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谈谈如何学好高中数学葛军_图文

立足基本 参透变化 ——如何学好高中数学
葛军
(南京师范大学附属中学)

? 一、认识数学 ? 二、两个例子 ? 三、几点建议

一个选择
? 对幼儿园、小学生家长说,让孩子“玩着 学吧!”
? 对初中生家长说,让孩子学会自问3W,并 努力去尝试回答。
? 对高中生家长说,春来了,绿生了,花香 了,孩子啊,你快醒来吧(因为现在有些 孩子还迷糊着),四处走走,你自己去生 长吧!

一、认识数学
? 你知我是谁啊,你知道的! ? 欧洲欧债危机中英国十几万人再就业培训
时的主要内容就是我啊! ? 我在你身边,每天你都得用我,如…… ? 王蒙先生说,我如诗。 ? 我悄然地在你身边,努力影响你,让你变
得更为明智、理性,富有智慧。

一、认识数学
? 数学是研究现实中数量关系和空间形式的 科学。
? 把数学理解为“模式的科学 ” —— Lynn Arthur Steen

一、认识数学
? 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语 言
? 数学还是一门有着丰富内容的知识体系, 其内容对自然科学家、社会科学家、哲学 家、逻辑学家和艺术家十分有用。 ——M.克莱因

一、认识数学
? 数学是建立一个强大社会的基石,数 学实验是各个学科的基础。
——诺贝尔经济学奖得主 James Mirrlees 和 Eric Maskin

一、认识数学
? 在最广泛的意义上说,数学是一种精神, 一种理性的精神。
? 正是这种精神,激发、促进、鼓舞和驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦 正是这种精神,试图决定性地影响人类的 物质、道德和社会生活;试图回答有关人 类自身存在提出的问题;努力去理解和控 制自然;尽力去探求和确立已经获得知识 的最深刻的和最完美的内涵。

一、认识数学
? 数学的教育价值——
? 世界各国不论课程如何改革,数学是必须 修习的重要课程、核心课程。
? 如现在受到全球关注的PISA测试,所设定 的内容中,除了阅读、科学以外,必须有 数学。

一、认识数学
? 数学的教育价值—— ? 美国有独立于教育部的,美国总统数学教
育委员会。
? “……数学作为科学之母,在众多科学、 工程、技术乃至社会科学领域扮演了基础 角色。面向未来,我们将更加重视数学在 学校的发展。” ——原清华大学校长 顾秉林

二、两个例子
? 通过两个例子,认识数学思考之路

? 胡适:“大胆假设,小心求证”

?

“少谈些主义,多研究些问题”

第一个例子:认识 2+7=9
算式 2+7=?→ 2+7=9。 ** 再看一眼: 2+7=9.
** 念想 1:2?7?

第一个例子:认识 2+7=9
算式 2+7=?→ 2+7=9。 ** 再看一眼: 2+7=9. ** 念想 1:2?7?2 是偶数,7 是奇数。9 也是奇数。 ** 尝试:一般化!2+7=9 是否可以认为是:
偶数+奇数=奇数?(还可以举例验证!)

第一个例子:认识 2+7=9
再看一眼:偶数+奇数=奇数,你心中会问: 偶数+偶数= ; 奇数+奇数= ; 进一步,念及四则运算,尝试考虑乘法“ ”,就有 偶数 偶数= ; 偶数 奇数= ; 奇数 奇数= 。

第一个例子:认识 2+7=9
** 对于多个奇数、偶数相加或相乘呢,…… ** 上述所得到的结论有用吗? ** 如:Q1 某组同学参加学校的数学竞赛。试题共 4 道。评分标准是:
答对一道给 3 分,不答给 1 分,答错倒扣 1 分。说明该组同学得分总 和一定是偶数。 ** 有点难度的:试题 4 道改为 50 道呢?
(挑战你的眼光,展示化繁为简的思维水平!!!)

