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八年级竞赛培优训练第9讲 一元一次不等式组

八年级培优辅导讲义
第 9 讲 一元一次不等式组
【思维入门】 1.把不等式组x3+-2x>≥10,的解集表示在数轴上,正确的是

()

A

B

C

D

x-4≤8-2x,

2.不等式组x>-23

的最小整数解是

()

A.-1 C.1

B.0 D.4

3.不等式组12x+2≥13x+1,的解是 3x<x+2

()

A.-6<x≤1

B.-6<x<1

C.-6≤x<1

D.-6≤x≤1

4.已知点 P(3-m,m-1)在第二象限,则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是

()

A

B

C

D

5.求不等式组76((x0-.5x1+)1<)4x≥-23x,+5的整数解.

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23x+5>1-x, 6.解不等式组x-1<34x-18,并写出它的非负整数解.
【思维拓展】 7.若关于 x 的不等式组5x--a2>x>0-1,无实数解,则 a 的取值范围是____. 8.对非负数 x 四舍五入到个位的值记为〈x〉,即当 n 为非负整数时,若 n-12≤x<n+12,
则〈x〉=n.如〈0.46〉=0,〈3.67〉=4. 给出下列关于〈x〉的结论: ①〈1.493〉=1; ②〈2x〉=2〈x〉; ③若〈12x-1〉=4,则实数 x 的取值范围是 9≤x<11; ④当 x≥0,m 为非负整数时,有〈m+2 013x〉=m+〈2 013x〉; ⑤〈x+y〉=〈x〉+〈y〉. 其中,正确的结论有____(填写所有正确的序号). 9.定义新运算:对于任意实数 a,b 都有 a△b=ab-a-b+1,等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算,例如:2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3,请根据上述知识解决 问题:若 3△x 的值大于 5 而小于 9,求 x 的取值范围.
-2x+3≥-3, 10.已知实数 a 是不等于 3 的常数,解不等式组12(x-2a)+12x<0,并依据 a 的取值情
况写出其解集. 11.已知关于 x,y 的方程组52xx+-23yy==1112aa+-188,的解满足 x>0,y>0,求实数 a 的取值范
围.

【思维升华】

12.若关于 x 的不等式组22-x+3mx≥>00,没有实数解,则实数 m 的取值范围是(

)

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A.m<-43 C.m>-43

B.m≤-43 D.m≥-43

13.已知 a 是实数,关于 x,y 的二元一次方程组2x+x-23y=y=15-a,2a的解不可能出现的情况



()

A.x,y 都是正数

B.x,y 都是负数

C.x 是正数,y 是负数

D.x 是负数,y 是正数

14.已知方程组xx++m3=y=2y11,的解都是正整数,则整数 m 的值为____.

15.已知 a+b+c=0,a≥b≥c,a≠0,则ac的最大值是 ____,最小值是____. 16.已知关于 x 的不等式组x2<x-a+2>1,a 的解集中的整数恰好有 2 个,求实数 a 的取值范围.

第 9 讲 一元一次不等式组
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八年级培优辅导讲义
【思维入门】 1.把不等式组x3+-2x>≥10,的解集表示在数轴上,正确的是

(D)

A

B

C

D

x-4≤8-2x,

2.不等式组x>-23

的最小整数解是

(B)

A.-1 C.1

B.0 D.4

3.不等式组12x+2≥13x+1,的解是 3x<x+2

(C)

A.-6<x≤1

B.-6<x<1

C.-6≤x<1

D.-6≤x≤1

4.已知点 P(3-m,m-1)在第二象限,则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是

(A)

A

B

C

D

5.求不等式组76((x0-.5x1+)1<)4x≥-23x,+5的整数解.

解:76((x0-.5x1+)1<)4x≥-23x,+①5,②
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解不等式①,得 x<43, 解不等式②,得 x≥-1, ∴不等式组的解集为-1≤x<43, ∴不等式组的整数解为-1,0,1.
23x+5>1-x, 6.解不等式组x-1<34x-18,并写出它的非负整数解.
23x+5>1-x,① 解:x-1<34x-18,②
解不等式①,得 x>-152, 解不等式②,得 x<72, ∴不等式组的解集为-152<x<72. ∴它的非负整数解为 0,1,2,3.
【思维拓展】
7.若关于 x 的不等式组5x--a2>x>0-1,无实数解,则 a 的取值范围是__a≥3__.
【解析】 解关于 x 的不等式组5x--a2>x>0-,1,
得xx<>3a,, ∵不等式组无解,∴a≥3. 8.对非负数 x 四舍五入到个位的值记为〈x〉,即当 n 为非负整数时,若 n-12≤x<n+12, 则〈x〉=n.如〈0.46〉=0,〈3.67〉=4. 给出下列关于〈x〉的结论: ①〈1.493〉=1; ②〈2x〉=2〈x〉; ③若〈12x-1〉=4,则实数 x 的取值范围是 9≤x<11; ④当 x≥0,m 为非负整数时,有〈m+2 013x〉=m+〈2 013x〉;
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⑤〈x+y〉=〈x〉+〈y〉. 其中,正确的结论有__①③④__(填写所有正确的序号). 【解析】 ①〈1.493〉=1,正确; ②〈2x〉≠2〈x〉,例如当 x=0.3 时,〈2x〉=1,2〈x〉=0,故②错误; ③若〈12x-1〉=4,则 4-12≤12x-1<4+12,解得 9≤x<11,故③正确; ④m 为整数,不影响四舍五入,故〈m+2 013x〉=m+〈2 013x〉,④正确; ⑤〈x+y〉≠〈x〉+〈y〉,例如 x=0.3,y=0.4 时,〈x+y〉=1,〈x〉+〈y〉= 0,故⑤错误. 综上可得①③④正确. 9.定义新运算:对于任意实数 a,b 都有 a△b=ab-a-b+1,等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算,例如:2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3,请根据上述知识解决 问题:若 3△x 的值大于 5 而小于 9,求 x 的取值范围. 解:∵3△x=3x-3-x+1=2x-2,且 3△x 的值大于 5 而小于 9, ∴5<2x-2<9,即72<x<121.
-2x+3≥-3, 10.已知实数 a 是不等于 3 的常数,解不等式组12(x-2a)+12x<0,并依据 a 的取值情
况写出其解集. -2x+3≥-3,①
解:12(x-2a)+12x<0,② 解①得 x≤3,解②得 x<a, ∵ a 是不等于 3 的常数, ∴ 当 a>3 时,不等式组的解集为 x≤3; 当 a<3 时,不等式组的解集为 x<a. 11.已知关于 x,y 的方程组52xx+-23yy==1112aa+-188,的解满足 x>0,y>0,求实数 a 的取值范 围. 解:解方程组52xx+-23yy==1112aa+-188,,②① ①×3 得 15x+6y=33a+54③,
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②×2 得 4x-6y=24a-16④, ③+④得 19x=57a+38,解得 x=3a+2, 把 x=3a+2 代入①,得 5(3a+2)+2y=11a+18, 解得 y=-2a+4,

