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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程(含解析)苏教版选修11

第 1 课时 圆锥曲线
教学过程 一、 问题情境 2011 年 9 月 29 日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什 么吗? 二、 数学建构 椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等. 一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的 轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图 1.
(图 1) 对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为 F1,F2),且 与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆 O1 和圆 O2(如图 2).
(图 2) 设 M 是平面与圆锥面的截线上任一点,过点 M 作圆锥面的一条母线分别交圆 O1 和圆 O2 于 P,Q 两点,则 MP 和 MF1,MQ 和 MF2 分别是上、下两球的切线. 因为过球外一点所作球的切线的长都相等, 所以 MF1=MP,MF2=MQ, 故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ. 因为 PQ=VP-VQ,而 VP,VQ 是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以 PQ 是一个常数. 也就是说,截线上任意一点到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数.
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通过分析,给出椭圆的概念: 一般地,平面内到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定 点 F1,F2 叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距. 问题 1 为什么常数要大于 F1F2? 解 因为动点与 F1,F2 构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以 MF1+MF2>F1F2. 问题 2 若 MF1+MF2=F1F2,动点 M 的轨迹是什么? 解 线段 F1F2. 问题 3 若 MF1+MF2<F1F2,动点 M 的轨迹是什么? 解 不存在. 双曲线的概念: 一般地,平面内到两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫 做双曲线,两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距. 说明:(1)常数要小于 F1F2. (2)若|MF1-MF2|=F1F2,动点 M 的轨迹是以 F1,F2 为端点向外侧的两条射线. (3)若|MF1-MF2|>F1F2,动点 M 的轨迹不存在. 抛物线的概念: 一般地,平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 说明:定点 F 不能在定直线 l 上,否则所得轨迹为过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线. 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 三、 数学运用 【例 1】 已知定点 P(0,3)和定直线 l:y+3=0,动圆 M 过点 P 且与直线 l 相切,求证:圆心 M 的轨迹 是一条抛物线. (见学生用书 P15) [处理建议] 让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得 以解决. [规范板书] 证明 设圆 M 的半径为 r,点 M 到直线 l 的距离为 d. ∵动圆 M 过点 P 且与 l 相切,∴MP=r,d=r,∴MP=d. 而点 P 不在 l 上,∴由抛物线的定义知圆心 M 的轨迹是一条抛物线.
(例 2) [题后反思] 本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离;② 定点不在定直线上. 【例 2】 (教材第 27 页习题 2.1 第 3 题)如图,圆 F1 在圆 F2 的内部,且点 F1,F2 不重合,求证:与 圆 F1 外切且与圆 F2 内切的圆的圆心 C 的轨迹为椭圆. (见学生用书 P16) [处理建议] 让学生仔细审题,明确需要解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两 定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决. [规范板书] 证明 设圆 F1,F2 的半径分别为 r1,r2,动圆 C 的半径为 t.依题意有 CF1=r1+t,CF2=r2-t, 消去 t 得 CF1+CF2=r1+r2(一个大于 F1F2 的常数),所以动圆圆心 C 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭 圆. [题后反思] 要证明某点的运动轨迹,可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓
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住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义. 变式 1 如图,已知动圆 C 与圆 F1,F2 均外切(圆 F1 与圆 F2 相离),试问:动点 C 的轨迹是什么曲线?
(变式 1)
[处理建议] 从例 2 的解法中联想思考,寻找动点满足的几何性质是什么. [规范板书] 解 双曲线的一支.证明如下: 设圆 F1,F2 的半径分别为 r1,r2(r1>r2),动圆 C 的半径为 t.依题意有 CF1=r1+t,CF2=r2+t,消去 t 得 CF1-CF2=r1-r2(一个小于 F1F2 的正数),所以动圆圆心 C 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的一支. [题后反思] 应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当 两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的 一支. 变式 2 (1)动圆与圆 C1:x 2+y 2=1 和 C2:(x-4) 2+y 2=4 都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支. (2)动圆与圆 C1:x 2+y 2=1 和 C2:(x-4) 2+y 2=4 都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支. (3)动圆与圆 C1:x 2+y 2=1 内切,与圆 C2:(x-4) 2+y 2=4 外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支. (4)动圆与圆 C1:x 2+y 2=1 外切,与圆 C2:(x-4) 2+y 2=4 内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支. *【例 3】 已知圆 F 的方程为(x-2) 2+y 2=1,动圆 P 与圆 F 外切且和 y 轴相切.求证:动圆的圆心 P 在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程. [处理建议] 因为要证明圆心 P 的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线. [规范板书] 证明 设圆 P 的半径为 r,它与 y 轴相切于 T,则 PF=r+1,PT=r,所以 PF=PT+1,作直线 l:x=-1,PT 的延长线交直线 l 于 A,则 PF=PA,故点 P 到定点 F 的距离等于它到直线 l 的距离,所以点 P 在以 F(2,0)为焦点,直线 l:x=-1 为准线的抛物线上运动. [题后反思] 三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距 离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛 物线的条件. 变式 点 P 到定点 F(2,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1,求点 P 的轨迹. [处理建议] 引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致. [规范板书] 解 过点 P 作 PT⊥y 轴,垂足为 T,所以 PF=PT+1,作直线 l:x=-1,PT 的延长线交直线 l 于 A,则 PF=PA,故点 P 到定点 F 的距离等于它到直线 l 的距离,所以点 P 在以 F(2,0)为焦点、直线 l:x=-1 为准线的抛物线上运动. [题后反思] 本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关 系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.[2] 四、 课堂练习 1.已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0)和 F2(3,0),则此双曲线的焦距为 6 . 2.已知点 A(0,-2),B(2,0),动点 M 满足|MA-MB|=2a(a 为正常数).若点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的 双曲线,则常数 a 的取值范围为(0,错误!未找到引用源。). 提示 因为 AB=2 错误!未找到引用源。,由双曲线的定义知 0<2a<2 错误!未找到引用源。,即 0<a< 错误!未找到引用源。. 3. 若动圆 M 过点(3,2),且与直线 3x-2y-1=0 相切,则点 M 的轨迹是抛物线. 4. 已知椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,O 为 F1F2 的中点,P 为椭圆上任一动点,取线段 PF1 的中点
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Q,求证:动点 Q 的轨迹也是一个椭圆. 证明 设 PF1+PF2=m(定值),且 m>F1F2, 则 QF1+QO=错误!未找到引用源。PF1+错误!未找到引用源。PF2=错误!未找到引用源。m>错误! 未找到引用源。F1F2=F1O,所以点 Q 的轨迹是一个椭圆. 五、 课堂小结 1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平 面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲 线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴 也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆. 2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个 定点间距离. 3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹. 第 2 课时 椭圆的标准方程(1)
教学过程
一、 问题情境 汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭 圆呢? 是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解 析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程. 二、 数学建构 回顾椭圆的概念: 一般地,平面内到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定 点 F1,F2 叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距. 特别地: 当 MF1+MF2=F1F2 时,动点 M 的轨迹是线段 F1F2; 当 MF1+MF2<F1F2 时,动点 M 的轨迹不存在. 构建椭圆方程: 设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,它们之间的距离为 2c,椭圆上任意一点到 F1,F2 的距离的和为 2a(2a>2c). 以 F1F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy(如图 1),则 F1,F2 的坐标分别为(-c,0),(c,0).
(图 1)
设 P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知 PF1+PF2=2a, 即错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=2a.[2] 将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a 错误!未找到引用源。+(x-c)2+y2, 即 a2-cx=a 错误!未找到引用源。.
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两边再平方,得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 因为 a2-c2>0,所以可设 a2-c2=b2(b>0),于是得 b2x2+a2y2=a2b2, 两边同时除以 a2b2,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y) 都在已知的椭圆上. 这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0).
(图 2) 问题 1 如果将椭圆的焦点建立在 y 轴上,即焦点为 F1(0,-c),F2(0,c)(如图 2),你能快速得出椭圆的 方程吗? 解法一 两个椭圆关于直线 y=x 对称,故只需要将方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。=1(a>b>0)中的 x,y 互换即可得到方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 解法二 从定义出发,将错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=2a 变换为错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。=2a. 可化简得到 a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2). 设 a2-c2=b2(b>0),于是得 a2x2+b2y2=a2b2, 两边同时除以 a2b2,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 所以,当焦点在 y 轴上时,我们可以得到焦点为 F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中 b2=a2-c2). 问题 2 如何判断椭圆标准方程中焦点的位置? 解 看标准方程形式下 x2 与 y2 下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上. 巩固练习 求下列椭圆的焦点坐标: (1) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1; (2) 16x2+7y2=112. [规范板书] 解 (1) c2=25-16=9,所以 c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0). (2) 方程可化为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,所以 c2=16-7=9,所以 c=3,故焦点 坐标为(0,-3)和(0,3). [题后反思] 求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式. 三、 数学运用 【例 1】 已知方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 求 k 的取值范围. (见学生用书 P17) [处理建议] 引导学生思考焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程满足的条件. [规范板书] 解 因为椭圆焦点在 x 轴上, 故错误!未找到引用源。所以 7<k<10. [题后反思] 学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要 3 个条件 (不等式). 变式 若上述方程表示一个椭圆,求 k 的取值范围.
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[处理建议] 让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化. [规范板书] 解 由题意可得错误!未找到引用源。 所以 4<k<10 且 k≠7. [题后反思] 学生可能会进行分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件, 此时不妨反问:若 k-4>0,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.[3] 【例 2】 (根据教材第 30 页练习第 2 题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=4,b=3,焦点在 x 轴上; (2) b=1,c=错误!未找到引用源。; (3) 两个焦点分别是 F1(-2,0),F2(2,0),且过点 P(2,-3). (见学生用书 P18) [处理建议] 引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中 a,b 的值. [规范板书] 解 (1) 因为焦点在 x 轴上,故椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。=1. (2) 因为 b=1,c=错误!未找到引用源。,所以 a2=b2+c2=16, ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+y2=1; ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+x2=1. (3) 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,故可设椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。=1(a>b>0), 所以错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方 程,而 a,b,c 三个量之间的关系是知二求一.[4] 【例 3】 (教材第 29 页例 2)将圆 x2+y2=4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半, 求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书 P18) [处理建议] 先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题. [规范板书] 解 设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆 x2+y2=4 上的对应点的坐标为(x',y'),由 题意可得错误!未找到引用源。 因为 x'2+y'2=4,所以 x2+4y2=4,即错误!未找到引用源。+y2=1. 这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆. [题后反思] 学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的 角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变 换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程. *【例 4】 (教材第 31 页例 1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4m, 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m,求这个椭圆的标准方程. [处理建议] 引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程 中的基本量. [规范板书] 解 以 F1F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy(如图).
(例 4)
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设这个椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 根据题意知 2a=3,2c=2.4,即 a=1.5,c=1.2, 所以 b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81. 因此,这个椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立 合适的坐标系. 四、 课堂练习 1.求下列椭圆的焦点坐标: (1) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1; (2) 3x2+4y2=12. 解 (1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3). (2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0). 2. 若方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是(4,5). 提示 因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以错误!未找到引用源。解得 4<k<5. 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=错误!未找到引用源。,c=1; (2) 两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),且 b=1; (3) 焦点在 y 轴上,焦距为 4,且经过点 M(3,-2 错误!未找到引用源。). 解 (1) 因为 a=错误!未找到引用源。,c=1,所以 b2=a2-c2=4. ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1; ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (2) 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,且 c=2,b=1,所以 a2=5. 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+y2=1. (3) 因为椭圆的焦点在 y 轴上,故可设椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。=1(a>b>0),且 c=2. 所以错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 五、 课堂小结 1. 椭圆的标准方程有两种形式: ①焦点在 x 轴上:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0); ②焦点在 y 轴上:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义: ①椭圆的中心在坐标原点; ②椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在 x 轴上或均在 y 轴上); ③椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在 x 轴上的方程以及焦点在 y 轴上的方程. 第 3 课时 椭圆的标准方程(2)
教学过程
一、 数学运用 【例 1】 求经过点(-错误!未找到引用源。,1),(-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。) 的椭圆的标准方程. (见学生用书 P19) [处理建议] 可分两种情况分别设出焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程和焦点在 y 轴上的椭圆的 标准方程,代入点坐标求出 a,b 的值;在不明确焦点位置的情况下 ,也可设椭圆的方程为
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Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B). [规范板书] 解法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。=1(a>b>0),则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。所以所求椭 圆的标准方程是错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =1(a>b>0),则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。不满足 a>b>0,故舍去. 所以所求椭圆的标准方程是错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 解法二 设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B),则错误!未找到引用源。解得错误!未找到 引用源。 所以所求椭圆的标准方程是错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中 x2 及 y2 的系 数进行换元得到的.[1] 【例 2】 已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的左、右焦点分别是 F1,F2,PQ 是过 F1 的一条弦,求△PQF2 的周长. (见学生用书 P20) [处理建议] 请学生思考△PQF2 的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有 哪些联系. [规范板书] 解 由题意知 a=5,c=3.P,Q 是椭圆上的点,则 PF1+PF2=2a=10,QF1+QF2=2a=10. 因此,△PQF2 的周长为 PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20. [题后反思] 抓住椭圆的定义,因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和 为 2a.若 PQ 是椭圆上不过焦点 F1 的一条弦,试问:△PQF2 的周长是定值吗? 变式 1 若 P 是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点,F1,F2 是它的两个焦 点,Q(5,2),求△PQF2 的周长 l 的取值范围. [处理建议] 将△PQF2 的周长的最值转化为 PQ+PF2 的最值. [规范板书] 解 因为△PQF2 的周长 l=PQ+PF2+QF2,又 F2(3,0),所以 QF2=2 错误!未找到引用源。, 所以△PQF2 的周长取最小值时 PQ+PF2 也取最小值,易得 PQ+PF2>QF2=2 错误!未找到引用源。, 所以 l>4 错误!未找到引用源。. 因为在椭圆中 PF1+PF2=2a,所以 PF2=2a-PF1,所以 PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a,所以 PQ+PF2 取最大值时 PQ-PF1 也取最大值,易得 PQ+PF2=PQ-PF1+2a<QF1+2a=2 错误!未找到引用源。+10. 所以 l<2 错误!未找到引用源。+2 错误!未找到引用源。+10. 综上,4 错误!未找到引用源。<l<2 错误!未找到引用源。+2 错误!未找到引用源。+10. 变式 2 已知 M(2,2),N(3,0)是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 内两点,P 是椭 圆上一点,求 PM+PN 的最大值与最小值. [规范板书] 解 设椭圆的左焦点为 F1. 因为在椭圆中 PF1+PN=2a,所以 PN=2a-PF1, 所以 PM+PN=PM+2a-PF1=PM-PF1+2a. 又因为|PM-PF1|≤MF1, 所以-MF1≤PM-PF1≤MF1,又 MF1=错误!未找到引用源。, 所以-错误!未找到引用源。≤PM-PF1≤错误!未找到引用源。, 所以 10-错误!未找到引用源。≤PM+PN≤10+错误!未找到引用源。, 所以 PM+PN 的最大值为 10+错误!未找到引用源。,最小值为 10-错误!未找到引用源。. [题后反思] 进一步理解椭圆定义中的几何条件是焦半径的一种重要的转化方式,同时也是对 此知识点的巩固训练.[2]
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(例 3) 【例 3】 如图,P 是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点,F1 和 F2 是其 焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2 的面积. (见学生用书 P20) [处理建议] 请学生思考:椭圆定义中能用到的几何条件有哪些?△F1PF2 的面积又该如何表示 才能与已知条件联系起来? [规范板书] 解 在椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 中,a=错误!未找到引用 源。,b=2,所以 c=错误!未找到引用源。=1.又因为点 P 在椭圆上, 所以 PF1+PF2=2a=2 错误!未找到引用源。. ① 由余弦定理知 P 错误!未找到引用源。+P 错误!未找到引用源。-2PF1·PF2·cos30°=F1 错误!未找 到引用源。=(2c)2=4. ② ①式两边平方得 P 错误!未找到引用源。+P 错误!未找到引用源。+2PF1·PF2=20. ③ ③-②得(2+错误!未找到引用源。)PF1·PF2=16, 所以 PF1·PF2=16(2-错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。PF1·PF2sin30°=8-4 错误!未找到引用源。. 变式 如图,已知椭圆 E:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的焦点为 F1 与 F2,点 P 在椭圆上,∠F1PF2=θ. 求证:△PF1F2 的面积 S=b2tan 错误!未找到引用源。.
(变式)
[处理建议] 由特殊到一般,问题的处理方式基本相同. [规范板书] 证明 设 PF1=r1,PF2=r2,则 S=错误!未找到引用源。r1r2sinθ,又 F1F2=2c, 由 余 弦 定 理 有 (2c)2= 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 + 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 -2r1r2cosθ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=(2a)2-2r1r2(1+cosθ), 于是 2r1r2(1+cosθ)=4a2-4c2=4b2, 所以 r1r2=错误!未找到引用源。. 这样即有 S=错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。sinθ=b2 错误!未找到引用源。=b2tan 错误!未找到引用源。. [题后反思] 解与△PF1F2(P 为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合 PF1+PF2=2a 来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设 PF1=r1,PF2=r2,则 S=错 误!未找到引用源。r1r2sinθ.若能消去 r1r2,问题即可解决. *【例 4】 已知 P 是椭圆错误!未找到引用源。+y2=1 上的任意一点,F1,F2 分别是椭圆的左、 右焦点. (1) 求 PF1·PF2 的最大值;
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(2) 求 PF 错误!未找到引用源。+PF 错误!未找到引用源。的最小值; (3) 求∠F1PF2 的最大值. [处理建议] 让学生思考:已知的几何条件是什么?要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建 立联系? [规范板书] 解 由题意知 a=2,b=1,所以 c=错误!未找到引用源。,PF1+PF2=2a=4. (1) PF1·PF2≤错误!未找到引用源。=4; (2) PF 错误!未找到引用源。+P 错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。=8; (3) 因为 cos∠F1PF2=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。-1, 由(1)知 PF1·PF2≤4,所以 cos∠F1PF2≥错误!未找到引用源。-1=-错误!未找到引用源。,当且仅当 PF1=PF2 时“=”成立,即 P 为椭圆短轴的一个端点.
又因为∠F1PF2∈[0,π),所以∠F1PF2 的最大值为 120°.
[题后反思] 运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等 式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调∠ F1PF2 取最大值时点 P 的位置在椭圆短轴的端点处. 变式 已知椭圆错误!未找到引用源。+y2=1(a>1)的焦点是 F1,F2,若椭圆上存在一点 P,满足 PF1 ⊥PF2,求 a 的取值范围. [规范板书] 解 设 PF1=m,PF2=n,则 m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1). 又 m2+n2≥错误!未找到引用源。,所以 4(a2-1)≥2a2,所以 a2≥2,所以 a 的取值范围是[错误!未找到 引用源。,+∞). [题后反思] 训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到 a 的取值范围. 二、 课堂练习 1.根据下列条件求椭圆的标准方程: (1) 已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为错误!未找到引用源。 和错误!未找到引用源。,过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点; (2) 经过点 A(0,2)和 B 错误!未找到引用源。. 解 (1) 设椭圆的标准方程是错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0). 由题意知 2a=PF1+PF2=2 错误!未找到引用源。,所以 a=错误!未找到引用源。. 在方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 中令 x=±c,得|y|=错误!未找到引用源。; 在方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 中令 y=±c,得|x|=错误!未找到引用源。. 依题意并结合图形知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 b2=错误!未找到引用源。, 即椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。=1. (2) 设经过点 A(0,2),B 错误!未找到引用源。的椭圆的方程为 mx2+ny2=1,则错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。所以椭圆的标准方程为 x2+错误!未找到引用源。=1. 2.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆错误!未找到引用源。+y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭 圆的另外一个焦点在边 BC 上,则△ABC 的周长是 4 错误!未找到引用源。 . 提示 设椭圆的另一个焦点为 F,则由椭圆的定义知 BA+BF=2 错误!未找到引用源。,且 CF+AC=2 错误!未找到引用源。,所以△ABC 的周长为 BA+BF+CF+AC=4 错误!未找到引用源。. 3.已知 P 是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点,F1,F2 是其焦点.若∠
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F1PF2=60°,则△F1PF2 的面积为错误!未找到引用源。. 提示 设 PF1=m,PF2=n, 则 cos60°=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 又 m+n=2a=20,c=6,所以 mn=错误!未找到引用源。, 所以 S=错误!未找到引用源。mn·sin60°=错误!未找到引用源。. 三、 课堂小结 1.待定系数法求椭圆的标准方程,注意系数的设法. 2.灵活运用椭圆的定义 PF1+PF2=2a 求焦点三角形的周长及面积,注意在焦点三角形中灵活使用 余弦定理及基本不等式. 第 4 课时 椭圆的几何性质(1)
教学过程
一、 问题情境 问题 1 方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 表示什么样的曲线?你能利用以前 学过的知识画出它的图形吗? 解 方案 1 列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题. 方案 2 求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形. 方案 3 只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1] 问题 2 与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。=1(a>b>0)有什么特点?[2] 解 ①椭圆方程是关于 x,y 的二元二次方程; ②方程的左边是平方和的形式,右边是常数 1; ③方程中 x2 和 y2 的系数不相等. 二、 数学建构 1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围. 方案 1 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 变形为错误!未找到引用源。=1-错误! 未找到引用源。≤1,即 x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b. 方案 2 椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1,那么这两个数都不大于 1,所以错误!未找到 引用源。≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到 y 的范围是-b≤y≤b.
(图 1) 方案 3 还可以用三角换元,设错误!未找到引用源。=cosθ,错误!未找到引用源。=sinθ,利用三角 函数的有界性,也可以得到 x,y 的范围. 这说明椭圆位于直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形内(如图 1). 2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3] 在椭圆的标准方程中,把 x 换成-x,方程并不改变,这说明当点 P(x,y)在椭圆上时,它关于 y 轴的对 称点 P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于 y 轴对称.同理,把 y 换成-y,或同时把 x,y 分别换成-x,-y 时, 方程都不变,所以椭圆关于 x 轴和原点都是对称的. 因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
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3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.

