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2.1.1平面_图文

2.1.1 平面

一、平面及其表示法

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

1. 平面的概念:

1. 平面的概念: 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.

2. 平面的特征:

2. 平面的特征:
平面没有大小、厚薄和宽窄, 平面 在空间是无限延伸的.

3. 平面的画法:

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面:

3. 平面的画法: (1)水平放置的平面:


3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:


3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:


3. 平面的画法: (1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:

通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.

3. 平面的画法:

3. 平面的画法:
(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.

3. 平面的画法: (3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.



3. 平面的画法:
(3)在画图时,如果图形的一部分被另一 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线, 也可以不画.









4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用

代表表示平面的平行四边形的四个顶点或

相对的两个顶点字母表示.



D

C



A

B



4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用

代表表示平面的平行四边形的四个顶点或

相对的两个顶点字母表示.



D

C



A

B



平面

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.



D

C



A

B



平面

平面

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.



D

C



平面

A

B

平面ABCD

平面

4. 平面的表示方法: 平面可以用希腊字母表示,也可以用

代表表示平面的平行四边形的四个顶点或

相对的两个顶点字母表示.



D

C


平面


平面

A

B

平面ABCD

平面AC

平面BD

例1. 画出两个竖直放置的相交平面.

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:
(1)点与直线的位置关系:

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

A

a

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上:

A

a

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

B

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上:

B

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:

A


5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:
点A在平面上:
A


5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:
点A在平面上: 记为A∈.
A


5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:

B

点A在平面上: 记为A∈.

A


5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:

B

点A在平面上: 记为A∈.

点B不在平面上:

A


5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系:

(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为A∈a. A

a

点B不在直线a上: 记为Ba. B

(2)点与平面的位置关系:

B

点A在平面上: 记为A∈.

点B不在平面上:记为B. A

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图.
(1) 点A在平面内,点B不在平面内,
点A,B都在直线a上;
(2) 平面与平面相交于直线m,直线a 在平面内且平行于直线m.

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图.
(1) 点A在平面内,点B不在平面内,
点A,B都在直线a上;
(2) 平面与平面相交于直线m,直线a 在平面内且平行于直线m.
B
A
a

例2. 把下列语句用集合符号表示,并画 出直观图.
(1) 点A在平面内,点B不在平面内,
点A,B都在直线a上;
(2) 平面与平面相交于直线m,直线a 在平面内且平行于直线m.

B
A
a



a

m


例3. 把下列图形中的点、线、面关系用 集合符号表示出来.

l

a

a

A
a

A B


l

A

B

l

二、平面的基本性质

观察下图,你能得到什么结论?

桌面

B

A

观察下图,你能得到什么结论?

桌面

B

A

A

B l



观察下图,你能得到什么结论?

桌面

B

A

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

A

B l



公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

A

B l



公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

A

B l



文字语言: 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

图形语言:

A

B l



符号语言:

文字语言: 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

图形语言:

A

B l



符号语言:

公理1是判断直线是否在平面内的依据.

观察下图,你能得到什么结论?

B

A

C

观察下图,你能得到什么结论?

B

B

A

C

A

C

观察下图,你能得到什么结论?

B

B

A

C

A

C

公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

文字语言:

文字语言:
公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

文字语言: 公理2 过不在同一直线上的三点,有
且只有一个平面.
图形语言:

文字语言:
公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

图形语言: A

B C

文字语言:
公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

图形语言: A
符号语言:

B C

文字语言:
公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

图形语言: A

B C

符号语言:

A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C

文字语言:
公理2 过不在同一直线上的三点,有 且只有一个平面.

图形语言: A

B C

符号语言:

A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C

公理2是确定一个平面的依据.

观察下图,你能得到什么结论?

天花板

墙面

墙面

观察下图,你能得到什么结论? 天花板
墙面 P 墙面

观察下图,你能得到什么结论?

天花板

墙面 P 墙面



P

a

观察下图,你能得到什么结论?

天花板

墙面 P 墙面



P

a

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

文字语言:

文字语言:
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

文字语言: 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言:

文字语言:

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.



图形语言:

P

l

文字语言:

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.



图形语言:

P

l

符号语言:

文字语言:

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.



图形语言:

P

l

符号语言:
P 且P l且P l.

文字语言:

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.



图形语言:

P

l

符号语言:
P 且P l且P l.
公理3是判定两个平面是否相交的依据.

例4. 判断下列命题是否正确:

(1) 经过三点确定一个平面.

()

(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.

()

(3) 若点A∈直线a,点A∈平面,则a.

()

(4) 平面与平面相交,它们只有有限个

公共点.

()

例4. 判断下列命题是否正确:

(1) 经过三点确定一个平面.

( ×)

(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.

()

(3) 若点A∈直线a,点A∈平面,则a.

()

(4) 平面与平面相交,它们只有有限个

公共点.

()

例4. 判断下列命题是否正确:

(1) 经过三点确定一个平面.

( ×)

(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.

(×)
(3) 若点A∈直线a,点A∈平面,则a.

()

(4) 平面与平面相交,它们只有有限个

公共点.

()

例4. 判断下列命题是否正确:

(1) 经过三点确定一个平面.

( ×)

(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.

(×)
(3) 若点A∈直线a,点A∈平面,则a.

(×)
(4) 平面与平面相交,它们只有有限个

公共点.

()

例4. 判断下列命题是否正确:

(1) 经过三点确定一个平面.

( ×)

(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.

(×)
(3) 若点A∈直线a,点A∈平面,则a.

(×)
(4) 平面与平面相交,它们只有有限个

公共点.

(× )

例4. 判断下列命题是否正确:

(1) 经过三点确定一个平面.

( ×)

(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.

(×)
(3) 若点A∈直线a,点A∈平面,则a.

(×)
(4) 平面与平面相交,它们只有有限个

公共点.

(× )

练习 课本P.43练习第1、2、3、4题

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只

有一个平面. B

A

C

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只

有一个平面. B

A

C

推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只

有一个平面. B

A

C

推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一

个平面.

Al

B

C

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只

有一个平面. B

A

C

推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一

个平面.

Al

B

C

推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只

有一个平面. B

A

C

推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一

个平面.

Al

B

C

推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.

推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.

练习:根据下列条件作图:
(1) A∈,a,A∈a; (2) a ,b,c,且a∩b=A,
b∩c=B,c∩a=C.

课堂小结
1. 平面的概念,画法及表示方法; 2. 平面的性质及其作用; 3. 符号表示.

课后作业
1. 复习本节课内容; 2. 预习:同一平面内的两条直线有几种
位置关系? 3. 作业:《习案》第八课时.


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