+

3

=-1,f(4)=2sin





2

×4+

3




3,

所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

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又 9=2×4+1,所以 f(1)+f(2)+…+f(9)=2[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)] +f(1)=1.
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5.已知函数 f(x)=cos(2x-φ)- 3sin(2x-φ)0<φ<π2 的图象向右

π 平移12个单位长度后关于

y

轴对称,则

f(x)在区间-π2 ,0上的最小值

为( C )

A.-1

B. 3

C.- 3

D.-2

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解析:选 C.函数 f(x)=cos(2x-φ)- 3sin(2x-φ)

=-2sin2x-π6 -φ,将图象向右平移π 12个单位长度后,得到函数

g(x)



f

π x-12





2sin

2x-π 12-π6 -φ





2sin

π

2x-


3

-φ






象.由题意知,该函数图象关于 y 轴对称,所以 φ+π3 =π2 +kπ(k∈

π

π

π

Z),所以 φ= 6 +kπ(k∈Z).又 0<φ< 2 ,所以 φ= 6 .故 f(x)=-

2sin2x-π3 ,设

π t=2x- 3 ,则函数

y=f(x)可转化为

y=-2sin

t.因为

x



π




2

,0








t ∈ -4π 3 ,-π3 , 故 函 数

y = - 2sin

t



-4π 3 ,-π3 上的最小值为- 3,即 f(x)在区间-π2 ,0上的最小值

为- 3,故选 C.

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6.已知函数 f(x)= 3sin ωx-cos ωx+m(ω>0,x∈R,m 是常
数)图象上的一个最高点为π3 ,1,且与点π3 ,1距离最近的一个最低 点是-π6 ,-3,则函数 f(x)的解析式为________.
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解析:f(x)= 3sin ωx-cos ωx+m=2sinωx-π6 +m,因为点
π3 ,1和点-π6 ,-3分别是函数 f(x)图象上的最高点和最低点,且它 们是相邻的,
所以T2=22π ω=π3 --π6 =π2 ,且 m=1+(2-3),
所以 ω=2,m=-1.所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin2x-π6 -1. 答案:f(x)=2sin2x-π6 -1
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