在椭圆的标准方程中,令 x=0,得 y=±b,这说明点 B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与 y 轴的两个交点.同理,

点 A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.

线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆

的长半轴长和短半轴长.

在椭圆的定义中,2c 表示焦距,这样,椭圆方程中的 a,b,c 就有了明显的几何意义.

问题 3 在椭圆标准方程的推导过程中令 a2-c2=b2 能使方程简单整齐,其几何意义是什么?

解 c 表示半焦距,b 表示短半轴长,因此,连结顶点 B2 和焦点 F2,可以构造一个直角三角形 OB2F2,

在 Rt△OB2F2 内,O 错误!未找到引用源。+O 错误!未找到引用源。=B2 错误!未找到引用源。,

即 c2+b2=a2.

△OB2F2 称为椭圆的特征三角形.

4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用

什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?

方案 1 用几何画板演示.

方案 2 可以用比值错误!未找到引用源。来刻画,当错误!未找到引用源。越大,椭圆越圆;当错

误!未找到引用源。越小,椭圆越扁.

方案 3 还可以用比值错误!未找到引用源。来刻画,当错误!未找到引用源。越大,椭圆越扁;当

错误!未找到引用源。越小,椭圆越圆.

一般地,我们用比值错误!未找到引用源。来刻画椭圆的“圆扁”程度.

离心率:焦距与长轴长的比错误!未找到引用源。叫做椭圆的离心率,记为 e,即 e=错误!未找到引

用源。.

因为 a>c>0,所以 0<e<1.

问题 4 比值错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。之间的关系如何?

解 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,此式可变形为错误!未找到引用源。=1-错误!

未找到引用源。或错误!未找到引用源。=1-错误!未找到引用源。=1-e2.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:

(1) 当 e 接近 1 时,c 越接近 a,从而 b 越接近 0,因此椭圆越扁;

(2) 当 e 接近 0 时,c 越接近 0,从而 b 越接近 a,因此椭圆越圆.

5. 类比焦点在 x 轴上的情况,若椭圆的焦点在 y 轴上,其几何性质如何?

焦点在 x 轴上与焦点在 y 轴上椭圆的几何性质对比:

标 准 方错误!未找到引用



源。+错误!未找到 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0) 引用源。=1(a>b>0)

范围 |x|≤a,|y|≤b

|x|≤b,|y|≤a

关于 x 轴、y 轴成

对称性 轴对称;

关于 x 轴、y 轴成轴对称;

关于原点成中心对 关于原点成中心对称



顶 点 坐 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-



b)

(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)

焦点坐



(c,0),(-c,0)

(0,c),(0,-c)

半轴长

长半轴长为 a,短半 轴长为 b,a>b

长半轴长为

a,短半轴长为

b,a>b

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离心率

e= 错 误 用源。

!未







e=错误!未找到引用源。

a,b,c 的关系

a2=b2+c2

a2=b2+c2

三、 数学运用 【例 1】 (教材第 33 页例 1)求椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的长轴长、 短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4] (见学生用书 P21) [处理建议] 由椭圆的方程确定 a,b,c 的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法. [规范板书] 解 根据椭圆的方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,得 a=5,b=3,c= 错误!未找到引用源。=4, 所以椭圆的长轴长 2a=10,短轴长 2b=6,离心率 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 焦点为 F1(-4,0)和 F2(4,0),顶点为 A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3). 将方程变形为 y=±错误!未找到引用源。,根据 y=错误!未找到引用源。算出椭圆第一象限内的几 个点的坐标,如下表所示.
x 012345 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).

