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2020学年高二数学下学期期中试题 理 新人教通用版

2020
2019 高二年级期中考试

数学试卷(理科)

时量:120 分钟
班级: _______
一.选择题(共 12 小题)

总分:150 分

命题人:

姓名: _______ 考号: _______

1、复数 3i 1i 的共轭复数是( )

A.3 i

B.3 i

C. 3 i

D. 3 i

2、 m 1 e x dx 与 n 1 1dx 的大小关系是(

0

0x

A.m n

B.m n

C.m n


D. 无法确定

3、已知 f n 1 1 1 1 n N ,计算得 f 2 3 ,f 4 2 ,f 8 5 ,f 16 3 ,f 32 7 ,

23

n

2

2

2

由此推算:当 n 2 时,有( )

A. f 2n 2n 1 n N 2

B. f 2n 2n 1 1 n N 2

C. f 2n 2n 1 n N 2

D. f 2n n 2 n N 2

4、函数 f x x ln x 的减区间为( )

A. , 1

B. 0, 1

C.1,

D.0, 2

5、用数学归纳法证明1 1 1 1 n n N , n 1 时,第一步应验证不等式( )

23

2n 1

A. 1 1 2 2

B. 1 1 1 3 23

C.1 1 1 1 3 234

D.1 1 1 2 23

6、小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他共 7 人,一天爸爸从果园里摘了 7 个大小不同的梨, 给家里每人一个,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥 4 位老人之一拿最大的一个,则梨子的不同分 法共有( )

A. 96 种

B. 120 种

C. 480 种

D. 720 种

7、有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f x,如果 f x0 0 ,那么 x x0 是函数 f x的极值

2020
点,因为函数 f x x 3 在 x 0 处的导数值 f x0 0 ,所以, x 0 是函数 f x x 3 的极值点.以上推理
中( )
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确

8、某工厂师徒二人加工相同型号的零件,是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为 2 , 3

徒弟加工一个零件是精品的概率为 1 ,师徒二人各加工 2 个零件不全是精品的概率为( ) 2

A. 8 9

B. 2 3

1

1

C.

D.

3

9

9、 x

1 x

8

的二项展开式中,

x

2

的系数是(



A. 70

B. 70

C. 28

D. 28

10、某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢 4 个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4 个红包 中有两个 2 元,两个 3 元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲乙两人都抢到红包的情况有( )

A. 35 种

B. 24 种

C. 18 种

D. 9 种

11、一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒子中任取 3 个球来用,用完后装回盒中,此时盒中
旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 PX ,则 PX 4 的值为( )

A. 1 220

B. 27 55

27 C.
220

21 D.
55

12、已知

f

x,

gx 都是定义在

R

上的函数,且

f x gx



a

x

a



0, 且a



1 ,

f

x

gx <

f

x

gx ,

f 1 g1



f g

1 1



5 ,则 a 的值为( 2



A. 2

B. 1

C. 3

D. 5

2

5

3

二.填空题(共 4 小题)
13、已知 A1m1 11 10 6 5 ,则 m ________。 14、已知 z1 , z2 C , z1 z2 1 , z1 z2 3 ,则 z1 z2 ________。

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15、若曲线 f x ax 2 ln x 上存在垂直与 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________。
16、若函数 f x 2ae x x 2 3 ( a 为常数, e 是自然对数的底)恰有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
________。

三.解答题(共 6 小题)
17、已知函数 f x ax 2 b ln x 在点 A1, f 1 处的切线方程为 y 1 ;

(1)求实数 a , b 的值;
(2)求函数 f x的极值.

18、已知

a2

1

n

展开式中各项系数之和等于



16 5

x2



1 x

5 的展开式的常数项,而

a2

1

n 的展开式的二项

式系数最大的项的系数等于 54,求 a 的值.

19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程学院、海洋学院、医

学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:

学院

机械工程学院

海洋学院

医学院

经济学院

人数

4

6

4

6

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;

(Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ,求随机变量 的概率分布列.

20、一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1 万元,每生产 1 万件需要再投入 2 万元,设该公司一个
月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完,每万件的销售收入为 4 x 万元,且每万件国家给予补助 2e 2e ln x 1 万元.( e 为自然对数的底数, e 是一个常数)
xx
(Ⅰ)写出月利润 f x(万元)关于月产量 x (万件)的函数解析式 (Ⅱ)当月产量在 1, 2e 万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月
生成量值(万件).(注:月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本)

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21、已知数列 an

111

1

满足 an1

an

1 , a1

1 ,试比较 a1



a2



a3





a2n

与 n 2 的大小并证明. 2

22、已知

f x

x2

ax aa 2,

x R, gx e x ,x

f x gx .

(Ⅰ)当 a 1时,求 x的单调区间;

(Ⅱ)求 x在 x 1, 是递减的,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 x的极大值为 3 ?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由.

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2019 高二年级期中考试 数学答案

一.选择题(共 12 小题) DADBD CAAAC CB

二.填空题(共 4 小题)

13、7.

14、1.

15、 , 0

16.(0, ).

三.解答题(共 6 小题) 17.已知函数 f(x)=ax2﹣blnx 在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y=1; (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 【解答】解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),

f′(x)=2ax﹣ ,

f(1)=a=1,f′(1)=2a﹣b=0①, 将 a=1 代入 2a﹣b=0,解得:b=2; (2)由(1)得:f(x)=x2﹣2lnx,

。。。。 5 分

∴f′(x)=2x﹣ =



令 f′(x)>0,解得:x>1,

令 f′(x)<0,解得:x<1,

∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,

∴f(x)极小值=f(1)=1.

