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2020-2021年高二数学12月月考试题

高二数学 12 月月考试题

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1. 椭圆

的离心率是(

)

A.

B.

C.

D.

2. 从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞

赛,则不同的参赛方案种数为

A. 48

B. 72

C. 90

D. 96

3. 设 是公比为 q 的等比数列,则“

”是“ 为递增数列”的

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设双曲线

的离心率是 3,则其渐近线的方程为(

)

A.

B.

C.

D.

5. 设 P 为椭圆

上的一点, 、 是该椭圆的两个焦点,若 :

:1, 则

的面积为(

)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6. 若

,则





A. 5

B. 25

C.

D.

7. 椭圆

上的点到直线

的距离的最小值为 (

)

A.

B.

C. 3

D. 6

8. 已知直线

与曲线

相切,则 a 的值为(

)

A. 1

B. 2

C.

D.

9. 设

,其中 x,y 是实数,则

-1-

A. 1

B.

C.

D. 2

10. 已知

等于(

)

A. 1

B.

C. 3

D.

11. 已知函数

值范围是(

)

A.

B.

若存在

,使得

,则实数 b 的取

C.

D.

12. 已知

在 R 上存在三个单调区间,则 b 的取值范围是(

)

A.



B.

C.

D.



二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13. 过抛物线

的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,则

______.

14. 若命题“p:

,

”是假命题,则实数 a 的取值范围是______.

15. 已知直线 l:

,若直线 l 与直线

垂直,则 m 的值为______.

16. 已知函数

, 为 的导函数,则 的值为______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)

17. 已知椭圆

的左右焦点分别为 、 ,左顶点为 A,若

,椭圆的离

心率为 .Ⅰ求椭圆的标准方程.Ⅱ若 P 是椭圆上的任意一点,求

的取值范围.

-2-

18. 设 ,命题 q:

,

,命题 p:

,满足



若命题 是真命题,求 a 的范围;

为假,

为真,求 a 的取值范围.

19. 设 求 求 求

,若 , , 成等差数列. 展开式的中间项; 展开式中所有含 x 奇次幂的系数和;
展开式中系数最大项.

-3-

20. 已知抛物线 C:

和直线 l:

,O 为坐标原点.

求证:l 与 C 必有两交点;

设 l 与 C 交于 A,B 两点,且直线 OA 和 OB 斜率之和为 1,求 k 的值.

21. 已知函数 值是 ,求 a 的值.

,其中 .Ⅰ求 的单调区间;Ⅱ若 在 上的最大
-4-

22. 已知函数





若 ,求函数 的单调区间;

当 时,设

,若 有两个相异零点 , ,求证:



-5-

【答案】

1. B

2. D

8. B

9. B

13. 1

高二年级 12 月月考衔接班数学试卷答案和解析

3. D

4. A

5. C

6. B

10. C 11. A 12. D

7. A

14.

15. 0 或 2 16. 3

17. 解:Ⅰ由题意,

,椭圆的离心率为 ,

,,

,

椭圆的标准方程为

Ⅱ设

,

,

,

,

点在椭圆上,

,

,

,

由椭圆方程得

,二次函数开口向上,对称轴

,



时,取最小值 0,



时,取最大值 12.

的取值范围是



18. 解: 真,则



得;

q 真,则

,得

,

命题 是真命题,

-6-

的范围为



为假,

. 为真 、q 同时为假或同时为真,

若 p 假 q 假,则

若 p 真 q 真,则

,

综上





19. 解: 依题意得

, ,1, .



,

,

,





可得

舍去,或

,

所以

展开式的中间项是第五项为:



,





令则

,





,

所以

,所以展开式中含 x 的奇次幂的系数和为 ;

假设第 项的系数为

,令

,解得:

,

所以展开式中系数最大项为





20. 解: 证明:联立抛物线 C:

和直线 l:

,可得

,

,

与 C 必有两交点;

解:设

,

,则

因为

,

,代入 ,得

-7-

又由韦达定理得

,

,代入 得 .

21. 解: 由题意可得函数

的定义域为

,

由求导公式可得:

,

,

当 时,

,在

单调递增;

当 时,令

,可解得

,即 在

单调递增,

同理由

,可解得

,即 在

单调递减.

由 可知:若 时, 在 单调递增,

故函数在 处取到最大值

,解得

,与 矛盾应舍去;



,即

,函数 在

单调递增,在

单调递减.

函数在

处取到最大值

, 解得

故若

,即

时, 在 单调递增,

故函数在 处取到最大值

,解得

,应舍去.

综上可得所求 a 的值为:

22. 解: 由



,

当 时,函数 的单调增区间是 ,单调减区间是

,

当 时,函数 的单调增区间是

,单调减区间是 ;

证明:

,设 的两个相异零点为 , ,



,

,

,

,

,

,

,

要证

,即证

,

-8-



,



,



,上式转化为

,,



,

,



上单调递增,

,

,



函数

,根据导数和函数的最值的关系即可证明.

-9-


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