(例 1) [题后反思] 本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点, 然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学 习的一个必要的基本技能. 【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 经过点 P(-3,0),Q(0,-2); (2) 焦点在 x 轴上,长轴长等于 20,离心率等于错误!未找到引用源。; (3) 焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 3 倍,且椭圆经过点 P(3,0). (见学生用书 P22) [处理建议] 根据条件,寻找椭圆方程中的基本量. [规范板书] 解 (1) 由题意知 a=3,b=2,长轴在 x 轴上,所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。=1. (2) 由题意知 2a=20,e=错误!未找到引用源。. 所以 a=10,c=8,所以 b=6. 又因为焦点在 x 轴上, 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. (3) 由题意知焦点在 y 轴上,所以 b=3. 又因为长轴长是短轴长的 3 倍,所以 a=9, 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.
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变式 在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉,结论如何?[5] [处理建议] 当焦点位置不确定时,应引导学生分焦点在 x 轴上或在 y 轴上两种情况讨论. [规范板书] 解 (2) 由题意知 2a=20,e=错误!未找到引用源。,所以 a=10,c=8,所以 b=6. 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。=1. (3) 当焦点在 x 轴上时,a=3, 又因为长轴长是短轴长的 3 倍,所以 b=1, 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+y2=1; 当焦点在 y 轴上时,b=3, 又因为长轴长是短轴长的 3 倍,所以 a=9, 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 因此,所求椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。+y2=1 或错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。=1. [题后反思] 焦点位置发生变化时,a,b 对应的值也就不一样了,椭圆的某些几何性质也发生了变 化,尤其要紧扣其定义,比如离心率是焦距与长轴长的比值. *【例 3】 已知椭圆 x2+my2=1 的离心率为错误!未找到引用源。,求 m 的值. [处理建议] 首先应将椭圆方程化为标准方程形式,然后根据方程的特征求解. [规范板书] 解 将椭圆方程化为 x2+错误!未找到引用源。=1. 若焦点在 x 轴上,则 a2=1,b2=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =1-错误!未找到引用源。,得 m=4; 若焦点在 y 轴上,则 b2=1,a2=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=m=1-错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。,得 m=错误!未找到引用源。. 综上,m=4 或错误!未找到引用源。. [题后反思] 已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用,含参问题求离心率应考虑焦 点的位置. 四、 课堂练习 1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标: (1) 25x2+4y2-100=0; (2) x2+4y2-4=0. 解 (1) 椭圆方程可化为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,所以 a=5,b=2,c=错误! 未找到引用源。. 所以长轴长为 10,短轴长为 4,焦距为 2 错误!未找到引用源。,离心率 e=错误!未找到引用源。, 顶点坐标为(±2,0)和(0,±5),焦点坐标为(0,±错误!未找到引用源。). (2) 椭圆方程可化为错误!未找到引用源。+y2=1,所以 a=2,b=1,c=错误!未找到引用源。. 所以长轴长为 4,短轴长为 2,焦距为 2 错误!未找到引用源。,离心率 e=错误!未找到引用源。,顶 点坐标为(±2,0)和(0,±1),焦点坐标为(±错误!未找到引用源。,0). 2.下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆? (1) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 与 25x2+16y2=400; (2) 3x2+4y2=12 与错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 解 (1) 椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的离心率为错误!未找到引用源。, 椭圆 25x2+16y2=400 的离心率为错误!未找到引用源。,故第二个椭圆更接近于圆. (2) 椭圆 3x2+4y2=12 的离心率为错误!未找到引用源。,椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。=1 的离心率为错误!未找到引用源。,故第一个椭圆更接近于圆. 3.若椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率是 错误!未找到引用源。 .
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提示 错误!未找到引用源。=1-e2,所以 e=错误!未找到引用源。. 4.根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1) 中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长、短轴长分别为 10 和 8; (2) 中心在原点,一个焦点坐标为(0,4),长轴长为 10; (3) 对称轴都在坐标轴上,短半轴长为 8,离心率为错误!未找到引用源。. 解 (1) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1; (2) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1; (3) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。=1. 五、 课堂小结 1.椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等). 2.通常用椭圆的离心率 e 刻画椭圆的“圆扁”程度,其中 0<e<1. (1) 当 e 接近 1 时,c 越接近 a,从而 b 越接近 0,因此椭圆越扁; (2) 当 e 接近 0 时,c 越接近 0,从而 b 越接近 a,因此椭圆越圆. 第 5 课时 椭圆的几何性质(2)
教学过程 一、 数学运用 【例 1】 (教材第 33 页例 2)如图(1),我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的 中心(简称“地心”)F2 为一个焦点的椭圆.已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 439km,远地 点 B(离地面最远的点)距地面 2 384km,AB 是椭圆的长轴,地球的半径约为 6 371km,求卫星运行 的轨道方程.[1] (见学生用书 P23)
(例 1(1))
[处理建议] 引导学生先建立适当的直角坐标系,再分析题意寻求 a,b,c 的关系,从而求出 a,b 的 值. [规范板书] 解 如图(2),以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,AB 与地 球交于 C,D 两点. 设椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0).
(例 1(2)) 由题意知 AC=439,BD=2 384,F2C=F2D=6371. a-c=OA-OF2 =F2A =6 371+439 =6 810,
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a+c=OB+OF2 =F2B =6 371+2 384=8 755, 解得 a=7 782.5,c=972.5. 所以 b=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≈7 721. 因此,卫星运行的轨道方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a+c,最小值为 a-c.利用 a,b,c 之间的关系,求出 a,b 的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识. 【例 2】 已知 F1,F2 分别是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、 右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A,B 两点,若△ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率.
(见学生用书 P24) [处理建议] 引导学生根据题意画出图形,将“△ABF2 为正三角形”转化为关于 a,b,c 的关系式, 从而得到关于离心率 e 的方程.
(例 2) [规范板书] 解 设 F1(-c,0),则 A 错误!未找到引用源。,所以 AF1=错误!未找到引用源。. 因为△ABF2 为正三角形,所以 2c=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。b2=2ac,所以错 误!未找到引用源。(a2-c2)=2ac, 两边同时除以 a2,整理得错误!未找到引用源。e2+2e-错误!未找到引用源。=0,解得 e=错误!未找 到引用源。或-错误!未找到引用源。(舍去).所以 e=错误!未找到引用源。. [题后反思] 求离心率的关键是能得到关于 a,b,c 之间的一组关系,通过化简变形得到关于错误! 未找到引用源。的方程,将错误!未找到引用源。换成 e 解关于 e 的方程即可. 变式 1 已知 F1,F2 分别是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右 焦点,B 是椭圆的上顶点.若△F1BF2 为等腰直角三角形,求椭圆的离心率. [处理建议] 同例 2 的解题思路,强化求离心率的关键点. [规范板书] 解 根据题意可得 b=c,即 b2=c2,所以 a2-c2=c2,即 a2=2c2,所以 e=错误!未找到引用 源。. [题后反思] 本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺 垫. 变式 2 已知 F1,F2 分别是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右 焦点,B 是椭圆上一点.若∠F1BF2 为直角,求椭圆的离心率的范围. [处理建议] 让学生思考,比较变式 2 与变式 1 的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认 识. [规范板书] 解法一 设 BF1=m,BF2=n,则 m+n=2a,m2+n2=4c2. 又 m2+n2≥错误!未找到引用源。,所以 4c2≥2a2,所以 e2≥错误!未找到引用源。,所以 e≥错误!未 找到引用源。.又 0<e<1,所以 e∈错误!未找到引用源。. 解法二 因为在椭圆上当点 B 为短轴的端点时,点 B 对两焦点的张角最大,设 A 是短轴的另一个 端点,则∠F1AF2≥90°,所以 b≤c,即 a2-c2≤c2,所以 e∈错误!未找到引用源。. [题后反思] 求离心率的范围除了要寻求 a,b,c 之间的关系外,还需要找到不等关系.建立不等关 系的基本方式有:①直接得到 a,b,c 之间的不等关系;②利用基本不等式找到线段之间或基本量
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之间的不等关系;③椭圆上点的横、纵坐标的取值范围,利用|x0|≤a,|y0|≤b(有界性),得到不等关 系;④利用焦半径的取值范围是[a-c,a+c],得到不等关系.
(变式 3) 变式 3 如图,F1,F2 分别是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>2)的左、右焦 点,如果在椭圆上存在一点 P,使∠F1PF2=120°,求 a 的取值范围. [处理建议] 本题和变式 2 的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用 两种方法完成,也可以作为课后练习. [规范板书] 解法一 设 PF1=m,PF2=n,则 m+n=2a.因为∠F1PF2=120°, 所以错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用 源。,4a2-2mn-4c2=-mn,所以 mn=4b2. 因为(m+n)2≥4mn,则 4a2≥16b2, 所以 2a≥4b,即 a≥2b,
所以 a≥4,即 a∈[4,+∞).
解法二 设 B 为椭圆短轴的一个端点,根据∠F1BF2≥120°,于是有 a≥2b=4,即 a∈[4,+∞).
[题后反思] 本题旨在帮助学生进一步掌握对焦半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的 张角的最大值的理解和应用.特别强调是对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角. *【例 3】 已知 P 为椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)上任意一点(异 于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是 B1,B2.若直线 PB1,PB2 分别与 x 轴交于点 M,N,求证:OM·ON 为定值. [处理建议] 本题有一定难度,旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中能将上述 2 例讲 清并给足学生充足时间做好课堂练习,教学目标就已经完成. [规范板书] 证明 设点 P 的坐标为(x0,y0),由题意不妨设 B1(0,-b),B2(0,b),则直线 PB1 的方程为 (y0+b)(x-x0)-x0(y-y0)=0,直线 PB2 的方程为(y0-b)(x-x0)-x0(y-y0)=0. 因为 y0≠±b,分别令 y=0,得 xM=错误!未找到引用源。,xN=-错误!未找到引用源。. 所以 OM·ON=|xM·xN|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,所以 b2 错误!未找到引用源。=a2(b2-错误! 未找到引用源。), 故 OM·ON=a2 为定值. [题后反思] 本例属于椭圆中的定值问题,根据椭圆的几何性质,充分利用点在椭圆上及椭圆的 方程来解决问题,进一步理解用方程解决几何问题的思想. 二、 课堂练习 1.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为错误!未找到引用源。. 提示 由题意得 ac=b2,所以 ac=a2-c2,所以错误!未找到引用源。=1-错误!未找到引用源。,解得 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 2.已知椭圆的焦距为 2,离心率不小于错误!未找到引用源。,则它的长轴长的取值范围是(2,4]. 提示 由题意得 c=1,e=错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。,所以 a≤2.又 a>c=1,所以 2a ∈(2,4].
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3.已知 F1,F2 分别是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右焦点, 过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A,B 两点.若以 AB 为直径的圆恰好过点 F2,求椭圆的离心 率.
(第 3 题) 解 如图,设 F1(-c,0),则 A 错误!未找到引用源。,所以 AF1=错误!未找到引用源。.因为以 AB 为 直径的圆恰好过点 F2,所以 2c=错误!未找到引用源。,即 b2=2ac,所以 a2-c2=2ac,两边同时除以 a2,整理得 e2+2e-1=0,解得 e=错误!未找到引用源。-1. 4.已知 F2 是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的右焦点,O 为坐标原点, 椭圆上存在一点 P,使 PF2=OF2,则椭圆的离心率的取值范围是错误!未找到引用源。. 提示 由题意知 c≥a-c,所以 a≤2c,所以 e=错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。.又 e<1, 所以 e∈错误!未找到引用源。. 三、 课堂小结 1.椭圆几何性质的简单应用. 2.如何求椭圆的离心率及离心率的取值范围: (1) 求离心率的关键是找出 a,b,c 之间的一个关系式; (2) 求离心率的取值范围的关键是找出 a,b,c 之间的一个不等关系式,或根据题意先找不等的几 何关系等. 第 6 课时 双曲线的标准方程
教学过程
一、 问题情境 问题 1 前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题? 解 椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法,并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性 质. 问题 2 下面我们来学习双曲线,应该先研究什么问题呢? 解 先研究双曲线的标准方程,如何求双曲线的标准方程呢?如何建立直角坐标系? 二、 数学建构 1.标准方程的推导 设双曲线的焦距为 2c,双曲线上任意一点到焦点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(c>a>0). 类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系. 以直线 F1F2 为 x 轴,线段 F1F2 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 F1(-c,0),F2(c,0).设 P(x,y)为双 曲线上任意一点,由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a, 即|错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。|=2a.[1] 在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中 2a<2c,可知 c2-a2 是正数,与椭圆的标准 方程的化简中令 b2=a2-c2 对比,可以令 b2=c2-a2 ,使化简后的标准方程简洁美观,最后得到焦点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 标 准 方 程 是 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 - 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =1( 其 中 a>0,b>0,c2=a2+b2). 若焦点在 y 轴上,则焦点是 F1(0,-c),F2(0,c),由双曲线定义得|错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。|=2a,
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与焦点在 x 轴上的双曲线方程|错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。|=2a 比较,它们的结 构有什么异同点? 解 结构相同,只是字母 x,y 交换了位置. 故求焦点在 y 轴上的双曲线方程时,只需把焦点在 x 轴上的双曲线标准方中 x,y 互换即可,易得 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(其中 a>0,b>0,c2=a2+b2). 2.双曲线标准方程的特点 (1)双曲线的标准方程分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种: 当焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0); 当焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0). (2)a,b,c 有关系式 c2=a2+b2 成立,且 a>0,b>0,c>0,其中 a 与 b 的大小关系可以为 a=b,a<b,a>b. 3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置 从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x2,y2 项的分母的大小来确定, 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴,而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在 的位置,即 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上. 三、 数学运用 【例 1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)经过点 A(0,2 错误!未找到引用源。),B(2,-5); (2)a=2 错误!未找到引用源。,且经过点 P(2,-5).[2] (见学生用书 P25) [处理建议] 类比椭圆标准方程的求法,用待定系数法可分别设出焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上 的椭圆的标准方程;也可直接设其方程为 mx2+ny2=1(mn<0).[3] [规范板书] (1)解法一 设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0), 则由条件可知错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 故所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 解法二 由题意可知 a=2 错误!未找到引用源。,且双曲线的焦点在 y 轴上,所以可设双曲线的方 程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1.又双曲线过点(2,-5),代入解得 b2=16,所以方 程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. (2)①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1,由其经过点(2,-5),所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1,此方程无解,故焦点不 可能在 x 轴上. ②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1,由其经过点(2,-5),所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1,所以 b2=16,所以双曲 线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 综上,双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 待定系数法是求双曲线标准方程的基本方法,需熟练掌握.采用待定系数法前需明 确焦点的位置,若焦点位置不明,则往往需要分类讨论. 变式 求 c=5,且经过点(3,4)的双曲线的标准方程. [规范板书] 解 当焦点在 x 轴上时,设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=1,则错误!未找到引用源。解得 a2=45(舍去)或 a2=5,所以 b2=20; 当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1,则错误! 未找到引用源。解得 a2=40(舍去)或 a2=10,所以 b2=15. 综上,双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 还有其他的方法吗?类比椭圆中类似问题——双曲线的定义. 当焦点在 x 轴上时,焦点坐标为 (±5,0),所以 2a=|2 错误!未找到引用源。-4 错误!未找到引用源。
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|=2 错误!未找到引用源。,a2=5,b2=c2-a2=20,双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找 到引用源。=1; 当焦点在 y 轴上时,焦点坐标为(0,±5),所以 2a=2 错误!未找到引用源。,a2=10,b2=15,双曲线的方 程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 【例 2】 求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程: (1) 与☉C:(x+2)2+y2=2 内切,且过点 A(2,0); (2) 与☉C1:x2+(y-1)2=1 和☉C2:x2+(y+1)2=4 都外切; (3) 与☉C1:(x+3)2+y2=9 外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1 内切.[4] (见学生用书 P26) [处理建议] 根据两圆内切、外切的条件,找出相关线段之间的关系,再由圆锥曲线的定义确定 点 M 的轨迹及轨迹方程. [规范板书] 解 设动圆 M 的半径为 r. (1) 因为☉C 与☉M 内切,点 A 在☉C 外, 所以 MC=r-错误!未找到引用源。,MA=r,因此有 MA-MC=错误!未找到引用源。, 所以点 M 的轨迹是以 C,A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程是 2x2-错误!未找到引用源。 =1 错误!未找到引用源。. (2) 因为☉M 与☉C1,☉C2 均外切, 所以 MC1=r+1,MC2=r+2,因此有 MC2-MC1=1, 所以点 M 的轨迹是以 C2,C1 为焦点的双曲线的上支,即 M 的轨迹方程是 4y2-错误!未找到引用 源。=1 错误!未找到引用源。. (3) 因为☉M 与☉C1 外切,且☉M 与☉C2 内切, 所以 MC1=r+3,MC2=r-1,因此 MC1-MC2=4, 所以点 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的双曲线的右支,即 M 的轨迹方程是错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=1(x≥2). [题后反思] 定义法是求双曲线标准方程的基本方法,需熟练掌握. *【例 3】 已知 A,B 两地相距 800 m,一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s,设声速为 340 m/s. (1) 爆炸点应在什么样的曲线上? (2) 求曲线的方程.[5] [处理建议] 引导学生联想双曲线的定义,并建立合适的直角坐标系.
(例 3) [规范板书] 解 (1) 由声速及 A,B 两处听到爆炸声的时间差,可知 A,B 两处与爆炸点的距离的 差,因此爆炸点应位于以 A,B 为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远,所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上. (2)如图,建立直角坐标系 xOy,使 A,B 两点在 x 轴上,并且点 O 与线段 AB 的中点重合.设爆炸点 P 的坐标为(x,y), 则 PA-PB=340×2=680,即 2a=680,a=340. 又 AB=800, 所以 2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400. 因为 PA-PB=680>0,所以 x>0.
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故所求曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(x>0). [题后反思] 解此类实际问题的关键是“能根据条件联想、构造出合适的数学模型”,这种构造转 化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言,必须熟悉其相关定义.定义既是建构数学 知识的基石,也是解答数学问题的重要工具.因此,在研究某些几何或实际问题时,若能活用双曲 线的定义,则不仅可深化学生对双曲线概念的理解,还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例 亦可扩展为“确定爆炸点的位置”,参见本课时学生用书(课后练习本)第 12 题. 四、 课堂练习 1.写出下列曲线的焦点坐标: (1)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1;(2)3x2-y2=1; (3)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=-1;(4)错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。=1; (5)3x2+y2=12. 解 (1)(±错误!未找到引用源。,0);(2)错误!未找到引用源。; (3)(0,±4);(4)(±1,0);(5)(0,±2 错误!未找到引用源。). 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)与双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 有公共焦点,且过点(3 错误!未找到 引用源。,2); (2)过点 P1(3,-4 错误!未找到引用源。)和 P2 错误!未找到引用源。,且中心在坐标原点,焦点在坐 标轴上. 解法一 (1)设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0), 则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 所以双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. (2)若双曲线的焦点在 y 轴上,设其标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1(a>0,b>0). 因为点 P1,P2 在双曲线上, 所以错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 所以所求双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 若双曲线的焦点在 x 轴上,设其标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1(a>0,b>0). 依题意得错误!未找到引用源。此时无解. 综上,双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 解法二 (1) 设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(16-k>0,4+k>0), 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, 解得 k=4. 所以双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. (2) 设双曲线的方程为 mx2-ny2=1(mn>0). 依题意得错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 故所求双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 3.已知关于 x,y 的二次方程(4-m)x2+(16-m)y2=m2-14m+48 表示双曲线,则 m 的取值范围是 {m|4<m<6 或 6<m<8 或 8<m<16}. 提示 由题意知错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 所以 4<m<6 或 6<m<8 或 8<m<16. 4.若椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 与双曲线 x2-错误!未找到引用源。=1 有相同的焦点,且椭圆与双曲线交于点 P 错误!未找到引用源。,求椭圆及双曲线的方程.
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解 两方程联立消去 y,得错误!未找到引用源。x2=m+b,代入 P 错误!未找到引用源。,得错误! 未找到引用源。·错误!未找到引用源。=m+b,即 8m=b.又椭圆与双曲线有相同的焦点,所以 10-m=1+b,即错误!未找到引用源。解方程组得错误!未找到引用源。故椭圆的方程为错误!未找 到引用源。+y2=1,双曲线的方程为 x2-错误!未找到引用源。=1. 五、 课堂小结 1. 双曲线的标准方程和标准方程的求法(定义法、待定系数法). 2. 在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决.

