0467.cC
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> >>

【数学】辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟考试 数学(理)

辽宁省沈阳市东北育才学校 2020 届高三上学期第三次模拟

数学(理)试题

一、单选题

1.设集合 A {x | x 1 1}, B {(x, y) | y 1 3x} ,则 A I B =( )

A.0, 2
【答案】C

B. (0, 1) 3

C.

D. (2, )

【解析】集合 A {x || x 1|1} (0,2) , B {(x, y) | y 1 3x} 表示点集,即可得出结论.

【详解】

解:集合 A {x || x 1|1} (0,2) 为数集, B {(x, y) | y 1 3x} 表示点集,

AI B . 故选: C .
【点睛】 本题考查集合的运算,考查学生的计算能力,比较基础.

2.复数 z (i 1)2 4 的虚部为( ) i 1

A.—1

B.—3

C.1

【答案】B

【解析】对复数进行化简计算,得到答案.

【详解】

D.2

(i 1)2 4 4 2i 4 2i1 i

z





1 3i

i 1

1 i

2

所以的虚部为 3

故选 B 项.

【点睛】

本题考查复数的计算,虚部的概念,属于简单题.

3.已知直线 l1 : x my 7 0 和 l2 : m 2 x 3y 2m 0 互相平行,则实数 m ( )

A. m 3

B. m 1

C. m 1或 3

【答案】C

【解析】根据直线平行充要关系得等式,解得结果.

D. m 1或 m 3

【详解】
由题意得 1 m 7 m 1或 3,选 C. m 2 3 2m
【点睛】

本题考查直线平行位置关系,考查基本转化求解能力,属基础题.

4.已知向量

,则“>0”是“ 与 的夹角为锐角”的( )

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用,进行判断即可.

【详解】

充分性:当>0 时,



但是当=5 时,

,与 共线, 与 夹角为 0°,故充分性不成立,

必要性: 与 夹角为锐角,则



解得>0,故必要性成立, 故选 C. 【点睛】 本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件.

5.设 sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和,且 a1 0 ,若 s5 s9 ,则当 sn 最大时,n =(



A.6

B.10

C.7

D.9

【答案】C

【解析】因为公差不为零的等差数列的前 n 项和 sn 是关于 n 的二次函数, s5 s9 ,所以对称轴为

n 7 ,又开口向下,所以当 n 7 时, sn 有最大值,故选 C.

6.将函数 y sin(3x ) 的图象上各点的横坐标伸长到原的 3 倍,再向右平移 个单位,再向上

4

2

平移1个单位,得到的新函数的一个对称中心是( )

A. ( ,1) 2
【答案】D

B. ( ,1) 9

C. ( , 0) 2

D.(

π 4

,1)

【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的

对称中心,确定选项.

【详解】

解:函数 y sin(3x ) 的图象上各点的横坐标伸长到原的 3 倍得到图象的解析式为 4

y sin(x ) 4

再向右平移 个单位得到图象的解析式为 y sin[(x ) ] sin(x )

2

24

4

再向上平移1个单位得到图象的解析式为

y



sin(x



4

)

1 ,令

x



4



k

k

Z



解得

x

=

p 4

+ kp

(k

?

Z)

,故函数的对称中心为



4



k ,1k

Z



k



0

时对称中心为



4

,1

,所以



4

,1

是函数

y



sin(x



) 4

1

的一个对称中心.

故选: D .
【点睛】

本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质.是三角函数中的重点知识,在试题中出

现的频率相当高.

7.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75o , 30o ,此时气球的高是

60m ,则河流的宽度 BC 等于( )

A. 240( 3 1)m B.180( 2 1)m C.120( 3 1)m

【答案】C

【解析】【详解】

AC

120 ,

AB



60 sin 75o



AB sin 30o



BC sin 45o



所以

BC



AB sin 45o sin 30o



60 2 sin(30o 45o)

120(

3 1) .

故选 C.

