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上海2018届高三二模数学卷—三角函数总汇编

实用标准
上海 2018 届高三二模数学卷——三角函数汇编

1. (2018 宝山二模 4)函数 f x 2sin 4x cos 4x f x 2sin 4x cos 4x 的最小正周期



.

答案: 4

2. ( 2018 宝 山 二 模 12 ) 将 实 数 x、y、z 中 的 最 小 值 记 为 min x, y, z , 在 锐 角

POQ 60 , PQ 1,点 T 在 POQ 的边上或内部运动,且 TO min TP,TO,TQ,
由 T 所组成的图形为 M .设 POQ、M 的面积为 SPOQ、SM ,若 SM:SPOQ - SM 1: 2 ,

则 SM

.

答案: 3 12

3.(2018 虹口二模 3) 已知 (0, ) , cos 3 ,则 tan( )

5

4

【解析】 tan 4 ,∴ tan( ) 1

3

47

4.(2018 虹口二模 12) 函数 f (x) sin x ,对于 x1 x2 x3 xn 且 x1, x2 ,, xn [0,8 ] ( n 10 ),记 M | f (x1) f (x2 ) | | f (x2 ) f (x3) | | f (x3) f (x4 ) | | f (xn1) f (xn) | ,则 M
的最大值等于
【解析】在[0,8 ]有 4 个周期,最大值为 4 4 16 5.(2018 虹口二模)已知 ABC 中,角 A、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c , z cos A i sin A( i 是虚数单位)是方程 z2 z 1 0 的根, a 3 . (1)若 B ,求边长 c 的值;
4 (2)求 ABC 面积的最大值.

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【解析】(1)解为 1 3 i ,∴ A ,由正弦定理 b 6 , c 6 3 2 ;

22

3

2

(2)画出△ABC 的外接圆可知, AB AC 3 时,面积最大,为 9 3 . 4

6(. 2018 杨浦二模 9)若 sin(x y) cosx cos(x y) sin x 3 ,则 tan 2y 的值为



5

答案: 24 .或 24 77

(2018 杨浦二模 13)已知函数 f (x) sin(x ) ( 0 , | | ) 的图象如图所示,则 的

值为

()

y 1

( A) 4
(C) 2

(B) 2
(D) 3

O





x

4

2

1

答案: C

(2018 黄浦二模 4)已知 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c ,若

a2 b2 c2 2bcsin A ,则内角 A 的大小是



答案: 4

(2018 黄浦二模 18)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分.
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇
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形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成的).已知 OA 10米,OB x米(0 x 10) ,线段 BA、线段CD 与弧 BC 、弧 AD 的长度之和为 30 米,圆心角为 弧度.
(1)求 关于 x 的函数解析式; (2)记铭牌的截面面积为 y ,试问 x 取何值时, y 的值最大?并求出最大值.

答案:解 (1)根据题意,可算得弧 BC x ( m ),弧 AD 10 ( m ).

又 BA CD 弧BC 弧CD 30 ,

于是,10 x 10 x x 10 30 ,

所以, 2x 10 (0 x 10) . x 10

(2)

依据题意,可知 y S扇OAD S扇OBC



1 102 1 x2

2

2

化简,得 y x2 5x 50

(x 5)2 225 . 24

于是,当

x



5 2

(满足条件 0

x

10 )时,

ymax



225 ( m2 4

).

答 所以当 x 5 米时铭牌的面积最大,且最大面积为 225 平方米.

2

4

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(2018 静安二模 15)函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0)

的部分图像如图所示,则 f ( ) 的值为( ). 3

A. 2 2

B. 3 2

C. 6 2

D. 0

答案:C

(2018 闵行二模 18)已知函数 f (x) 3 sin x cosx . (1)当 f ( ) 0 ,且| | 1,求 的值;
3 (2)在 ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A、B 、C 的对边,a 3 ,b c 3 ,当 2 ,

f (A) 1 时,求 bc 的值.