第 7 课时 双曲线的几何性质(1)
教学过程
一、 问题情境 问题 1 前面的课根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪几种性质? 解 范围、对称性、顶点、离心率. 问题 2 椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的具体几何性质是什么? 问题 3 现在能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗? 二、 数学建构 类比椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线错误! 未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程 序是:学生:自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论(与大家交流); 教师:启发诱导→点拨释疑→补充完善) (1)范围:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围. 双曲线在两条直线 x=±a 的外侧.注意:从双曲线的方程如何验证? 从标准方程错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 可知错误!未找到引用源。-1=错误! 未找到引用源。,由此双曲线上点的坐标都适合不等式错误!未找到引用源。≥1,即 x2≥a2,|x|≥a, 即双曲线在两条直线 x=±a 的外侧. (2)对称性:双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 关于每个坐标轴和原点都是对 称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的 对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. (3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点. 在双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的方程中,对称轴是 x 轴、y 轴,所以令 y=0 得 x=±a,因此双曲线和 x 轴有两个交点 A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。=1 的顶点,线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长为 2a,a 叫做双曲线的实 半轴长.令 x=0,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点 B1,B2,它们 的连线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长为 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双 曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线的性质:①渐近线方程为 y=±x;②渐近线互相垂直;③离心率 e=错误!未找到引用源。. 等轴双曲线可以设为 x2-y2=λ(λ≠0),当 λ>0 时焦点在 x 轴上,当 λ<0 时焦点在 y 轴上. 列表:

程 性质



错误!未找到引

用源。+错误! 未找到引用源。

错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)

=1(a>b>0)

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范围 对称性 顶点 离心率

-a≤x≤a,-b≤y≤b x≥a 或 x≤-a,y∈R

关于坐标轴、原

点都是对称的 (对称轴、对称 关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)

中心)



个,A1(-a,0),A2(a ,0),B1(0,-b),B2(

两个,A1(-a,0),A2(a,0)

0,b)

e=错误!未找到

引用源。<1,反 映椭圆圆扁程

e=错误!未找到引用源。>1



注意:在作图时,我们常常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要注意它们并非是双曲 线的顶点.

(图 1)
(4)渐近线的发现与论证:根据双曲线的上述性质,能较为准确地把双曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=1 画出来吗?(能) 通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很 清楚. 我们能较为准确地画出曲线 y=错误!未找到引用源。,这是为什么?(因为当双曲线伸向远处时, 它与 x 轴、y 轴无限接近)此时,x 轴、y 轴叫做曲线 y=错误!未找到引用源。的渐近线.