。。。。10 分

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查导数的应用,求函数的单调区间、极值问题,是一道基础题.

18.已知(a2+1)n 展开式中各项系数之和等于( x2+ )5 的展开式的常数项,而(a2+1)n 的展开式的二项式 系数最大的项的系数等于 54,求 a 的值. 【解答】解:由( x2+ )5 得,

Tr+1=C5r( x2)5﹣r( )r=( )5﹣r?C5r?x



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令 Tr+1 为常数项,则 20﹣5r=0, ∴r=4,∴常数项 T5=C54× =16. 又(a2+1)n 展开式的各项系数之和等于 2n. 由题意得 2n=16,∴n=4. 由二项式系数的性质知,(a2+1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项 T3, ∴C42a4=54, ∴a=± . 【点评】本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质,解题时要注意根据实际情况灵活地运用公式.

19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程学院、海洋学院、医

学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:

学院

机械工程学院

海洋学院

医学院

经济学院

人数

4

6

4

6

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;

(Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ξ,求随机变量 ξ 的概率分布列.

【解答】解:(Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 ,

选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为:

所以 (Ⅱ)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,


所以 ξ 的分布列为

0

1

2

3

P

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列的求法,是中档题,解题时要注意排列组合知识的

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合理运用.

20.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1 万元,每生产 1 万件需要再投入 2 万元,设该公司一个月

内生产该小型产品 x 万件并全部销售完,每万件的销售收入为 4﹣x 万元,且每万件国家给予补助 2e﹣



万元.(e 为自然对数的底数,e 是一个常数) (Ⅰ)写出月利润 f(x)(万元)关于月产量 x(万件)的函数解析式 (Ⅱ)当月产量在[1,2e]万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月 生成量值(万件).(注:月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本) 【解答】解:(Ⅰ)由于:月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本,可得

(Ⅱ)f(x)=﹣x2+2(e+1)x﹣2elnx﹣2 的定义域为[1,2e],



列表如下:

x (1,e)

e

(e,2e]

f'(x)

+

0



f(x)

增 极大值 f(e)



由上表得:f(x)=﹣x2+2(e+1)x﹣2elnx﹣2 在定义域[1,2e]上的最大值为 f(e).

且 f(e)=e2﹣2.即:月生产量在[1,2e]万件时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 f(e)

=e2﹣2,此时的月生产量值为 e(万件).

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识,考查学生利用导数解决实际问题的能

力及运算求解能力,属于难题.

21.已知数列{an}满足 an+1﹣an=1,a1=1,试比较

与 的大小并证明.

【解答】解:

≥.

证明如下:由 an+1﹣an=1,a1=1,知数列{an}为首项是 1,公差为 1 的等差数列, ∴通项公式为 an=n.

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要证

≥,

只要证:1+ + +…+ ≥ ,下面用数学归纳证明:

n=1 时,1+ = ,结论成立,

当 n=2 时,左边=1+

=

,结论成立;

假设 n=k 时结论成立,即 1+ + +…+ ≥ ,

那么:n=k+1 时,1+ + +…+

+…+ > + +…+

>+

+…+ > + = ,即 n=k+1 时,结论也成立.

综上所述,n∈N,结论成立. 【点评】本题是数列与不等式的综合题,考查了数学归纳法与放缩法证明数列不等式,是中档题.

22.已知 f(x)=x2+ax+a(a≤2,x∈R),g(x)=ex,φ(x)=



(Ⅰ)当 a=1 时,求 φ(x)的单调区间; (Ⅱ)求 φ(x)在 x∈[1,+∞)是递减的,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)是否存在实数 a,使 φ(x)的极大值为 3?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(I)当 a=1 时,φ(x)=(x2+x+1)e﹣x.φ′(x)=e﹣x(﹣x2+x) 当 φ′(x)>0 时,0<x<1;当 φ′(x)<0 时,x>1 或 x<0 ∴φ(x)单调减区间为(﹣∞,0),(1,+∞),单调增区间为(0,1); (II)φ′(x)=e﹣x[﹣x2+(2﹣a)x] ∵φ(x)在 x∈[1,+∞)是递减的, ∴φ′(x)≤0 在 x∈[1,+∞)恒成立, ∴﹣x2+(2﹣a)x≤0 在 x∈[1,+∞)恒成立, ∴2﹣a≤x 在 x∈[1,+∞)恒成立, ∴2﹣a≤1 ∴a≥1 ∵a≤2,1≤a≤2; (III)φ′(x)=(2x+a)e﹣x﹣e﹣x(x2+ax+a)=e﹣x[﹣x2+(2﹣a)x] 令 φ′(x)=0,得 x=0 或 x=2﹣a:

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由表可知,φ(x)极大=φ(2﹣a)=(4﹣a)ea﹣2 设 μ(a)=(4﹣a)ea﹣2,μ′(a)=(3﹣a)ea﹣2>0, ∴μ(a)在(﹣∞,2)上是增函数, ∴μ(a)≤μ(2)=2<3,即(4﹣a)ea﹣2≠3, ∴不存在实数 a,使 φ(x)极大值为 3. 【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,属于 中档题.


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