【解析】(1) f (x) 2sin(x ) , f ( ) 0 k ,| | 1,∴ 1

6

3

36

2

(2) f (A) 1 A ,由余弦定理, bc 2 3

(2018

青浦二模

3)若 sin



1 3

,则 cos



2





_______________.

1
答案:
3

(2018 青浦二模 18)(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

已知向量

ur m



(cos

x

,

1)



r n



(

3 sin

x

, cos2

x) ,设函数

f

(x)



ur r mn

1.

2

22

(1)若 x [0, ] , f (x) 11 ,求 x 的值;

2

10

(2)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a,b, c 且满足 2b cos A 2c 3a, 求

f (B) 的取值范围.

解:(1)

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3 sin x 1 cos x 1 sin(x ) 1

2

2

2

62

∵ f (x) 11 sin(x ) 3 ; 又Q x [0, ]

10

65

2

∴ x arcsin 3 x arcsin 3

6

5

6

5

(2)由 2b cos A 2c 3a得2sin B cos A 2sin C 3 sin A

2sin B cos A 2sin( A B) 3 sin A

2sin B cos A 2[sin Acos B cos Asin B) 3 sin A

2sin Acos B 3 sin A cos B 3 B (0, ]

2

6

∴ sin(B ) ( 1 , 0],即f (B) sin(B ) 1 f (B) (0, 1]

62

62

2

(2018

崇明二模

15)将函数

y



sin



2x



3



图像上的点

P



4

,

t



向左平移

s

(s



0)

个单位

长度得到点 P ,

若 P 位于函数 y sin 2x 的图像上,则

A. t 1 , s 的最小值为

2

6

C. t 1 , s 的最小值为

2

3

答案:C

B. t 3 , s 的最小值为

2

6

D. t 3 , s 的最小值为

2

3

(2018 崇明二模 19)(本题满分 14 分,本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)
小题满分 8 分.) 如图,某公园有三条观光大道 AB, BC, AC 围成直角三角形,其中直角边 BC 200 m,
斜边 AB 400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB, BC, AC 大道上嬉戏,所在位置分 别记为点 D, E, F . (1)若甲乙都以每分钟100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时
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即停,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;
(2)设 CEF ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍,且 DEF ,请将甲乙之 3

间的

A

距离 y 表示为 的函数,并求甲乙之间的最小距离.

F D

C

B

E

19、解(1) w ………………………………………………………………………2 分 6

A k

k A



500 100

……………………………………………………………………1



A 200



k



300

………………………………………………………………………2 分

2 …………………………………………………………………………2 分 3

f n 200 cos n 2 300 ………………………………………………………1 分
6 3

(2)令 f n Acoswn k 400 ……………………………………………2 分

cos n 2 1 n 12k 6,12k 2k Z
6 3 2
n 1,12
n 6,10 n 6,7,8,9,10 …………………………………………………3 分

答:一年中 6,7,8,9,10 月是该地区的旅游“旺季”。…………………………1 分

(2018 金山二模 1)函数 y=3sin(2x+ )的最小正周期 T=



3

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答案:π (2018 金山二模 12)若 sin2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos2α)(1–cosβ+cos2α),则 sin(α
+ )=__________. 2
答案:1

(2018 浦东二模 8).函数 f (x) cos2 x 3 sin 2x, x R 的单调递增区间为____________. 2

答案:

k



3

,

k



6



,

k

Z

(2018 浦东二模 18)(本题满分 14 分,本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)

小题满分 8 分)

在△ABC 中,边 a,b, c 分别为角 A, B,C 所对应的边。

2c

(1)若

1

2b 2a



a b

sin sin

B A

2a bsin A

sin C

0 ,求角 C 的大小;

(2)若 sin A 4 , C 2 , c 3 ,求△ABC 的面积。

5

3

解:(1)由

2c

2a bsin A

1





2b 2a



a b

sin sin

B A

0 2c sin C 2a bsin A 2b asin B ;……
sin C

………2 分
由正弦定理得 2c2 2a b a 2b ab ,∴ c2 a2 b2 ab ,……………2 分

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∴ cosC a2 b2 c2 1 ,∴ C ;……………2 分

2ab

2

3

(2)由 sin A 4 , c 3 ,且 a c ,∴ a 8 ;…………2 分

5

sin A sin C

5

由 a c A C 2 ,∴ cos A 3 ,…………2 分

3

5

∴ sin B sin A C sin Acos C cos Asin C 3 3 4 ;…………2 分
10

∴ SABC



1 ca sin 2

B



18 8 25

3
。…………2 分

(2018 普陀二模 5) 在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

若 (b2 c2 a2 ) tan A bc ,则角 A 的大小为________.