(图 2)
对渐近线并不陌生,例如: 直线 x=kπ+错误!未找到引用源。(k∈Z)是正切函数 y=tanx 图象的渐近线. 双曲线有没有渐近线呢?如果有,又该是怎样的直线呢?
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引导猜想:在研究双曲线范围时,由双曲线的标准方程错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=1 可解出 y=±错误!未找到引用源。=±错误!未找到引用源。x 错误!未找到引用源。. 当 x 无限增大时,错误!未找到引用源。就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线 y=±错误!未找到 引用源。x 错误!未找到引用源。与直线 y=±错误!未找到引用源。x 无限接近.[1] 这使我们有理由猜想直线 y=±错误!未找到引用源。x 为双曲线的渐近线. 直线 y=±错误!未找到引用源。x 恰好是过实轴端点 A1,A2,虚轴端点 B1,B2,作平行于坐标轴的直 线 x=±a,y=±b 所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐 近线越来越接近呢? 显然,根据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了. 学生探讨证明方法,教师可给予适当提示,寻找不同的证明方法,找学生板演其推理过程,对于基 础好一点的学生,可能会得到如下三种证法.[2] 证法一 如图 2,设 M(x0,y0)为第一象限内双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 上的任一点,则 y0=错误!未找到引用源。,M(x0,y0)到渐近线 ay-bx=0 的距离为 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(x0-错误!未找到引用源。)= 错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。.点 M 向远处运动,随着 x0 增大,d 就逐渐减小,点 M 就无限接近于直线 y=错误!未找到引用源。x. 证法二 如图 3,设 Q 为渐近线上与 M(x0,y0)有相同横坐标的点,于是 yQ=错误!未找到引用源。 x0. MQ=yQ-y0=错误!未找到引用源。(x0-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。·错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。.点 M 沿曲线向远处运动,随着 x0 增大,MQ 逐渐减小.
(图 3)
证法三 如图 3,设 P 为渐近线上与 M(x0,y0)有相同纵坐标的点,于是 xP=错误!未找到引用源。y0,x0=a 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,MP=x0-xP=错误! 未找到引用源。(错误!未找到引用源。-y0)=错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。.点 M 沿曲线向远处运动,随着 x0 增大,MP 逐渐减小. 解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题,从而可较准确地画出双曲线,比如画双曲线错误!未找 到引用源。-错误!未找到引用源。=1,先作双曲线矩形,画出其渐近线,就可随手画出比较精确的 双曲线.[3] (5)离心率:与椭圆一样,双曲线的焦距与实轴长的比值 e=错误!未找到引用源。叫做双曲线的离 心率. 显然,e>1.a,b,c,e 间的关系:e=错误!未找到引用源。>1,c2=a2+b2,e=错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由图 3 可知,双曲线夹在两条渐近线 y=±错误!未找到引用源。x 之间,这说明错误!未找到引用源。 的大小决定了双曲线开口的大小.错误!未找到引用源。越大,即 e=错误!未找到引用源。越大, 双曲线的开口就越大;错误!未找到引用源。越小,即 e=错误!未找到引用源。越小,双曲线的开口 就越小.
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(6)画双曲线的草图具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲线的顶点及第一象限内任意 一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出 双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 三、 数学运用 【例 1】 (教材第 43 页例 1)求双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的实轴长、 虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程.[4] (见学生用书 P27) [处理建议] 先请学生回顾双曲线的标准方程的结构特点,得出 a,b,c 的值,再对照几何性质解 题. [规范板书] 解 由题意知 a2=4,b2=3,所以 a=2,b=错误!未找到引用源。,c=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 所以实轴长为 2a=4,虚轴长为 2b=2 错误!未找到引用源。,焦距为 2c=2 错误!未找到引用源。, 焦点坐标为(±错误!未找到引用源。,0),离心率为错误!未找到引用源。,渐近线方程为 y=±错误! 未找到引用源。x. [题后反思] 学生易将实轴长与实半轴长、虚轴长与虚半轴长混淆,此处需提醒学生注意. 【例 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)实轴长为 4 错误!未找到引用源。,且过点 A(2,-5); (2)与双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 有共同渐近线,且过点(-3,2 错误!未 找到引用源。); (3)与椭圆 x2+4y2=64 共焦点,且一条渐近线方程为 x-错误!未找到引用源。y=0.[5] (见学生用 书 P28) [处理建议] 先请学生回顾椭圆的标准方程的基本求法,然后类比得出求双曲线标准方程的基 本方法. [规范板书] 解 (1)当焦点在 x 轴上时,设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引 用源。=1,又其过点 A(2,-5),代入无解; 当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1,又其过点 A(2,-5),代入解得 b2=16. 所以双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. (2)解法一 双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的渐近线方程为 y=±错误!未 找到引用源。x, 令 x=-3,则 y=±4,因为 2 错误!未找到引用源。<4,所以点(-3,2 错误!未找到引用源。)在射线 y=-错 误!未找到引用源。x(x≤0)及 x 轴负半轴之间,所以双曲线焦点在 x 轴上. 设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0), 则错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 所以双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 解法二 设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ(λ≠0), 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ, 所以 λ=错误!未找到引用源。, 所以双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. (3)解法一 由于双曲线的一条渐近线方程为 x-错误!未找到引用源。y=0,则另一条渐近线方程 为 x+错误!未找到引用源。y=0. 可设双曲线的方程为 x2-3y2=λ(λ>0),即错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, 由椭圆方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 可知,c2=48. 又双曲线与椭圆共焦点,则 λ+错误!未找到引用源。=48.
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所以 λ=36,故所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 解法二 由双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=1(16<λ<64). 由渐近线方程 x-错误!未找到引用源。y=0 可得,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以 λ=28. 故所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. [题后反思] (1) 渐近线方程为错误!未找到引用源。±错误!未找到引用源。=0 的双曲线方程可 表示为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ(λ≠0); (2)与双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 共渐近线的双曲线方程为错误!未找 到引用源。-错误!未找到引用源。=λ(λ≠0).当 λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上.与双 曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 共焦点的双曲线方程为错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。=1(a2+k>0,b2-k>0),与椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(b2<k<a2). 变式 求离心率为错误!未找到引用源。,虚半轴长为 2 的双曲线的标准方程. [规范板书] 解 由题意知 b=2,e=错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。,所以 a2=错误!未找到引用源。, 所以所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。=1.
(例 3(1))
*【例 3】 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图(1)), 它的最小半径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径为 25 m,高为 55 m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程.(结果精确到 1 m)[6] [处理建议] 建立合适的直角坐标系是解本题的关键.需着力启发学生注意: 通风塔有三个特 殊的截口圆:上口、下口、最小的一个截口,最小截口圆的圆心是双曲线的中心,直径是双曲线的 实轴.因此,以最小截口直径所在直线为 x 轴,圆心为坐标原点建立直角坐标系,则双曲线的方程 具有最简单的形式. [规范板书] 解 如图(2),建立直角坐标系 xOy,使小圆的直径 AA'在 x 轴上,圆心与坐标原点重合. 这时,上、下口的直径 CC',BB'平行于 x 轴,且 CC'=26,BB'=50.
(例 3(2))
设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0). 由题及建立的坐标系可知点 C 的坐标为(13,y),点 B 的坐标为(25,y-55).因为点 B,C 在双曲线上,
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所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, ① 且错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. ② 由②得 y=错误!未找到引用源。 (负值舍去). 代入①,得错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, 解得 b≈25. 所以所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 本例是一个有实际意义的曲线问题.解这类问题时,需要做好以下两点:(1)选择适 当的坐标系;(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 四、 课堂练习 1.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的错误!未找到引用源。倍,且一个顶点坐标为 (0,2),则双曲线的标准方程是错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 提示 由条件可知双曲线的焦点在 y 轴上,a=2,则 2+b=错误!未找到引用源。c.又 c2=4+b2,所以 (2+b)2=8+2b2,即 b2-4b+4=0,解得 b=2. 2.以直线 y=±错误!未找到引用源。x 为渐近线,一个焦点坐标是(0,2)的双曲线方程为错误!未找到 引用源。-x2=1. 提示 由条件可知双曲线的焦点在 y 轴上,因此可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。 -x2=λ2(λ≠0),因此 4λ2=4,解得 λ2=1,故所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-x2=1. 3.若双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的 距离等于焦距的错误!未找到引用源。,则该双曲线的渐近线方程是 x±错误!未找到引用源。y=0. 提示 双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线 的距离为 b.由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得 b=错误!未找到引用源。c,即 b2= 错误!未找到引用源。(a2+b2),可解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,因此其渐近 线方程为 x±错误!未找到引用源。y=0. 4.若双曲线 tx2-y2+1=0 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,则双曲线的离心率是 错误!未找到 引用源。 . 提示 双曲线 tx2-y2+1=0 的渐近线方程为 y=± 错误!未找到引用源。x,所以 错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。,所以 t=错误!未找到引用源。,所以所求双曲线的方程为 y2-错误! 未找到引用源。=1. 五、 课堂小结 1. 双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等). 2. 已知双曲线的渐近线方程为错误!未找到引用源。± 错误!未找到引用源。=0 时,可设双曲线 的方程为错误!未找到引用源。- 错误!未找到引用源。=λ(λ>0 时焦点在 x 轴上,λ<0 时焦点在 y 轴上). 第 8 课时 双曲线的几何性质(2)
教学过程
上节课,我们以焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1 为例,研究了双曲线的简单几何性质,请完成以下的表格:
双曲线 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
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定义

平面内,到两个定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为常数 2a(0<2a<F1F2)的点的轨迹叫 做双曲线,两个定点是双曲线的焦点,常数 2a 为实轴长.

错误!未找到

标准方程

引用源。误!未找到 用源。=1

错 引错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1
(a>0,b>0)

(a>0,b>0)

实轴长 2a

虚轴长 2b

焦距 2c

基本量



a2+b2=c2

关系

离心率

几 范围 x≥a 或 x≤-a,



y∈R

性顶 标



坐 (±a,0)



焦点坐



(±c,0)

y≥a 或 y≤-a, x∈R (0,±a)
(0,±c)

渐近 方程

线y到=±引错用误源!。未x找y=±错误!未找到引用源。x

对称 对 中心 (0,0) 称
对称 性 轴 x 轴、y 轴

双曲线

上的点

到中心 距 离 的 (从此以下本节课研究后补充)

取值范



双曲线

一支上

的点到

该侧焦

点的距

离的取

值范围

双曲线

一支上

的点到

异侧焦

点的距

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离的取 值范围
对照椭圆,双曲线还有几个最值需要我们研究(先说出你的猜想,然后再作判断或证明). 一、 数学运用 【例 1】 (教材第 43 页例 2)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16,离心率为 错误!未找到引用源。,求双曲线的方程.[1](见学生用书 P29) [处理建议] 本题的基本量 a,b,c 之间的关系比较清晰,引导学生首先求出 a,b,然后判断焦点的 位置. [规范板书] 解 根据题意知 2c=16,所以 c=8.又 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 a=6,所以 b2=c2-a2=28. 又因为中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,所以双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。=1. [题后反思] 本例是一道简单的、典型的由双曲线的几何性质确定其标准方程的问题,熟练掌握 双曲线标准方程的基本量 a,b,c,e 间的关系是解此类问题的关键. 变式 1 已知双曲线的焦点在 y 轴上,焦距为 16,渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,求双 曲线的方程. [规范板书] 解 因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=1,则渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x. 因为渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即 a2=3b2.又 a2+b2=c2=64,解得错误!未找到引用源。 故双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 变式 2 已知双曲线的焦距为 16,渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,求双曲线的标准方 程. [规范板书] 解 ①若双曲线的焦点在 x 轴上,则可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错 误!未找到引用源。=1,所以渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x. 因为渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 b2=3a2.又 a2+b2=c2=64,所以错误!未找到引用源。 故双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. ②若双曲线的焦点在 y 轴上,则可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1,则渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x. 因为渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 a2=3b2.又 a2+b2=c2=64,解得错误!未找到引用源。 故双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 综上,所求双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=±1. 变式 3 求一条渐近线方程为 3x+4y=0,且经过点错误!未找到引用源。的双曲线的标准方程. [规范板书] 解 依题可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ(λ≠0). 又双曲线经过点错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ,解得 λ=1,因此双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 【例 2】 已知双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为错误!未找到引用源。c,求该双曲线的离心率. (见学 生用书 P30) [处理建议] 利用点到直线的距离公式寻找关于 a,c 的关系式,即可求得离心率 e.
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[规范板书] 解 因为直线 l 过(a,0),(0,b)两点, 所以直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0. 由原点到直线 l 的距离为错误!未找到引用源。c,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 c,故 3c2(a2+b2)=16a2b2. 将 b2=c2-a2 代入上式,整理得 3c4-16a2c2+16a4=0. 两边同除以 a4 后令错误!未找到引用源。=x,得 3x2-16x+16=0, 解得 x=4 或 x=错误!未找到引用源。. 因为 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故 e=2 或 e=错误!未找到引用源。, 又由条件 0<a<b 知 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,故 e= 错误!未找到引用源。舍去,所以 e=2. [题后反思] 在方程的求解过程中适当换元可以简化计算,另外要关注题中的约束条件 0<a<b. *【例 3】 已知 F1,F2 是双曲线错误!未找到引用源。-y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满 足∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积.[2] [处理建议] 请学生类比椭圆相关问题进行分析(双曲线的定义结合余弦定理). [规范板书] 解 设 PF1=m,PF2=n,则错误!未找到引用源。易得 mn=2. 故错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。mn=1. [题后反思] 若把 90°换成 60°呢? 方法不变,同样应用双曲线的定义结合余弦定理可得错误!未找到引用源。易得 mn=4. 故错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。mnsin60°=错误!未找到引用源。. 此类问题属双曲线的焦点三角形问题,可类比椭圆相关问题来解决,其解决方法为:在△F1PF2 中, 应用双曲线的定义及余弦定理(或正弦定理). 二、 课堂练习 1.已知曲线错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,当 m∈[-2,-1]时,该曲线的离心率 e 的取值范围是 错误!未找到引用源。 . 提示 e=错误!未找到引用源。,m∈[-2,-1]. 2.求中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,一个焦点坐标是(-4,0),一条渐近线方程是 3x-2y=0 的双曲 线的方程及离心率. 解 因为双曲线的一条渐近线方程是 3x-2y=0, 所以可设双曲线的方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ(λ≠0). 因为双曲线的一个焦点坐标是(-4,0), 所以由错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(λ>0),得 4λ+9λ=16. 所以 λ=错误!未找到引用源。. 所以双曲线方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, 离心率 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 3.已知双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的一条渐近线方程为 y=错误!未找 到引用源。x,则该双曲线的离心率 e 为错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。. 提示 分 m>0,n>0 和 m<0,n<0 两种情况讨论. 4.已知 F 是双曲线 x2-a2y2=a2(a>0)的右焦点,P 为双曲线右支上一点,则以 PF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 的位置关系是 外切 . 提示 如图,设 A 为双曲线的左焦点,B 为 PF 的中点,则 2OB=AP=PF+2a,即 OB=错误!未找到引用 源。PF+a,圆心距等于两个圆的半径之和.
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(第 4 题)
三、 课堂小结 1.双曲线的离心率、渐近线方程之间的关系. 2.双曲线的其他问题与椭圆类似,应将椭圆、双曲线的类似问题结合在一起来理解、掌握. 第 9 课时 抛物线的标准方程
教学过程 一、 问题情境 回顾椭圆、双曲线标准方程的推导过程,结合抛物线的定义,提出问题: 如何建立直角坐标系来 推导抛物线的方程? 二、 数学建构 1.回顾抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 注:(1) 定点 F 不在这条定直线 l 上; (2) 若定点 F 在这条定直线 l 上,则点的轨迹是什么? 2.推导抛物线的标准方程
(图 1) 如图 1,建立直角坐标系,设 KF=p(p>0),那么焦点 F 的坐标为错误!未找到引用源。,准线 l 的方程 为 x=-错误!未找到引用源。.设抛物线上的点 M(x,y),则有错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。,化简得 y2=2px(p>0). 方程 y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程. 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点是 F 错误!未找到引用源。,准线方程是 x=-错误! 未找到引用源。 . 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,如图,分别建立直角坐标系.设出 KF=p(p>0),则图象对应的抛物线标准方程依次如下:
(图 2)
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(图 3)
(图 4) 如图 2,x2=2py(p>0),焦点:F 错误!未找到引用源。,准线 l:y=-错误!未找到引用源。; 如图 3,y2=-2px(p>0),焦点:F 错误!未找到引用源。,准线 l:x=错误!未找到引用源。; 如图 4,x2=-2py(p>0),焦点:F 错误!未找到引用源。,准线 l:y=错误!未找到引用源。. 不同学生会有不同的坐标系的建立方法,因此也可以将四种不同的坐标系的建立方法都写出后, 分别请同学上黑板完成方程的推导.

(图 5)

由第一个图得到焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 y2=2px;

由第二个图得到焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 y2=-2px;

由第三个图得到焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 x2=2py;

由第四个图得到焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 x2=-2py.