D. 30( 3 1)m

8.三个数 0.41.1, log0.4 1.1,1.10.4 大小关系是( )

A.1.10.4<0.41.1<log0.41.1 C.log0.41.1<1.10.4<0.41.1 【答案】D

B.0.41.1<log0.41.1<1.10.4 D.log0.41.1<0.41.1<1.10.4

【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

【详解】

解:Q 0 0.41.1 1,1.10.4 1 , log0.4 1.1 0 ,

log0.4 1.1 0.41.1 1.10.4 ,
故选: D .
【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

9.设函数 f x 3 sin x3 cos x2 4x 1 ,其中

3

2





0,

5 6



,则导数

f

'

1

的取值

范围是 ( )

A. 3,6
【答案】A

B. 3,4+ 3

C. 4- 3,6

D. 4- 3,4+ 3

【解析】先对原函数进行求导可得到 f (x) 的解析式,将 x 1 代入可求取值范围.

【详解】

解: f (x) 3 sin x3 cos x2 4x 1

3

2

f (x) 3 sin x2 cos x 4

f (1) 3 sin cos 4 2sin( ) 4 6

[0, 5 ] [ , 2 ]sin( ) [ 1 ,1]

6

6 63

62

f (1) 3,6

故选: A .

【点睛】

本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题.这两个方面都是高考中必考内容,难度不大.

10.已知点

O



△ABC

内部一点,并且满足

uuuv 2OA



uuuv 3OB



uuuv 5OC



0

,VOAC

的面积为

S1

,△ABC

的面积为 S2 ,则

S1 S2



A. 3 10
C. 2 5

B. 3 8
D. 4 21

【答案】A

uuur uuur uuur

uuuv uuuv

uuuv uuuv

【解析】∵ 2OA 3OB 5OC 0 ,∴ 2 OA OC 3 OB OC .

uuuuv uuuv 设 AC 中点为 M , BC 中点为 N ,则 2OM 3ON ,

uuuuv

∵ MN 为VABC 的中位线,且

OM uuuv



3,

ON 2

∴ SVOAC

2SVOMC



2



3 5

SVCMN



6 5





1 4

SVABC





3 10

SVABC

,即

S1 S2

3 10

.选 A.

11.定义域为 R 的函数 y f (x) ,若对任意两个不相等的实数 x1, x2 ,都有

x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) ,则称函数为“H 函数”,现给出如下函数:

① y x3 x 1 ② y 3x 2(sin x cos x) ③ y ex 1 ④

y



sin x ex e1x

,

其中为“H 函数”的有( )

A.①②

B.③④

C.②③

D.①②③

【答案】C

【解析】不等式 x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) 等价为 (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 ,即满
足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 【详解】

解:对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式 x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) 恒成立,

不等式等价为 (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 恒成立, 即函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数.

①函数 y x3 x 1 ,则 y 3x2 1 ,当 x 3 ,或 x 3 时, y 0 ,此时函数为减函数,

3

3

不满足条件.

② y 3x 2(sin x cos x) , y 3 2(cos x sin x) 0 ,函数单调递增,满足条件.

③ y ex 1 为增函数,满足条件.



y



sin x ex e1x

,在定义域上不具有单调性,不满足条件.

综上满足“ H 函数”的函数为②③,

故选: C .

【点睛】

本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键.

( ) 12.经过双曲线

x2 a2

-

y2 b2

=1

a >b>0

的右焦点为 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相

较于 M , N 两点,若 O 为坐标原点, DOMN 的面积是 2 a2 ,则该双曲线的离心率是( ) 3

A. 2

B. 5 2

C. 5

D. 6 2

【答案】B

( ) 【解析】试题分析:双曲线

x2 a2

-

y2 b2

=1

a >b>0

的渐近线方程为 y b x ,设两条渐近线的夹角 a



,则

tan



tan

MON



b a







b a

1

b a







b a





2ab a2 b2

,设

FN



ON

,则

F

到渐近线

y b x 的距离为 d bc b ,即有 ON c2 b2 a ,则 OMN 的面积可以表示为

a

a2 b2

1 a a tan 2

a3b 2a2 ,解得 a 2b ,则 e c

a2 b2 3

a

a2 b2 a2



1

b2 a2



5 .故选 C. 2

【考点】双曲线的简单性质.

【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程,设两条渐近线的夹角为 ,由两直线的夹角公式,可得 tan tan MON ,求出 F 到渐近线 y b x 的距离为 b ,即有 ON a,OMN 的面积可以表
a
示为
1 a a tan ,结合条件可得 a,b 的关系,再由离心率公式即可计算得到. 2

二、填空题

13.函数 f x sin2x

3cosx



3 4



x



0,

2



)的最大值是__________.