第一个例子:认识 2+7=9
? 回顾一下: ? 对数式中数2,7,从奇偶性角度来探索……
? 尤其得到了奇偶分析方法,并尝试运用此 方法解决一些趣题。

第一个例子:认识 2+7=9
**? 再回头看:2+7=9. 2+7→9, 反过来呢?
** 若从数的因数分解看,2,7 均是质数,9 是合数。 合数 9 可以表示成两个质数的和。
** 自然问:是否每一正整数都可以表示为两个质数的和呢?

第一个例子:认识 2+7=9
? 这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。 ? 哥德巴赫猜想:任一大于2的偶数都可写成两个
质数之和。
? 1966年陈景润证明了"1+2"成立,即: ? 任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和,
或是一个质数与两个质数积的和"。

第一个例子:认识 2+7=9
? 一个简单的算式:2+7=?,
? 如果不急着丢弃它, ? 而是转换角度,逐个方向去尝试探索
? 角度1:奇偶数→运算→奇偶分析 ? 角度2:数的构成(和)-质数和→著名猜

? 收获远远胜过一道题、一个答案。

第一个例子:认识 2+7=9
? 再回首,感知你的拥有: ? 复杂的即是简单的 ? 养成从多个角度认识一个问题的意识; ? 学会“反过来思考问题”(简记为1即2)的
意识;
? 学会“一般化问题”(简记为1即n)的意识 ? 学会利用“四则运算生成新问题”(简记为
1即4)的意识;
? ……

第二个例子:2+2=2×2
对于初中的学生,会看到 ……?

第二个例子:2+2=2×2
对于初中的学生,会看到:
a a a a, 问a =?
即 2a a2 , a(a 2) 0,得 a 0 ,或 a 2 .

第二个例子:2+2=2×2
进一步地,一般化: a b a b ,
你可能会产生问题:
(1)求所有的正整数 a,b ,使 a b a b 成立. (2)求所有的整数 a,b ,使 a b a b 成立. (3)求所有的有理数数 a,b ,使 a b a b 成立. (4)求使 a b a b 成立的实数 a,b .

第二个例子:2+2=2×2
尝试解决问题(1),可以用到小学 5、6 年级或 初中 1~3 年级知识。
(1)求所有的正整数a,b ,使a b a b成立.

第二个例子:2+2=2×2
方法一:用整除的知识,a b(a 1)→b 整除a ;
** 聪明的同学,肯定运用“同样地”、“类似地”、“同理”来得到:
a 整除 b 。……
** similariy//the same way

第二个例子:2+2=2×2
方法二:将a,b 分离,得 b 1 1 , a 1
因为 a,b 是正整数,所以 a 1 1,……。
**“多元化少元”→“多化少”,这样的思维意识,在高中、大学数 学中是经常用的……

第二个例子:2+2=2×2
方法三:利用因式分解知识。
ab (a b) 1 1, (a 1)(b 1) 1, 从而 ……

第二个例子:2+2=2×2
方法四:利用一元二次方程根与系数知识。
令 a b a b = s,则 a,b 是方程 x2 sx s 0 的两个正整数根, 那么判别式 s2 4s是一个完全平方数,令为 m,则有 s2 4s m2 ,即(s 2)2 m2 4, (s 2 m)(s 2 m) 4.

第二个例子:abab

方法五:估算法。用你的眼光,a,b 谁大谁小是无所谓的,

可不妨设a b,



a b ab 2b,

即 ab 2b,得a 2,……

第二个例子:abab
再看一眼所用的解法: **解法 1 是从直接整除入手, **解法 2 是从分离变元入手, **解法 3 是从分解因式入手, **解法 4 是从用方程根与系数关系入手, ** 解法 5 是从估算入手。

第二个例子:abab
自然地,你想问,每个方法可以解决怎样的一类问题呢? 在此,我们仅看两个解法。

玩—看,赏:b 1 1 a 1
(1)分式 1 的分子 1,可以是什么数?简单一点, a 1
如 10,若数据太大,则数的分解中因数多,没有值得玩的价值, 因此只需感知“分子 1 也可以是大数、可以是若干个因数的积”。

玩—看,赏:b 1 1 a 1
(2)分式 1 的分母a 1,可以是?,如 x3 1, ……
a 1 (3)b 1 1 中等号右边第一个 1 可以是?如 xy 5,等号左边
a 1 b可以是?如, y3 x2 y x 。

玩—看,赏:b 1 1 a 1

整理一下:

b 1 1 a 1



复杂:

y3



x2

y



x



xy



5



10 , x3 1

打扮一下,未必漂亮啊!