这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下:

图 形 标准方程

焦点坐标 准线方程

图1

y2=2px(p>0)

x=-错误!未找到引用源。

图3

y2=-2px(p>0)

x=错误!未找到引用源。

图2

x2=2py(p>0)

y=-错误!未找到引用源。

图4

x2=-2py(p>0)

y=错误!未找到引用源。

问题 1 这四个方程都是抛物线的标准方程,那么根据方程能否区分焦点的位置?(在 x 轴上, 还是 y 轴上?在正半轴上,还是负半轴上?) 引导学生得出结论:一次定轴(焦点所在的坐标轴),符号定向. (1)焦点在 x 轴上时,标准方程为 y2=2mx,焦点坐标为错误!未找到引用源。,准线方程为 x=-错误! 未找到引用源。;
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(2)焦点在 y 轴上时,标准方程为 x2=2my,焦点坐标为错误!未找到引用源。,准线方程为 y=-错误! 未找到引用源。. m 中含有“符号”,|m|表示焦点到准线的距离. 三、 数学运用 【例 1】 已知抛物线的方程为 y=2ax2(a<0),写出它的焦点坐标及准线方程.[1] ( 见 学 生 用 书 P31) [处理建议] 先引导学生将抛物线的一般方程化为标准方程,再让学生根据定义自主求解. [规范板书] 解 将抛物线方程变形为 x2=错误!未找到引用源。,因为 a<0,所以它表示的曲线是 对称轴为 y 轴、开口向下的抛物线,其标准方程为 x2=-2py(p>0),即 2p=-错误!未找到引用源。, 得错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,故其焦点坐标为错误!未找到引用源。,准线方 程为 y=-错误!未找到引用源。. [题后反思] 解题时,应首先检查所给方程是否为标准形式,只有将方程化为标准形式之后,才能 顺利确定相关的基本量. 【例 2】 若抛物线的焦点 F 在 x 轴上,点 A(m,-3)在抛物线上,且 AF=5,求该抛物线的标准方程.[2]
(见学生用书 P32) [处理建议] 引导学生先用待定系数法设出抛物线的方程,再根据其定义将点到焦点的距离转 化为点到准线的距离,最后由点在抛物线上,联立方程求解. [规范板书] 解 设抛物线的方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0). 当 y2=2px(p>0)时,由点 A(m,-3)在抛物线上,得(-3)2=2pm,即 m=错误!未找到引用源。. ① 再由抛物线的定义,得 m+错误!未找到引用源。=5. ② 联立方程①②,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=5,即 p2-10p+9=0,解得 p=1 或 9, 此时抛物线的标准方程为 y2=2x 或 y2=18x. 同理可求得 y2=-2x 或 y2=-18x. 故所求抛物线的标准方程为 y2=2x 或 y2=-2x 或 y2=18x 或 y2=-18x. [题后反思] 本例采用待定系数法来求抛物线的标准方程,需熟练掌握. 【例 3】 已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是抛物线上两点,且 AF+BF=3,求线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离. (见学生用书 P32) [处理建议] 引导学生利用抛物线的定义将与焦点有关的线段长度问题进行转化,再结合图形 求解.
(例 3) [规范板书] 解 因为 y2=x,所以 p=错误!未找到引用源。.如图,过点 M 作 MM1⊥准线 l 于点 M1,交 y 轴于点 N,过点 A 作 AA1⊥准线 l 于点 A1,过点 B 作 BB1⊥准线 l 于点 B1.于是有 MN=MM1错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(AA1+BB1)-错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。(AF+BF)-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。×3-错误!未找到引用源。×错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。. [题后反思] 部分与抛物线焦点有关的线段长度问题利用定义转化后,才能顺利建立关系式. *【例 4】 平面上的动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程.
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[处理建议] 先让学生根据题意直接求解,再根据抛物线的定义引导学生用定义法求解. [规范板书] 解法一 (直译法)设点 P(x,y),则由题意可得错误!未找到引用源。-|x|=1, 化简整理得 y2=2|x|+2x. 当 x≤0 时,y=0;当 x>0 时,y2=4x. 综上,动点 P 的轨迹方程为 y2=4x 和 y=0(x≤0). 解法二 (定义法)①由题意可得平面上的动点 P 到定点 F(1,0)的距离与 P 到 x=-1 的距离相等, 再根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹方程为 y2=4x; ②射线 y=0(x≤0)上的动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,也符合题意. 综上,动点 P 的轨迹方程为 y2=4x 和 y=0(x≤0). [题后反思] 采用定义法求轨迹方程时,往往需要兼顾曲线的一般性与特殊性,否则极易漏解.画 草图来帮助分析不失为好的解题策略. 变式 动点 P 到点 A(0,8)的距离比到直线 l:y=-7 的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程. [规范板书] 解 由题意可得动点 P 到点 A(0,8)的距离与到直线 l:y=-8 的距离相等,因此点 P 的 轨迹为以 A 为焦点,直线 y=-8 为准线的抛物线,故所求的轨迹方程为 x2=32y. 四、 课堂练习
1.抛物线 x=4ay2 的焦点坐标是错误!未找到引用源。. 2.已知抛物线经过点 P(4,-2),则其标准方程为 y2=x 或 x2=-8y . 提示 ①焦点在 x 轴上,设抛物线的方程为 y2=mx,将点的坐标代入方程得到 m=1;②焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x2=my,将点的坐标代入方程得到 m=-8. 3.与椭圆 4x2+5y2=20 有相同的焦点,且顶点在坐标原点的抛物线的方程是 y2=±4x . 4. 已知抛物线的顶点在坐标原点 O,焦点 F 在 x 轴上,过 F 作垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点.若△OAB 的面积等于 4,求此抛物线的标准方程. 解 当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时,设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),易得 FA=FB=p,所以错 误!未找到引用源。·2p·错误!未找到引用源。=4,解得 p=2 错误!未找到引用源。,所以抛物线的 方程为 y2=4 错误!未找到引用源。x;同理,当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时,抛物线的方程为 y2=-4 错误!未找到引用源。x.故所求抛物线的方程为 y2=±4 错误!未找到引用源。x. 五、 课堂小结
1.抛物线的四种形式,及其分别对应的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程. 2.抛物线的标准方程的求法是“先定型,后计算”.所谓“定型”是指确定类型,也就是确定抛物线的 焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程;“计算”就是 指根据题目的条件求出方程中参数 p 的值. 第 10 课时 抛物线的几何性质(1)

教学过程

一、 问题情境

上节课,我们学习了抛物线的定义和标准方程,下面请同学回忆抛物线的定义及其标准方程,以

及和方程对应的焦点坐标、准线方程.(板书时,有意识填在表格中)

在研究标准方程的同时得到抛物线的焦半径公式,即抛物线上的任意一点 P(x,y)到焦点的距

离.(对应填在表格中)

对照前面椭圆和双曲线的研究,下面我们研究什么呢?——抛物线的简单几何性质.(板书)

二、 数学建构

1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)

标准方



图形

顶点 对 称焦点 准线 坐标 轴 坐标 方程

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y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)

(0,0) x 轴

x=-错误!未找到引用源。

(0,0) x 轴

x=错误!未找到引用源。

(0,0) y 轴

y=-错误!未找到引用源。

(0,0) y 轴

y=错误!未找到引用源。

注意强调 p 的几何意义:表示焦点到准线的距离. 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线和抛物线交于 M1 错误!未找到引用 源。,M2 错误!未找到引用源。两点,线段 M1M2 叫做抛物线的通径.不难求得抛物线的通径长为 2p. 2.与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有下列特点: (1)抛物线可以无限延伸,但无渐近线. (2)抛物线只有一个顶点、一条对称轴;没有对称中心,它不是中心对称图形;离心率为 1,是固定 的. (3)抛物线的开口大小与离心率无关,与 p 的大小有关,p 越大则开口越大,反之则开口越小. (4)抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为错误!未找到引用 源。. 三、 数学运用
【例 1】 过抛物线 y2=2mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交该抛物线于 A,B 两点,且 AB=6,求 m 的值. (见学生用书 P33)
[处理建议] 引导学生通过通径的定义自主解题. [规范板书] 解 由题意可知 AB 为抛物线的通径,且 AB=6, 所以 2|m|=6,即 m=±3. [题后反思] 本例由抛物线的几何性质来求参数的值,其中涉及抛物线的通径,属基础题. 【例 2】 过抛物线 y=4x2 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 y1+y2=5,求 AB 的长. (见学生用书 P34) [处理建议] 利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化,从而使问题得以解决. [规范板书] 解 因为 y=4x2,即 x2=错误!未找到引用源。y,故 2p=错误!未找到引用源。,即 p= 错误!未找到引用源。.