【答案】1

【解析】【详解】

化简三角函数的解析式,

可得 f x 1 cos2 x 3 cos x 3 cos2 x 3 cos x 1

4

4

(cos x 3 )2 1 , 2
由 x [0, ] ,可得 cos x [0,1] , 2

当 cos x 3 时,函数 f (x) 取得最大值 1. 2

14.过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线,设切点分别为 P、Q ,则直线 PQ 的方程
是 ______.
【答案】 3x 4y 20 0

【解析】直线 PQ 可看作已知圆与以 OC 为直径的圆的交线,求出未知圆的方程,运用两圆方程相
减,即可. 【详解】
解:圆 x2 y2 6x 8y 20 0 可化为 (x 3)2 ( y 4)2 5

圆心 C(3, 4) ,半径为 R 5 ,

过原点 O 作 C 的切线,切点分别为 P , Q ,

直线 PQ 可看作已知圆与以 OC 为直径的圆的交线,

以 OC

为直径的圆的方程为



x



3 2

2





y



22



25 4



即 x2 y2 3x 4y 0 ,

两式相减得 3x 4y 20 0 ,

即直线 PQ 的方程为 3x 4y 20 0 ,

故答案为: 3x 4y 20 0 .

【点睛】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键.
15.设定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x ,则不等式 ex1 f x f 2x 1 的解集为
__________. 【答案】 (1, )

【解析】根据条件构造函数 F()

f x ,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.
ex

【详解】

设 F()

f x ,
ex

则 F′()

f

' x
ex

f x ,

∵ f x f x,

∴F′()>0,即函数 F()在定义域上单调递增.
∵ ex1 f x f 2x 1



f x<
ex

f

2x 1
e2 x1

,即 F()<F(2 1)

∴ x<2x 1,即>1

∴不等式 ex1 f x f 2x 1 的解为 1,

故答案为: 1,

【点睛】 本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键.

16.已知椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,点 P 在直线 l : x 3y 8 2 3 0 上, 16 4

当 F1PF2 取最大值时,

PF1 PF2

______.

【答案】 3 1

【解析】先根据椭圆 x2 y2 16 4

1 的方程得出其左右焦点分别为 F1(2

3 ,0) 、与 F2 (2

3 ,0) .如

图,根据平面几何知识知,当 F1PF2 取最大值时,经过 F1 与 F2 的圆与直线 l 相切,求出圆心坐标,
再利用相似三角形的知识得出 | PF1 | PB ,最后利用相似比即可求出答案. | PF2 | BF2
【详解】

解:椭圆 x2 y2 16 4

1 的左右焦点分别为 F1(2

3 , 0) 、与 F2 (2

3 , 0) .

如图,根据平面几何知识知,当 F1PF2 取最大值时,经过 F1 与 F2 的圆与直线 l 相切,此时圆心在

y 轴上,坐标为 A(0, 2) ,

在直线 l : x 3y 8 2 3 0 中令 y 0 得 B 的坐标:
B 8 2 3,0 ,

在三角形 BPF1 和三角形 BF2P 中, BPF1 BF2P , BPF1∽△ BF2P ,

| PF1 | PB

AB2 PA2

3 1.

| PF2 | BF2 BO OF2

故答案为: 3 1.

【点睛】

本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

三、解答题
17.在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b, c ,且 (b 2c) cos A a cos B 0 .
(1)求角 A ;
(2)若 a 2 5 , cos B 2 5 ,求 BA 的长度. 5
【答案】(1) A ;(2) AB=6 4
【解析】(1)ABC 中,由 a cos B ( 2c b) cos A ,利用正弦定理求得 cos A 2 ,可得 A 的值.
2
(2) ABC 中,先由正弦定理求得 AC 的值,再由余弦定理求得 AB 的值.
【详解】
解:(1) ABC 中,由 a cos B ( 2c b) cos A ,利用正弦定理可得

sin Acos B 2 sin C cos A sin B cos A ,
化简可得 sin(A B) 2 sin C cos A ,即 sin C 2 sin C cos A ,求得 cos A 2 ,
2
A . 4

(2)由 cos B 2 5 ,可得 sin B 5 ,

5

5

再由正弦定理可得

a sin

A



b sin

B

,即

2

5 2



b 5 ,求得 b AC 2

2.

25

ABC 中,由余弦定理可得 BC2 AB2 AC2 2ABgACgcosA ,

即 20 AB2 8 2AB 2 2 2 ,解得 AB 6.
2 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基本知识的考查.