更复杂:

x5 y x3 y3 x4 y x4 5x3 x2 y y3 xy x 5 0 .

玩—看,赏:b 1 1 a 1
一个“令人头痛”的问题:
“设 x, y 是整数,满足
x5 y x3 y3 x4 y x4 5x3 x2 y y3 xy x 5 0 ,
求所有这样的 x, y .”
来锤炼你的意志力,检查你的良好的思维意识,“读:二元一式,非 齐次,你会的!→想分解;试试看!……”

玩—看,赏:b 1 1 a 1
“设 x, y 是整数,满足
x5 y x3 y3 x4 y x4 5x3 x2 y y3 xy x 5 0 ,
求所有这样的 x, y .” **对于上述问题中“问法”,还可以有如下问法:如“是否存在整数 x, y ,
满 足 … … ”,“ 求 所 有 数 组 (x, y) 的 组 数 ”, " 求 xy x 的 值 ”,“ 求
证……”,…… **题面可以多样,但本质惟一。

玩—看,赏: a b ab 2b
看两元 a,b,念三元 a,b,c ,结论如何呢? **这是从元数的角度思考!即:
** 设 a,b,c 是正整数,满足a b c abc ,求 a,b,c 的值.
如何求解呢?

玩—看,赏: a b ab 2b
努力对照五种解法,发觉第五种解法易于处理此问题。 这不,不妨设 a b c ,显然有 a b c abc 3c ,得
1 ab 3 ,于是有 ab 1,或 ab 2 ,或 ab 3,从而……

玩—看,赏: a b ab 2b
由此,你信心大增,坚信认为 关于多个变元的情形, a1 a1 L an a1a2 L an . 我也一定能做,只不过解答过程稍微复杂而已。……

玩—看,赏: a b ab
“让我再看你一眼”!(邓丽君所唱的) 跨界去,如何?! 代数式,即几何图形。 它是什么图形?

玩—看,赏: a b ab
回归到我们的来路,其中的解法:
由 a b a b ,得
(a 1)(b 1) 1→认识到 xy 1 (这里令 a 1 x,b 1 y ), 这是双曲线(如右图);

玩—看,赏: a b ab
还可以认识 令 a x y,b x y ,得 x2 y2 2x ,
即 (x 1)2 y2 1,其双曲线如图。

玩—看,赏: a b ab
还可以得到一个“具有思维表现”的问题: “试给出一个二次曲线,在此曲线上只有两个整点(即坐标均为整数 的点)”。

玩—看,赏: a b ab
看 a ,变脸:若 a, 可以是 sin ,那么就可以得到“小巧玲珑”题: 设, [0, ],满足 sin sin sin sin ,求 cos( ) 的值。

玩—看,赏: a b ab
看 a,b 的应用,可以得到如下小题:
设 a,b 是正整数,满足 a b ab ,若 a,b 是一个三角形的两边长,
求这个三角形第三边长的取值范围. ……

玩—看,赏: a b ab
? 可以继续玩下去,甚至可以玩到一些问题研究 的前沿(如和积方程的研究)
? “一道题做 `透’了,要远胜于做一百道 题。”

玩—看,赏: a b ab
? 总结玩中得到de 基本经验 ? (1)a在处处, a可变, a在深处是博大。
如,正整数→整数→实数→复数; 再如,三角式,…… ? (2)求多解,得类题; ? (3)一题问法可多样 ? (4)元数有限,可一般。 ? (5)跨界认识求通达。数形同一不能忘。 ? 常常画图“又一村!”