答案: 6
(2018 普陀二模 18)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分, 第 2 小题满分 6 分

已知函数 f (x)= sin x cos x sin2 x , x R .

(1)若函数 f (x) 在区间[a, ] 上递增,求实数 a 的取值范围; 16

(2)若函数

f

(x)

的图像关于点 Q(x1,

y1) 对称,且

x1

[ 4

, ] ,求点 Q 4

的坐标.

解(1) f (x)= sin x cos x sin2 x 1 sin 2x cos 2x 1 ,…………………………2 分

2

2

2 sin(2x ) 1 ,…………………………4 分

2

42

当 x 时,则 2x 2 3 ,

16

4 16 4 8 2

又函数 f (x) 在[a, ] 上递增,则 2a ,即 a 3 ,………………………7 分

16

42

8

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则实数 a 的取值范围为 a [ 3 , ) . …………………………………………………8 分 8 16

(2)若函数

f

(

x)

的图像关于点

Q(

x1

,

y1

)

对称,则

sin(2

x1



4

)



0



………………2 分

即 2x1

4



k

( k Z ),则 x1



k 2

8

[ 4

, ],………………………………4 4



由 k Z 得 k 0 ,则点 Q 的坐标为 ( , 1 ) . …………………………………………6 分 82

(2018 徐汇二模 7)函数 f (x) sin x cos x2 1 的最小正周期是___________.

1

1

答案:

(2018 徐汇二模 18)(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)
如图:某快递小哥从 A 地出发,沿小路 AB BC 以平均时速 20 公里 / 小时,送快件 到 C 处,已知 BD 10(公里),DCB 450,CDB 300 ,ABD 是等腰三角形, ABD 1200 . (1) 试问,快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到 C 处?
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(2)快递小哥出发 15 分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能
派车沿大路 AD DC 追赶,若汽车平均时速 60 公里 / 小时,问,汽车能否先到达 C 处?

【解】(1) AB 10 (公里),

BCD

中,由

BD sin 450



BC sin 300

,得 BC

5

2 (公里)-------------------2 分

于是,由 10 5 2 60 51.21 50 知, 20

快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到 C 处.---------------------------------------6 分

(2)在

ABD

中,由

AD2



102

102



2

10

10







1 2





300 ,

得 AD 10 3 (公里),------------------------------------------------------------8 分

在 BCD 中, CBD



1050

,由

CD sin1050



52 sin 300



得 CD 5 1 3 (公里),-----------------------------------------------------10 分

10 3 5 1 3



60 15 20 15 3 45.98 51.21(分钟)

60

知,汽车能先到达 C 处.-----------------------------------------------------------14 分

(2018 长宁、嘉定二模 17)(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)

已知函数

f

(x) =

2 sin2

x+

sin 骣 ???桫2x +

p 6

÷÷÷.

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和值域; (2)设 A, B,C 为VABC 的三个内角,若 cos B = 1 , f ( A) = 2 ,求 sin C 的值.
3
解 17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

(1) f (x) 1 cos2x 3 sin 2x 1 cos2x 3 sin 2x 1 cos 2x 1

2

2

2

2

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sin 2x 1, 6

……………………………(每对一步得 1 分)(4 分)

所以, f (x) 的最小正周期T ,值域为[0 , 2] . ……………………………(6 分)

(2)由 f (A) 2 ,得 sin 2A 1 , 6

………………………………………(2 分)

因为 0 A ,所以 2A 11 ,故 2A , A . ……(5 分)

6

66

62

3

因为在△ ABC中, cosB 1 ,所以 sin B 2 2 ,

3

3

…………………………(6 分)

所以, sin C sin (A B) sin(A B) sin Acos B cos Asin B

3112 2 32 2 .

232 3

6

…………………………………………(8 分)

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