18.手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服

务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越越成为人们喜欢的支付方式.某 机构对某地区年龄在 15 到 75 岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了 100 人, 其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)

年龄段

[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]

频率

0.1

0.32

0.28

0.22

0.05

0.03

使用人数 8

28

24

12

2

1

(1)若以 45 岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率 不超过 0.001 的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?

年龄低于 45 岁

年龄不低于 45 岁

使用手机支付

不使用手机支付

(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取 2 人进行座谈,记选中的 4 人中“使用手机 支付”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据:

P(2≥0)

0.025

0.010

0.005

0.001

0

3.841

6.635

7.879

10.828

参考公式:

K

2



a



n(ad bc)2
bc da cb



d





【答案】(1)填表见解析,可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“使用手机支付”与年龄有 关(2)详见解析 【解析】(1)利用已知条件,求解联列表中的数值,求出 2 的观测值,即可判断结果. (2)的所有可能取值为 0,1,2,3,求出相应的概率,得到分布列,然后求解期望即可.

【详解】 解:(1)由统计表可得,低于 45 岁人数为 70 人,不低于 45 岁人数为 30 人, 可得列联表如下:

年龄低于 45 岁

年龄不低于 45 岁

使用手机支付

60

15

不使用手机支付 10

15

于是有 2 的观测值 k 100 (6015 1510)2 14.286>10.828 . 75 25 70 30

故可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.

(2)由题意可知,的所有可能取值为 0,1,2,3,相应的概率为: P

X 0



C32C22 C52C32

1 10



P X 1 C31C21C22 C32C21 2 ,
C52C32 C52C32 5

P

X 2



C22C22 C52C32



C31C21C21 C52C32



13 , 30

PX

3

C22C21 C52C32

1, 15

于是的分布列为:

0

1

2

3

1

2

13

1

P

10

5

30

15

所以 EX 0 1 1 2 2 13 3 1 22 . 10 5 30 15 15
【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,独立检验的应用,考查计算能力,难度一般.
19.四棱锥 P ABCD 中, PA 面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形,且有 AB 1, AP 2 , BAD 120 , E 为 PC 中点. (1)证明: AC 面 BED ;
(2)求二面角 E AB C 的平面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2) 二面角 E﹣AB﹣C 的平面角的余弦值为 33 11

【解析】(1)因为菱形的对角线互相垂直,所以 AC BD ,再由 PAC 的中位线,得到 EO / /PA,

结合 PA 面 ABCD ,所以 EO 面 ABCD,从而 AC EO .最后根据直线与平面垂直的判定定

理,得到 AC 面 BED ;

(2)以 A 为原点, AD 、 AP 所在直线分别为 y 轴、轴,建立如图所示坐标系,则可得到 A 、 B 、

C



E

各点的坐标,从而得到向量

uuur AB



uuur AC



uuur AE

的坐标,然后利用垂直向量数量积为零的方法,

分别求出平面 ABE 和平面 ABC 的一个法向量,结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦
值.最后根据题意,二面角 E AB C 是锐二面角,得到二面角 E AB C 平面角的余弦值为余两

个法向量夹角余弦的绝对值.

【详解】

解:(1)设 O 为底面 ABCD 的中心,连接 EO , 底面 ABCD为菱形, AC BD

Q PAC 中, E 、 O 分别是 PC 、 PA 的中点

EO / /PA

又Q PA 面 ABCD, EO 面 ABCD

Q AC 面 ABCD,AC EO

又 Q BD 、 EO 是平面 BED 内的两条相交直线

AC 面 BED

(2)以 A 为原点, AD 、 AP 所在直线分别为 y 轴、轴,建立如图所示坐标系,则可得

A(0,0,0), B( 3 , 1 ,0),C( 3 , 1 ,0), E( 3 , 1 , 2 )

22

22

442

uuur AB (

3

,



1

,

0),

uuur AE



(

3,1,

2

),

uuur AC



(

3 , 1 ,0)

22

442

22

ur 设 n1 (x1, y1, z1) 是平面 ABE 一个法向量



uv uuuv n1·AB nuv1·uAuEuv



3 x1·2
3 x1·4



y1·(

1 2

)



z1?0



0

1

2

y1·4 z1·2 0

,解得



y1



3x1 6





z1





2

x1

所以取 x1 1 , y1

3 , z1

6 2

uur ,可得 n1

(1,

3, 6 ) , 2

uuur

uuur uur

因为 PA 平面 ABC ,所以向量 PA 即为平面 ABC 的一个法向量,设 PA n2 (0,0, 2)

uur uur

cos



n1, n2



uunu1rgunu2uur | n1 || n2 |



6 2 2

33

13 3g 2

11

2

根据题意可知:二面角 E AB C 是锐二面角,其余弦值等于 cos n1, n2

33 11

二面角 E AB C 的平面角的余弦值为 33 . 11

【点睛】 本题给出底面为菱形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥,证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之 值,着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点,属于中档题.