玩—看,赏: a b ab
? 感受到:
? 万花筒中仅几片, ? 看到精彩纷繁仅是变, ? “动则不动”繁化简。

三、几点建议
? (一)到高中,熟练三样基本宝贝 ? 玩熟:
? 一把剑 ? 一个A ? 一面镜

(一)到高中,熟练三样基本宝 贝
? 一把剑,倚天剑
? 生数轴; ? 生雌雄二剑,呈“横刀立马”之势,即
笛卡尔坐标系—直角坐标系; ? 生向量。

(一)到高中,熟练三样基本宝 贝
? 一个A(a),万象大千,爱在处处: ? 在数处—或是整数、有理数、实数、复数 ? 在式上—或是有理式、无理式、函数式 ? 或是向量 ? 或是矩阵, ? 或是圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次曲
线……
? 或是球、柱、锥、台、…… ? 或是组合数、概率,……

(一)到高中,熟练三样基本宝 贝
? 一面镜 ? 若球,拓扑玩转幼儿园,玩熟三维; ? 若盆盛数据,时代新生; ? 或镜生四象,光照八方; ? 或似圆的转动,随时光流曳,映生三角 ? 或似沙盘,其上作业,翻转圆、二次曲线 ? 对镜自问,一日三省,养批判性、创新性
思维能力

(二)做实“333工程”
? 做实“333工程” ? 读写三遍 ? 熟用三招 ? 坚守三问

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
? 一读大概题类, ? 二读细节联通, ? 三读方法选择。
? 最高境界:慢读(一)

例 f x ax3 3x 1 对 于 x1 ,1总 有 f x ≥ 0 成
立,则 a = ▲ . 读一:感觉 读二:列式,a ?; 求?的最大值 读三:见过,容易的,cos3 ?
书上习题:4cos3 3cos cos3

(二)做实“333工程”
? 读写三遍 ?

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
? 写之匆,生乱涂,以省时; ? 一二再,烧心烦,堵通路,愁路长,…… ? 而丢之多 ? 回首时,潸然泪…… ? 耍聪明,找借口,是非生—言:难!

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
? 一写粗糙需添补, ? 二写简约无漏洞, ? 三写多法求类题, ? 感觉自己在提升 不信,去尝试!

(二)做实“333工程”
? 2. 熟用三招
? 1即2 ? 1即4 ? 1即a(n)

2. 熟用三招
1 即 2: 或常问“反过来”如何? 或“同理”,
如 : a2 b2 2ab , 同 理 b2 c2 2bc , c2 a2 2ac , 得 a2 b2 c2 ab bc ca.

2. 熟用三招
1 即 4:或用四则运算,
如: AP PB c(c 0) → AP PB c ,| AP PB | c,
→ AP PB c , → AP PB c ,即 AP cPB

(1) AP PB c(c 0)

(2)| AP PB | c

(3) AP PB c 可以引导学生利用几何画板来探索!
?

类椭圆

花生形

八字形

哑铃形

(4) AP cPB
(2008 年江苏省高考题)

2. 熟用三招
? 或用四类命题
? 即思考 ? 原命题、逆命题、否命题、逆否命题

2. 熟用三招

? 1 即 n:

a2 b2 c2 ab bc ca→(一般化)

a12 a22 L



a

2
n

a1a2 a2a3 L

an1an ana1.

3. 坚守三问
? ? 坚持问:是什么?为什么?有什么用? ? 老外叫3W。
? 每学必三问,则课堂注意力容易集中,课堂效率 高;
? 努力去探索而自学,学得快!