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(例 2) 如图,过点 A 作 AA1 垂直准线于点 A1,过点 B 作 BB1 垂直准线于点 B1. 于是 AB=AF+BF=AA1+BB1=y1+错误!未找到引用源。+y2+错误!未找到引用源。=y1+y2+p=5+错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。. [题后反思] 凡是求过抛物线焦点的弦的问题,均可利用抛物线的定义进行转化. 【例 3】 (教材第 49 页例 2)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径为 197 mm, 反光曲面的顶点到灯口的距离为 69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时, 经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(结果精确到 1 mm)(见学生用书 P34) [处理建议] 引导学生自行读题,分析题设条件,建立适当的坐标系,独立完成问题,旨在培养学 生的阅读理解能力和仔细审题的意识.
(例 3) [规范板书] 解 如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系 xOy,设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),灯应安装在其焦点 F 处.在 x 轴上取一点 C,使 OC=69,过 C 作 x 轴的垂线,交抛物线于 A,B 两点,AB 就是灯口的直径,即 AB=197,所以点 A 的坐标为错误!未找到引用源。.将点 A 的坐标 代入方程 y2=2px,解得 p≈70.3,它的焦点坐标为(35,0).因此,灯泡应安装在距顶点约 35 mm 处. [题后反思] 本例是一个有实际意义的抛物线应用问题.解此类问题时,需解决两个问题:(1) 建 立适当的坐标系;(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来. *【例 4】 已知 A,B 为抛物线 y2=4x 上的点,F 为抛物线的焦点.若错误!未找到引用源。=2 错误! 未找到引用源。,求直线 AB 的方程.[1] [处理建议] 显然,线段 AB 为过焦点的弦,运用抛物线的定义将 AB 转化为 AM+BN,再根据题设条 件求解直角梯形的底角. [规范板书] 解 当直线 AB 的倾斜角为锐角时,设抛物线的准线为 l. 因为向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。同向,所以 AF=2BF,所以设 BF=m,则 AF=2m. 作 AM⊥l 于 M,作 BN⊥l 于 N.
(例 4) 由抛物线的定义可知,AM=2m,BN=m.
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过点 B 作 BC⊥AM 于 C,在 Rt△ABC 中,cos∠CAB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,tan ∠CAB=2 错误!未找到引用源。. 由抛物线对称性可知,直线 AB 的方程是 y=±2 错误!未找到引用源。(x-1), 即 2 错误!未找到引用源。x±y-2 错误!未找到引用源。=0. [题后反思] 本题借助于抛物线的定义将过焦点的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决.抛 物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系.灵活运用定义, 往往可以简化运算.特别是在解决有关焦点弦问题时,其思路简洁、明了,值得关注. 四、 课堂练习 1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线 3x-4y-12=0 上,则此抛物线的方程 为 y2=16x 或 x2=-12y. 提示 若焦点在 x 轴上,则由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。即焦点坐标为(4,0), 此时抛物线的方程为 y2=16x;若焦点在 y 轴上,则由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用 源。即焦点坐标为(0,-3),此时抛物线的方程为 x2=-12y.综上,所求抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-12y. 2. 已知抛物线型拱桥的拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.当水面宽 4 错误!未找到引用源。 m 时,水 面下降了 2 m. 提示 以拱顶为坐标原点,水平直线为 x 轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),则 点(2,-2)在抛物线上,解得 p=1,故抛物线的方程为 x2=-2y.当 x=2 错误!未找到引用源。时,y=-4,故 水面下降了 2 m. 3.有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2 错误!未找到引用源。x 上,另一个顶点是坐标原点, 则这个三角形的边长是 12 . 提示 由对称性,设正三角形为△AOB,A(x1,y1),B(x1,-y1).由∠AOx=30°,得错误!未找到引用源。 =tan30°=错误!未找到引用源。,即 y1=错误!未找到引用源。x1,代入 y2=2 错误!未找到引用源。x 得 x1=6 错误!未找到引用源。,所以 OA=错误!未找到引用源。=12. 4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(-3,m)到焦点的距离为 5,求此抛 物线的方程. 解 设抛物线的方程为 x2=2ay(a≠0), 则准线方程为 y=-错误!未找到引用源。. 由题意得错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 或错误!未找到引用源。 即得抛物线的方程为 x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y. 五、 课堂小结 1. 本节课学习了抛物线的几何性质. 2. 借助于抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,从而解决焦 点弦等问题.
第 11 课时 抛物线的几何性质(2)
教学过程
一、 数学运用 【例 1】 若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,P 是抛物线上一动点,求当 PA+PF 取得 最小值时点 P 的坐标.[1] (见学生用书 P35) [处理建议] 显然,无法直接求 PA+PF 的最小值,问题需要转化.引导学生先画图、分析、讨论,再
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借助于抛物线的定义将 PF 转化为 PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段”解决问题. [规范板书] 解 如图,过点 P 向准线作垂线,垂足为 Q,则由抛物线的定义可知 PF=PQ,
(例 1) 所以 PA+PF=PA+PQ. 于是,问题转化为求当 PA+PQ 取得最小值时点 P 的坐标,即在抛物线上求一点 P,使其到点 A 和准 线的距离之和最小. 由点到直线距离的最小性可知,其最小值是过点 A 向准线 x=-错误!未找到引用源。作垂线(垂足 为 B)时垂线段 AB 的长度. 所以当 PA+PF 最小时,点 P 的纵坐标为 2,从而得点 P 的坐标是(2,2). [题后反思] 借助于抛物线的定义将 PF 等量转化为 PQ 是求解本题的关键,这样的转化在抛物 线问题中随处可见,需掌握. 变式 已知 P 是抛物线 y2=4x 上一个动点,F 是其焦点.若点 B 的坐标为(3,2),求 PB+PF 的最小值. [规范板书] 解 如图,过点 P 作 PC 垂直于准线,垂足为 C,则由抛物线的定义可知 PC=PF,所以 PB+PF=PB+PC.
(变式) 过 B 作 BQ 垂直于准线,垂足为 Q,则由点到直线的最短距离是垂线段知,PB+PC≥BQ=4.故其最小 值为 4.
(例 2) 【例 2】 求抛物线 y2=4x 上一动点 P 到点 A(-1,1)的距离与它到直线 x=-1 的距离之和的最小值.
(见学生用书 P36) [处理建议] 先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,再根 据图形求解. [规范板书] 解 设动点 P 到直线 x=-1 的距离为 d,抛物线的焦点为 F,则由抛物线的定义知 PF=d,F(1,0). 于是有 PA+d=PA+PF≥AF=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,
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当且仅当 P,A,F 三点共线时“=”成立,因此距离之和的最小值为错误!未找到引用源。. [题后反思] 先利用定义将距离进行转化,再利用不等式 PA+PF≥AF 解决最值问题. 【例 3】 在抛物线 y2=2x 上求一点 P,使其到直线 l:x+y+4=0 的距离最小,并求最小距离.[2]
(见学生用书 P36) [处理建议] 先引导学生画图、分析,再对比讨论各种解法. [规范板书] 设 P(x,y)为抛物线 y2=2x 上任意一点,点 P 到 l 的距离为 d,则 d=错误!未找到引用源。. 解法一 令 t=x+y,设直线 x+y=t 与抛物线 y2=2x 有公共点. 由错误!未找到引用源。得 y2+2y-2t=0. 令 Δ≥0,可得 t≥-错误!未找到引用源。,所以 x+y+4≥错误!未找到引用源。,故 d≥错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。,即 dmin=错误!未找到引用源。.当且仅当 x+y=-错误!未找到引用源。 时,d 取最小值. 由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 即当点 P 的坐标为错误!未找到引用源。时,d 有最小值错误!未找到引用源。. 解法二 由平面区域知识可得 x+y+4>0,故 d=错误!未找到引用源。. 又 x=错误!未找到引用源。,故 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≥错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。. 当 y=-1 时,x=错误!未找到引用源。. 即当点 P 的坐标为错误!未找到引用源。时,d 有最小值错误!未找到引用源。. 解法三 设直线 l':x+y+m=0 与抛物线相切,则平行线 l'与 l 间的距离即为抛物线上的点到直线 l 的最小距离. 由错误!未找到引用源。得 y2+2y+2m=0,所以 Δ=4-8m=0,得 m=错误!未找到引用源。. 此时直线 l'的方程为 x+y+错误!未找到引用源。=0,l 与 l'的距离为 d=错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 即当点 P 的坐标为错误!未找到引用源。时,d 有最小值错误!未找到引用源。. [题后反思] 解法一,通过对 x,y 的二元一次代数式的换元,将其转化为直线,进而将条件转化为 “保证直线与抛物线有公共点”,降低了思维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点 到直线的距离公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直观性,借助于 切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时,应用广泛, 需认真体会、熟练掌握. *【例 4】 定长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 在抛物线 y2=x 上移动,求线段 AB 的中点 M 横坐标 的最小值,并求出此时点 M 的坐标.[3] [处理建议] 本题可引导学生回归抛物线定义,借助定义转化问题. [规范板书] 解 如图,设 F 是抛物线 y2=x 的焦点,连结 AF,BF,过点 A,B,M 分别作 AC,BD,MN 垂直 于准线,垂足分别为 C,D,N,则 MN=错误!未找到引用源。(AC+BD).
(例 4)
根据抛物线定义得 AC=AF,BD=BF, 所以 MN=错误!未找到引用源。(AF+BF)≥错误!未找到引用源。.
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设点 M 的横坐标为 x,则 MN=x+错误!未找到引用源。, 所以 x=MN-错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。. 等号成立的条件是弦 AB 过点 F,由于|AB|>2p=1,所以 AB 过焦点是可能的. 此时点 M 到 y 轴的最短距离是错误!未找到引用源。,即 AB 的中点 M 的横坐标为错误!未找到 引用源。. 当 F 在 AB 上时,设 A,B 的纵坐标分别为 y1,y2,则 y1y2=-p2=-错误!未找到引用源。, 从而(y1+y2)2=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+2y1y2=2×错误!未找到引用源。-错 误!未找到引用源。=2, 即 y1+y2=±错误!未找到引用源。, 所以此时 AB 的中点 M 的纵坐标为±错误!未找到引用源。. 所以点 M 的坐标为错误!未找到引用源。时,点 M 到 y 轴的距离最小,最小值为错误!未找到引用 源。. [题后反思] (1) 在直角坐标系中,常将点的坐标与相应线段的长(或距离)相互转化.如本题,将 点 M 的横坐标转化为点 M 到 y 轴的距离是解本题的关键. (2)本题利用抛物线定义构造直角梯形,将该梯形的上、下底转化为抛物线上的点 A,B 到焦点 F 的距离,从而利用几何不等式(三角形中两边之和大于第三边)研究其最小值. 二、 课堂练习 1.已知抛物线 y2=6x,定点 A(2,3),F 为焦点,P 为抛物线上一动点,则 PF+PA 的最小值为 错误!未找 到引用源。 . 提示 准线方程为 x=-错误!未找到引用源。,最小值为错误!未找到引用源。. 2.已知 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上一点,错误!未找到引用源。与 x 轴正方向的夹角为 60°,则|错误!未找到引用源。|=错误!未找到引用源。p . 提示 如图,设 FA=m,则 m=2(m-p),即 m=2p,所以 CF=错误!未找到引用源。p,故 OA=错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。p.
(第 2 题) 3.已知 A(0,-4),B(-3,2),抛物线 y2=8x 上的点到直线 AB 的最短距离为 错误!未找到引用源。 . 提示 直线 AB:2x+y+4=0,设 2x+y+t=0 与抛物线 y2=8x 相切,消去 x 得 y2+4y+4t=0,故 Δ=0,得 t=1, 所以 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 4.已知点 P(4,2)在抛物线 y2=4x 的内部,F 是抛物线的焦点,在抛物线上求一点 M,使 MP+MF 最小, 并求此最小值. 解 如 图 , 过 M 作 准 线 l 的 垂 线 MA, 垂 足 为 A, 则 由 抛 物 线 的 定 义 有 MF=MA, 所 以 MP+MF=MP+MA.
(第 4 题)
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显然当 P,M,A 三点共线时,MP+MF 最小. 此时,点 M 的坐标为(1,2),最小值为 5. 三、 课堂小结 从代数或几何角度来研究抛物线的相关最值问题. 第 12 课时 圆锥曲线的共同性质
教学过程
一、 问题情境 我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于 1 的动点 P 的轨迹是抛物线. 当这个比值是一个不等于 1 的常数时,动点 P 的轨迹又是什么曲线呢? 二、 数学建构 问题 1 试探讨这个常数分别是错误!未找到引用源。和 2 时,动点 P 的轨迹. 方案 1 利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹. 方案 2 利用几何画板制作课件演示. 可以得到:当常数是错误!未找到引用源。时,动点 P 的轨迹是椭圆;当常数是 2 时,动点 P 的轨迹 是双曲线.[1] 问题 2 由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论? 解 平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于 e 的动点 P 的轨 迹是圆锥曲线. 当 0<e<1 时,它表示椭圆; 当 e>1 时,它表示双曲线; 当 e=1 时,它表示抛物线. 问题 3 以上的结论是否正确呢?如何证明? 解 当 e=1 时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程 来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思 考片刻继续引导)请同学们阅读教材第 55 页的思考后回答下面问题. 问题 4 当 0<e<1 时,如何建立平面直角坐标系,才能使轨迹方程为标准方程呢? 解 建立适当的平面直角坐标系,使定点 F(c,0),定直线 l 的方程为 x=错误!未找到引用源。.设点 P(x,y),则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=e,化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(*).因为 e=错误!未找到引用源。∈(0,1),所以 a2-c2>0,所以可令 b2=a2-c2,这样方程(*)可化为错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0).这就证明了,当 0<e<1 时,点 P 的轨迹为椭圆. 由此可见,当点 P 到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l:x=错误!未找到引用源。的距离的比是常数 错误!未找到引用源。(a>c>0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。=1(a>b>0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率. 类似地,我们可以得到:当点 P 到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l:x=错误!未找到引用源。的距 离的比是常数错误!未找到引用源。(c>a>0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为错误!未找到引用 源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0,其中 b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率. 这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等 于常数 e 的点的轨迹. 当 0<e<1 时,它表示椭圆; 当 e>1 时,它表示双曲线; 当 e=1 时,它表示抛物线. 其中 e 是圆锥曲线的离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线.
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由前面的研究可知: 点 F(c,0),直线 l:x=错误!未找到引用源。分别为椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =1(a>b>0)的焦点、准线; 点 F(c,0),直线 l:x=错误!未找到引用源。分别为双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1(a>0,b>0)的焦点、准线. 根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)或双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。=1(a>0,b>0),与焦点 F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为 x=-错误!未找到引用源。,x= 错误!未找到引用源。. 三、 数学运用 【例 1】 求下列曲线的焦点坐标、准线方程: (1)25x2+16y2=400; (2)x2-8y2=32; (3)y2=16x.[2] (见学生用书 P37) [处理建议] 引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解. [规范板书] 解 (1) 由 25x2+16y2=400,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,因此 此椭圆的焦点在 y 轴上,且 a=5,b=4,所以 c=错误!未找到引用源。=3,故曲线 25x2+16y2=400 的焦 点坐标为(0,±3),准线方程为 y=±错误!未找到引用源。. (2)由 x2-8y2=32,得错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1,因此此双曲线的焦点在 x 轴 上,且 a=4 错误!未找到引用源。,b=2,所以 c=错误!未找到引用源。=6,故曲线 x2-8y2=32 的焦点 坐标为(±6,0),准线方程为 x=±错误!未找到引用源。. (3)由 y2=16x,得 p=8,故曲线 y2=16x 的焦点坐标为(4,0),准线方程为 x=-4. [题后反思] 要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式. 变式 已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的一条准线方程为 y=错误!未 找到引用源。,求实数 m 的值. [规范板书] 解 由题意可知,a2=m(m>9),b2=9,所以 c=错误!未找到引用源。.由一条准线方程为 y=错误!未找到引用源。可知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,解得 m=25 或 m=错 误!未找到引用源。. 【例 2】 已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点 P 到右准线的距离 是 2 错误!未找到引用源。b,求点 P 到椭圆左焦点的距离.[3] (见学生用书 P38) [处理建议] 引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距 离. [规范板书] 解法一 由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-错误!未找到引用源。b,0),(错误! 未找到引用源。b,0),离心率为错误!未找到引用源。.设该椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,则由 圆锥曲线的统一定义可知,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 PF2=3b.由椭圆的 定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为 b. 解法二 由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-错误!未找到引用源。b,0),(错误!未找到引用源。 b,0),离心率为错误!未找到引用源。.设该椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2.因为椭圆两准线间的 距离为错误!未找到引用源。b,所以 P 到左准线的距离为错误!未找到引用源。b,则由圆锥曲线 的统一定义可知,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 PF1=b,即该点到椭圆左焦点 的距离为 b. [题后反思] 椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对 应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线). *【例 3】 已知椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率为错误! 未找到引用源。,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与 C 相交于 A,B 两点.若错误!未找到引用源。