20.设函数 f (x) (m x)ex

(1)求函数 f (x) 的极值;

(2)当 x 0 时, f (x) x 4 恒成立,求整数 m 的最大值.(参考数值 e



2.7183

,e

3 2



4.4817 )

【答案】(1) f (x)极大值=em1 ,无极小值;(2)整数 m 的最大值为 2

【解析】(1)求出函数的定义域、导函数,即可求出函数的单调区间,则极值可求.

(2)题目转化为

m



x ex

4



x(x



0)

恒成立,构造函数设

g(x)



x



x ex

4

,求出导函数,设

h(x) ex (x 3) ,判断 h(x) 的零点所在区间,可得 g x 的单调性,即可表示出的 g x 最小值,

分析得到

49 18



g ( x)min



16 5

,推出结果.

【详解】

解:(1) f (x) 的定义域为 R , f ' (x) (m x 1)ex

令 f '(x) 0 ,解得 x m 1;令 f '(x) 0 ,解得 x m 1

当 x (, m 1) 时, f (x) 单调递增,

当 x (m 1, ) 时, f (x) 单调递减,

f (x)极大值=f (m 1) em1 ;无极小值.

(2) (m



x)ex



x



4

,因为 ex



0 ,所以 m



x4 ex



x



x



0 )恒成立

设 g(x)



x4 ex



x

,则

g'( x)





x ex

3

1



ex

x ex



3

设 h(x) ex x 3 则 h '(x) ex 1 0

所以 h(x) 在 (0, ) 上单调递增,

又 h(1) e 4 0, h( 3) 4.4817 4.5 0, h(2) e2 5 2

所以存在

x0



(

3 2

,

2)

使得

h(

x0

)



0



当 x1, x0 时, h(x) 0 ;当 x x0, 时, h(x) 0

所以 g(x) 在 1, x0 上单调递减, x0, 上单调递增

所以

g( x)min



x0 4 e x0



x0

又 h(x0 ) 0 , ex x 3

所以 g(x)min



x0 4 e x0



x0



x0 x0

4 3



x0

1

x0



1 x0 3

令 t(x) x 1 1 , x ( 3 , 2) x3 2

则 t '(x) 0 ,所以 t(x) 在 ( 3 , 2) 上单调递增, 2

所以 t( 3) 2



t(x)



t(2) ,即

49 18



g ( x)min



16 5

因为 m Z ,所以 m 2 ,所以 m 的最大值为 2

【点睛】

本题考查函数的导数的应用,构造法的应用,二次导数以及函数的最值的求法,考查转化思想以及

计算能力,是难题.

21.已知 P(2, 0) 为椭圆 C :

x2 a2



y2 b2

1(a

b



0) 的右顶点,点 M

在椭圆 C

的长轴上,过点 M



不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,当点 M 与坐标原点 O 重合时,直线 PA、PB 的斜率之

积为 - 1 . 4

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若

uuuur AM



uuur 2MB

,求

OAB

面积的最大值.

【答案】(1) x2 +y2=1;(2) △ OAB 面积的最大值为 1 4

【解析】(1)设 A(x1 , y1) , B(x1 , y1) ,可得 kPA gkPB



y12 x12 4

1 4

.又 x12 a2



y12 b2

1 ,代入上式可

得:

b2 a2



1,a 4

2 ,解得 b ,即可得出椭圆 C

的标准方程.

(2)设直线 AB 的方程为: x ty m(t 0) , (2剟m 2) . A(x1 , y1) , B(x2 , y2 ) ,与椭圆方程联

uuuur uuur 立化为:(4 t2 ) y2 2mty m2 4 0 ,有 AM 2MB ,可得 y1 2 y2 ,利用根与系数的关系可得:

m2



4t2 16 9t2 4



OAB

的面积

S



1 2

|

m( y1



y2 ) |

3 2

|

my2

| ,即可得出.