(三)把“根”留住
? 1. 题有根。
? 理解题根,把握变化 ? 如,是否存在?求证,求~的值。
? 犹如“一石三鸟”。

(三)把“根”留住
? 2. 学习之根,教材!
? 教材是的拐杖,是你的烦恼消解贴,是你破解难 题的利器。
? 现在,教材常被孩子们冷落在一边,有的孩子3 年都不去用教材。

(三)把“根”留住
? 2. 学习之根,教材! ? ? 高考出题是根据什么出,肯定是根据指定的教材
来出,不是根据某家出版社的教辅材料来出。高 考的题目,几乎百分之百都可以在课本中找到原 型——当然经过很多层的综合和深化。 ? 《学习改变命运》李晓鹏,新世界出版社,2005 年10月。PP168~170

an1 an d
? 教材中, an1 an d
一个角度:d→f(n)可求和; 二个角度:通项求解—作差求和;迭代求和 三个角度:反过来,d 表示为:(n+1)-n; (n+1)2-n2;…;
(竞赛题常出)

an1 an d
?
四个角度: an 变化多多: an c ; an f (n) ; an ; can1 c ;…
an b
五个角度:“-”乃四则运算; 六个角度:“=”,乃, ,<, >; 七个角度:“=”,乃“ ”。

15.(本小题满分 14 分) 如图,摩天轮的半径为 50 m,点 O 距地面的高度为 60 m,摩天轮做匀速转动, 每 3 min 转一圈,摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?
得分 ≤11.5 分

(四)回归“思考”
? “我思故我在”!
? 你的时间都到哪儿去了? “洗刷刷的要,但不要乱刷”
? 唱一曲“常回家看看”。 ? 让自己做到:
留点时间,留点空闲,留给思考, 不要仅顾着不明道理的刷题。

(五)简单的,做熟、做细
? “至繁归于至简”——乔布斯 ? “我一直重复同样地事情以求精进,我总是想往
能有所进步,我会继续向上,努力达到巅峰,但 没人知道巅峰在哪里”
——[日]《寿司之神》…… ? 成功很简单,但是简单的事情重复做,重复的事
情简单做就不简单了。([美]吉姆?罗恩)

(五)简单的,做熟、做细

?

容易地做熟了,

?

就没有难的了。

?

简单地做细了,

?

就没有复杂的了。

?

?

我做了,我成功。

? 细节决定成败 ? 心理决定难度 ? 基本决定高度

(六)放手你的孩子
? ? 从生物的小孩,成为有灵性的小孩,是一个系统
工程。但首要的因素是家庭,自然地也就是家长。 ? 何谓有灵性,简单地说,就是呈现为具有包容的、
明事理的、善于自我反思的、努力向上一种状态。
? 一只蝴蝶乃是带着前世的种子投生到这个世界, 在它的种子里,有一个不可动摇的信念: “我将飞翔!……”

(六)放手你的孩子
? 让孩子自己成长:
? (1)需要支持时,你极力支持; ? (2)放弃为他的设计; ? (3)孩子接受新知识快,不要太把自己当专家; ? (4)不要把自己曾时的“建筑与土木工程”的缺
憾,强加于你的孩子身上,甚至虚荣心。 ? ……

(七)容纳教育
? 教育是一个圆形概念,方方面面都要兼顾 到。
? 国家的强大,源自于教育,源自于每个公 民对教育的挚爱,源自于我们每位所应担 当的教育责任。
? 作为学校教育,目前行进得不容易,请大 家给予充分的理解、支持。

(八)回归:实干
? 荀子《儒效篇》: ? 不问不若闻之; ? 闻之不如见之; ? 见之不若知之; ? 知之不若行之; ? 学至行之而止矣。

(八)回归:实干
? 付出多少与回报永远是成正比的! ? 记住如下公式: ? 爱因斯坦说:“A=X+Y+Z,A代表成功,X代表
艰苦的劳动,Y代表正确的方法,Z代表少说 空话。” ? 爱迪生说:“天才等于1%的灵感加99%的血 汗。”

(八)回归:实干
? 让我们埋下头,去尝试。 ? 英国诗人罗塞蒂的小诗“I’ll try”以共勉。 那个说“我想试试”的小孩,他将登上山巅;
那个说“我不成”的小孩,在山下停步不 前。
“我想试试”,每天办成很多事; “我不成”,就真一事无成。 因此,你务必说“我想试试”, 将“我不成”弃埃尘。

? 谢谢大家! 祝大家如意在马年!


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