∴方程组的解是xy==-3a+2a2+,4, ∵x>0,y>0,

∴3-a+2a2+>40>,0,解得aa><-2,23, ∴a 的取值范围是-23<a<2.

【思维升华】

12.若关于 x 的不等式组22-x+3mx≥>00,没有实数解,则实数 m 的取值范围是( B )

A.m<-43 C.m>-43

B.m≤-43 D.m≥-43

13.已知 a 是实数,关于 x,y 的二元一次方程组2x+x-23y=y=15-a,2a的解不可能出现的情况



(B)

A.x,y 都是正数

B.x,y 都是负数

C.x 是正数,y 是负数

D.x 是负数,y 是正数

【解析】

2x-3y=5a,① x+2y=1-2a,②

②×2-①得 7y=2-9a,y=2-79a③, ③代入②,得 x=1-2a-2y=1-2a-2×2-79a=4a+7 3.

A.24-a7+79a3>>00,,解得-34<a<29;

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2-79a<0, B.4a+ 7 3<0,解得

a>29,a<-34,无解;

2-79a>0, C.4a+ 7 3<0,解得

a<-34;

2-79a<0, D.4a+7 3>0, 解得

a>29,故选

B.

14.已知方程组xx++m3=y=2y11,的解都是正整数,则整数 m 的值为__-1,0 或 5__.

【解析】 方程组xx++m3=y=2y1,1,
∴x+my-x-3=11-2y, 解得(m+2)y=14,y=m1+4 2. ∵方程组有正整数解,

∴m+2>0,m>-2,又 x=22m-+32m,

故 22-3m>0,解得 m<232, 故-2<m<232,整数 m 只能取-1,0,1,2,3,4,5,6,7. 又 x,y 均为正整数,

∴只有 m=-1 或 0 或 5 符合题意.

15.已知 a+b+c=0,a≥b≥c,a≠0,则ac的最大值是 【解析】 已知 a+b+c=0,即 c=-a-b,

__-12__,最小值是__-2__.

因为 a≥b≥c, 必有 a>0,c<0,ac=-aa-b=-1-ba, 可知当 b 与 a 同号时,即 b>0.

式子-1-ba才可能取最小值.

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因为 a≥b,故ba≤1, 故当ba=1 时,式子-1-ba取最小值为-2. 同理:当 b 与 a 异号时,即 b<0, 式子-1-ba才可能取最大值, a+b+c=0,a=-(b+c). 因为 0≥b≥c,即|b|≤|c|. 式子-1-ba=-1+b+b c=-1+|b|+|b||c|, 当|b|+|b| |c|取最大值时,整个式子有最大值, |b|+|b| |c|≤|b|+|b| |b|=12. 故式子-1-ba≤-1+12=-12,此为最大值. 16.已知关于 x 的不等式组x2<x-a+2>1,a 的解集中的整数恰好有 2 个,求实数 a 的取值范围.
x<a+1, 解:原不等式组可化为x>a+2 2, 根据题意,有a+2 2<x<a+1. 满足原不等式组解集中的整数恰好有 2 个,只需 k≤a+2 2<k+1, (k 为整数) k+2<a+1≤k+3,
即2k+k-12<≤aa≤<k+2k,2. (k 为整数)(*) 关于整数 k 的不等式组k2+k-1<2≤2kk,+2 有解. 解得 1<k≤4,得 k 可以取 2,3,4. 当 k=2 时,代入(*)式,有23≤<aa< ≤44,,解得 3<a<4;
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当 k=3 时,代入(*)式,有44≤<aa< ≤65,,解得 4<a≤5; 当 k=4 时,代入(*)式,有65≤<aa< ≤86,,解得 a=6. 所以,3<a<4 或 4<a≤5 或 a=6 即为所求.
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