【详解】

解:(1)设

A(x1 ,

y1) ,

B(x1 , y1) ,则 kPA gkPB



y12 x12

4





1 4



又 x12 a2



y12 b2



1

,代入上式可得:



b2 a2

1, 4

又 a 2 ,解得 b 1.

椭圆 C 的标准方程为: x2 y2 1 . 4

(2)设直线 AB 的方程为: x ty m(t 0) , (2剟m 2) . A(x1 , y1) , B(x2 , y2 ) ,

x ty m

联立



x2

4y2



,化为: (4 t2 ) y2
4

2mty



m2

4



0,

y1



y2





2mt 4 t2



y1 y2



m2 4 4 t2



uuuur uuur AM 2MB , y1 2y2 ,

y1 y2 5 ,代入可得: m2 4t2 16 .

y2 y1 2

9t2 4

OAB

的面积

S



1 2

|

m( y1



y2

)

|

3 2

|

my2

|



S2



9 4

m2

gy22



9 4

4t 2 9t 2

16 4



(4



t

16t 2 2 )(9t

2

4)

9

16t 2 (9t2 4)2



S



12 | t 9t 2

| 4



12 9|t|

4

?

|t|

1,当且仅当 t2



4 9

时取等号.

OAB 面积的最大值为1.

【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等 式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

22.在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴非负半轴为极轴极坐标,曲线 C1 的方程:

x y

2 cos 2 sin



为参数),曲线 C2

的方程:





8 sin(

) 4



(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标系方程;

(2)从 C2 上任意一点 P 作曲线 C1 的切线,设切点为 Q ,求切线长 PQ 的最小值及此时点 P 的极坐
标.

【答案】(1) 曲线 C1 (x 2)2 ( y 2)2 1,曲线 C2 +y﹣8 2 =0; (2)|PQ|的最小值= 35 ,

P

极坐标为:



8,

4



【解析】(1)曲线

C1

的方程



x



2 cos a (a 为参数),消去参数可得:

y 2 sin a

(x

2)2 (y

2)2

1.曲线 C2

的方程:





8 sin(



)

,化为

2 ( sin cos ) 8 ,把 2

4

x cos



y



sin

代入即可得出.

(2)如图所示,过圆心 C1 作 C1P 直线 C2 ,垂足为点 P ,此时切线长 PQ 最小.利用点到直线的

距离公式可得 | C1P | .| PQ |

| C1P |2

r2

,直线 C1P

的方程为:

y



x

,联立

y x

x y 8

,解
2 0



P

,利用





tan

x2 y
x

y2

即可得出

P

极坐标.

【详解】

解:(1)曲线

C1

的方程



x



2 cos a (a 为参数),消去参数可得: (x

2)2 (y

2)2 1.

y 2 sin a

曲线

C2

的方程:





8 sin(



)

,化为

2 ( sin cos ) 8 , x y 8 2

2 0

4

(2)如图所示,过圆心 C1 作 C1P 直线 C2 ,垂足为点 P ,此时切线长 PQ 最小.

| | C1P |

2

2 8 2| 6. 2

| PQ | | C1P |2 r2 62 12 35 ,

直线 C1P 的方程为: y x ,

联立



y



x

,解得 x y 4 2 .

x y 8 2 0

P(4 2,4 2) ,

(4 2)2 (4 2)2 8 ,

tan 4 2 1, .

42

4

P(8, ) . 4

【点睛】

本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关

系、点到直线的距离公式、勾股定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

23.设函数



(1)当 时,解不等式



(2)若

的解集为



,求证



【答案】(1)

(2)

(当且仅当

时取等号)

【解析】(1)由零点分区间的方法,去掉绝对值,分情况解不等式即可;(2)原不等式转化为

,即

解得 a 值即可,再由 1 的妙用,结合均值不等式得到结果.

【详解】

(1)当 时,不等式为











∴ 或.

∴ 不等式的解集为

(2)



,解得

. ,而

解集是





,解得 ,所以





.(当且仅当

时取等号)

【点睛】 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解决二元的 范围或者最值问题,常用的方法有:不等式的应用,二元化一元的应用,线性规划的应用,等.


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 0467资源网 0467.cc
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。liunxqq@126.com