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=3 错误!未找到引用源。,求斜率 k 的值. [规范板书] 解 设直线 l 为椭圆的右准线,e 为离心率.如图,分别过 A,B 作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足,过 B 作 BE⊥AA1 于 E. 由圆锥曲线的共同性质得 AA1=错误!未找到引用源。,BB1=错误!未找到引用源。,由错误!未找 到引用源。=3 错误!未找到引用源。,得 AA1=错误!未找到引用源。,所以 cos∠BAE=错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 sin∠BAA1= 错误!未找到引用源。,所以 tan∠BAA1=错误!未找到引用源。,即 k=错误!未找到引用源。.
(例 3) *【例 4】 若椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 内有一点 P(1,-1),F 为其右 焦点,椭圆上有一点 M 使 MP+2MF 最小,则点 M 的坐标为错误!未找到引用源。. 提示 因为椭圆的离心率为错误!未找到引用源。,则 2MF 就等于点 M 到右准线的距离 d,所以 MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得错误!未找到引用源。可以得到 M 错误!未找 到引用源。. [题后反思] 先用圆锥曲线的统一定义将 MP+2MF 的最小值转化为 MP+d(d 为点 M 到右准线的 距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲 线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法. 四、 课堂练习 1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的准线重 合,则此抛物线的方程为 y2=±16x. 提示 由题意知椭圆的准线方程为 x=±错误!未找到引用源。=±4,所以错误!未找到引用源。=±4, 即 p=±8. 2. 已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点 P 到左焦点的距离为 12,则 点 P 到右准线的距离为 10 . 提示 由题意知点 P 到左准线的距离为错误!未找到引用源。=15,两准线间的距离为 2×错误! 未找到引用源。=25,故点 P 到右准线的距离为 10. 3.已知 F1,F2 分别为双曲线 C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a,b>0)的左、右焦 点,曲线 C 的两条准线分别与 x 轴交于点 A,B.若 A,B 为线段 F1F2 的三等分点,则此双曲线 C 的离 心率为 错误!未找到引用源。 . 提示 由题意得错误!未找到引用源。=3,即 e2=3. 4.已知 P 为椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上一点,且 P 到曲线 C 的右焦 点 F 的距离为 3,求点 P 的坐标. 解法一 椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的右焦点为 F(2,0),设 P(x,y),则 由题意可知错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。即点 P 的坐标为(2,±3). 解法二 椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的右准线的方程为 x=8,离心率 e=错误!未找到引用源。.因为 P 到曲线 C 的右焦点 F 的距离为 3,所以 P 到右准线的距离为 6. 设 P(x,y),则 8-x=6,解得 x=2,代入错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,得 y=±3,所以点 P 的坐标为(2,±3). 五、 课堂小结 1.圆锥曲线的统一定义.
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2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程. 3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化. 第 13 课时 本章复习
教学过程
一、 知识网络 圆锥曲线错误!未找到引用源。 二、 数学运用 【例 1】 如图,已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右焦点 分别为 F1,F2,其右准线 l 与 x 轴的交点为 T,过椭圆的上顶点 A 作椭圆的右准线 l 的垂线,垂足为 D,四边形 AF1F2D 为平行四边形.
(例 1) (1) 求椭圆的离心率; (2) 若 B 是直线 l 上一动点,且△ABF2 外接圆面积的最小值是 4π,求椭圆的方程.[1] (见学生用 书 P40) [处理建议] (1)首先让学生独立思考,若学生解决有困难,可通过问题“‘四边形 AF1F2D 为平行四 边形’的等价条件是什么”,引导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“圆的面 积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到 A 或 F2 的距离最小”,引导学生确定外接圆的 圆心的位置,再引导学生思考“B 在直线 l 上如何使用”,从而将问题解决. [规范板书] 解 (1) 依题意有 AD=F1F2,即错误!未找到引用源。=2c,所以离心率 e=错误!未找到 引用源。. (2) 由题可知圆心 M 在直线 y=x 上,设圆心 M 的坐标为(n,n).因为圆过准线上一点 B,则圆与准线 l 有公共点,设圆心 M(n,n)到准线的距离为 d,则 MF2≥d,即错误!未找到引用源。≥|n-2c|,解得 n≤-3c 或 n≥c.又 r2=(n-c)2+n2=2 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。∈[c2,+∞),由题可知 (πr2)min=c2π=4π,则 c2=4,解得 c=2,所以 b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。=1. [题后反思] 本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量 a,b,c.而由(1)可知椭圆的 离心率,即错误!未找到引用源。的值,且有 a2=b2+c2,这样三个未知数两个方程,就可用 c 表示出 a,b,再根据最值确定 c 的值. 变式 已知 F1,F2 分别为椭圆 C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左、 右焦点.若椭圆 C 上的点 A 错误!未找到引用源。到 F1,F2 两点的距离之和等于 4,求椭圆 C 的方 程和焦点坐标. (2) 设 K 是(1)中所得椭圆上一动点,求线段 F2K 的中点所在曲线的方程. (见学生用书 P40) [规范板书] 解 由题意可知 a=2,且错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,解得 b2=3, 所以 c=错误!未找到引用源。=1,所以椭圆 C 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。=1,焦点坐标为(±1,0). (2) 由(1)可知 F2(1,0),设线段 F2K 的中点的坐标为(x,y),则 K(2x-1,2y).因为 K(2x-1,2y)在错误!未找 到引用源。+错误!未找到引用源。=1 上,所以错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1, 即错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,这就是所求线段 F2K 的中点的轨迹方程.
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【例 2】 (教材第 60 页复习题第 6 题改编)已知曲线 C 的方程为 x2sinα+y2cosα=1,若 α∈[0,π),
试判断曲线 C 的形状.[2] (见学生用书 P40) [处理建议] 以问题“根据方程如何判断曲线的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论, 进行点评或纠正. [规范板书] 解 ①当 α=0 时,方程为 y=±1,所以曲线 C 表示两条互相平行的直线; ②当 0<α<错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。>0,所以曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆; ③当 α=错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,所以曲线 C 为圆; ④当错误!未找到引用源。<α<错误!未找到引用源。时,0<错误!未找到引用源。<错误!未找到引 用源。,所以曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆; ⑤当 α=错误!未找到引用源。时,方程为 x=±1,所以曲线 C 表示两条互相平行的直线; ⑥当错误!未找到引用源。<α<π 时,错误!未找到引用源。>0,错误!未找到引用源。<0,所以曲线 C 为焦点在 x 轴上的双曲线. [题后反思] (1) 本题是利用方程判断对称中心在坐标原点的曲线的形状,一般方法是什么? (2) 分类讨论是高中数学重要的思想方法,也是我们必须掌握的,高考肯定考查的. 变式 若曲线错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 表示离心率为错误!未找到引用源。 的椭圆,则 k 的值是错误!未找到引用源。或 36. (见学生用书 P40) 提示 由离心率 e=错误!未找到引用源。可知,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所 以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,因此, 当 k<9 时,a2=9,b2=k,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,解得 k=错误!未找到引用 源。; 当 k>9 时,a2=k,b2=9,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,解得 k=36. 【例 3】 已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,直线 l 过点 M(2,2)与椭圆相 交于 A,B 两点,且线段 AB 以 M 为中点,求直线 l 的方程. (见学生用书 P40) [规范板书] 解法一 设 A(x,y),则由题意可知 B(4-x,4-y),所以错误!未找到引用源。两式相减得 9x+16y-50=0.由 A,B 关于点 M(2,2)对称可知点 B 的坐标也满足此方程,所以直线 l 的方程为 9x+16y-50=0. 解法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线 l 的斜率一定存在,所以可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2),即 y=kx+(2-2k). 由错误!未找到引用源。消去 y 并整理得(9+16k2)x2+64k(1-k)x+16[4(1-k)2-9]=0,所以由根与系数 的关系可知 x1+x2=错误!未找到引用源。=4,解得 k=-错误!未找到引用源。,所以直线 l 的方程为 y-2=-错误!未找到引用源。(x-2),即 9x+16y-50=0. 解 法 三 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 两 式 相 减 得 9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y2)(y1-y2).由条件可知 x1+x2=y1+y2=4,所以直线 l 的斜率 k=错误!未找到 引用源。=-错误!未找到引用源。,所以直线 l 的方程为 y-2=-错误!未找到引用源。(x-2),即 9x+16y-50=0. [题后反思] 以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中 点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法. 变式 已知中心在坐标原点,一个焦点为 F(0,5 错误!未找到引用源。)的椭圆被直线 l:y=3x-2 截 得的弦的中点的横坐标为错误!未找到引用源。,求该椭圆的方程. (见学生用书 P40) [规范板书] 解法一 由题意可知 c=5 错误!未找到引用源。,且椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设 椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.
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把直线 y=3x-2 代入方程整理得 10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以 x1+x2=错误!未找到引用源。 =1,解得 b2=25, 所以所求椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 解法二 设直线 l 与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的 弦的中点的坐标为错误!未找到引用源。,并可设椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。=1(a>b>0). 由 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 两 式 相 减 得 a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2). 由 条 件 可 知 x1+x2=1,y1+y2=-1,直线 l 的斜率 k=错误!未找到引用源。=3,所以 a2=3b2.又 a2-b2=c2=50,解得 a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 解法三 由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为错误!未找到引用源。,并可设椭圆的 方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0).因此可设直线 l 与椭圆的两个交 点为(x,y),(1-x,-1-y),则错误!未找到引用源。 两式相减得-b2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即 2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线 3x-y-2=0 是同一直线,所以错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 a2=3b2.又 a2-b2=c2=50,解 得 a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.
(例 4) *【例 4】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =1 的左、右顶点分别为 A,B,右焦点为 F,设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m>0,y1>0,y2>0. (1) 设动点 P 满足 PF2-PB2=4,求点 P 的轨迹方程; (2) 设 x1=2,x2=错误!未找到引用源。,求点 T 的坐标; (3) 设 t=9,求证:直线 MN 必过定点 D(1,0).[3] [处理建议] 问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线 MN 必过定点 D(1,0)的本 质是 M,N,D 三点共线,从而引导学生通过联立方程组求出 M,N 的坐标,进而将问题解决. [规范板书] 解 (1) 设 P(x,y),由条件知 A(-3,0),B(3,0),F(2,0). 由 PF2-PB2=4,得[(x-2)2+y2]-[(x-3)2+y2]=4,即 2x-9=0,这就是点 P 的轨迹方程. (2) 在错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 中,令 x=2 得 y=±错误!未找到引用源。,因 为 y1>0,所以 M 错误!未找到引用源。;令 x=错误!未找到引用源。得 y=±错误!未找到引用源。, 因为 y2>0,所以 N 错误!未找到引用源。,所以直线 AT 的方程为 y=错误!未找到引用源。(x+3),即 y=错误!未找到引用源。x+1,直线 BT 的方程为 y=-错误!未找到引用源。(x-3),即 y=-错误!未找到 引用源。x+错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。所以点 T 的坐标为错误!未找到引用源。. (3) 由题设知直线 AT 的方程为 y=错误!未找到引用源。(x+3),直线 BT 的方程为 y=错误!未找到 引用源。(x-3). 由错误!未找到引用源。得 x1=-错误!未找到引用源。,y1=错误!未找到引用源。,所以 M 错误! 未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。得 x2=错误!未找到引用源。,y2=-错误!未找到引用源。,所以 N 错误!未 找到引用源。. 若 x1=x2,即-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,由 m>0 得 m=2 错误!未找到引用源。, 且-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1,即 M,N 都在 x=1 上,此时直线 MN 经过定点
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(1,0). 若 x1≠x2,则直线 MD 的斜率 kMD=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 直线 ND 的斜率 kND=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 得 kMD=kND,所以直线 MN 过 D(1,0). [题后反思] 本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.
(变式) 变式 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。=1 于 P,A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连结 AC,并延长 交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k. (1) 当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (2) 对任意 k>0,求证:PA⊥PB. [规范板书] 解 (1) 当 k=2 时,直线 AP 的方程是 y=2x.由错误!未找到引用源。消去 y 整理得 x=± 错误!未找到引用源。,因此 P 错误!未找到引用源。,A 错误!未找到引用源。,于是 C 错误!未找 到引用源。,故直线 AB 的方程为 y=x-错误!未找到引用源。,即 x-y-错误!未找到引用源。=0,所以 点 P 到直线 AB 的距离 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (2) 直线 AP 的方程为 y=kx, 由错误!未找到引用源。得 P 错误!未找到引用源。, A 错误!未找到引用源。, 故 C 错误!未找到引用源。, 所以直线 AB 的方程为 y=错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。消去 y 整理得(k2+2)x2-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=0,
即错误!未找到引用源。 x+
错误!未找到引用源。 =0,
所以 B 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。 , kPB=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, 所以 kPA·kPB=-1,所以 PA⊥PB. 三、 补充练习 1.椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的焦距为 4 . 提示 c=错误!未找到引用源。=2. 2.与圆(x-2)2+y2=4 和圆(x+2)2+y2=1 都外切的动圆的圆心 P 的轨迹方程为 4x2-错误!未找到引用 源。=1(x<0). 提示 设动圆的半径为 r,则 PC1=2+r,PC2=1+r,所以 PC1-PC2=1.由双曲线的定义可知点 P 的轨迹
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是以 C1,C2 为两个焦点,实轴长为 1 的双曲线的左支. 3.若方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 表示的曲线为双曲线,则实数 k 的取值 范围是(-4,0). 提示 k(k+4)<0?k∈(-4,0). 4.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,不与 x 轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点 A,B.若线 段 AB 的垂直平分线恒过点(6,0),且 AF+BF=8,则此抛物线的方程为 y2=8x. 提示 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+错误!未找到引用源。+x2+错误!未找到引用源。=8,即 x1+x2=8-p. 又 因 为 QA=QB, 则 (x1-6)2+ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =(x2-6)2+ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 即 (x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2, 所 以 (x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. 因 为 x1≠x2, 所 以 x1+x2=12-2p. 由 12-2p=8-p,得 p=4,故抛物线的方程为 y2=8x. 四、 课堂小结 1. 对本章的知识要有系统的、全面的认识. 2. 巩固圆锥曲线的标准方程及其特点,圆锥曲线的性质.
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