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高考题型答题技巧数学方法在物理学中的应用二

所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执
数学方法在物理学中的应用(二)
四、导数微元法 利用微分思想的分析方法称为微元法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,再从中抽取某 一微小单元进行讨论,从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法。 利用微元法的解题思路可概括为选取“微元”,将瞬时变化问题转化为平均变化问题,避开直接求瞬时 变化问题的困难;再利用数学“微积分”知识,将平均变化问题转化为瞬时变化问题,既完成求解问题的“转 化”又能保证所求问题性质不变且求解更简单。即采取了从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事 物整体的方法。 具体可分以下三个步骤进行:①选取微元;②视微元为恒定,运用相应的规律给出待求量对应的微元表 达式;③在微元表达式的定义域内施以叠加演算,进而求得待求量。 【典例 6】 如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为 l、足够长且电阻 忽略不计,导轨所在平面的倾角为α,条形匀强磁场的宽度为 d,磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直。 长度为 2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成图示装置,总质量为 m,置于导轨上。导体 棒中通以大小恒为 I 的电流(由外接恒流源产生,图中未画出)。线框的边长为 d(d<l),电阻为 R,下边与磁场 区域上边界重合。将装置由静止释放,导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回,导体棒在整个运动过程中 始终与导轨垂直。重力加速度为 g。求:

(1)装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热 Q。 (2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间 t1。 (3)经过足够长时间后,线框上边与磁场区域下边界的最大距离 xm。 【解析】 (1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,作用在线框上的安培力做功为 W 由动能定理:mgsin α·4d+W-BIld=0 且 Q=-W 解得:Q=4mgdsin α-BIld。

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所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执

由牛顿第二定律,在 t 到 t+Δt 时间内,有Δv= Δt

则 = (gsin

)

由=

解得 =



(3)经过足够长时间后,线框在磁场下边界与最大距离 xm 之间往复运动。由动能定理

mgsin ·xm-Bil(xm-d)=0

解得 xm= 【名师点睛】 “微元法”是分析、解决物理问题的常用方法,利用“微元法”处理问题时,需将复杂的物理过程分解 为众多微小的、遵循相同规律的“元过程”(微元),将非理想物理模型变成理想物理模型,然后利用必要的 数学和物理方法处理“元过程”(微元),从而使问题得以解决。 五、几何图形法 利用几何方法求解物理问题时,常用到的有“对称点的性质”“两点间直线距离最短”“直角三角形中斜 边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识,如:带电粒子在有界磁场中的运动类问题,在 进行物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等。与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分 的解题中均有应用,尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多,此类问题的难点往往在圆 心与半径的确定、圆心角和弦切角的大小等。 【典例 7】 如图所示,在竖直平面内的直角坐标系中,一个质量为 m 的质点在外力 F 的作用下从坐标 原点 O 由静止沿直线 ON 斜向下运动,直线 ON 与 y 轴负方向成θ角(θ<π4 ),则 F 的大小至少为____;若 F =mgtanθ,则质点的机械能大小的变化情况是_______________。

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【答案】 mgsin θ 增加、减少都有可能 【名师点睛】 运用平行四边形(三角形)定则分析物体受力的变化情况(或用相似三角形比较受力)是一种常用的方法 【典例 8】 如图所示,三角形区域磁场的三个顶点 a、b、c 在直角坐标系内的坐标分别为(0,2 3 cm), (-2 cm,0),(2 cm,0),磁感应强度 B=4×10-4 T,大量比荷qm=2.5×105 C/kg、不计重力的正离子,从 O 点以 v=2 3 m/s 相同的速率沿不同方向垂直磁场射入该磁场区域.求:

(1)离子运动的半径; (2)从 ac 边离开磁场的离子,离开磁场时距 c 点最近的位置坐标; (3)从磁场区域射出的离子中,在磁场中运动的最长时间.

mv 【解析】:(1)由 qvB=m 得,R=qB,代入数据可解得 R=2 3 cm (2)沿 Oc 方向入射的粒子离开磁场时距 c 点最近,设从 ac 边离开磁场的离子距 c 最近的点的坐标为 M(x, y),则 x=Rsin 30°= 3 cm

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所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执
y=R-Rcos 30°=(2 3-3) cm 离 c 最近的点的坐标为 M[ 3 cm,(2 3-3) cm] (3)从 a 点离开磁场的离子在磁场中运动时间最长,其轨迹所对的圆心角为 60° T=2π Bqm=5π0 s t=T6=3π00 s。 【答案】(1)2 3 cm(2)[ 3 cm,(2 3-3) cm](3)3π00 s 【名师点睛】 粒子进入磁场的速度方向是圆周的切线,与轨迹圆的半径垂直,粒子离开磁场时的速度方向也是轨迹圆 的切线,与轨迹圆的半径垂直,这样,根据速度方向就确定了半径方向,两条半径的交点必然是圆心。一旦半 径、圆心确定之后,就能准确画出轨迹圆了。 六、解析几何法 解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科,其研究方法是将几何图形用代数方程来表示。 解析几何在高中物理中的应用主要有两个方面:一是将物理规律(方程)转化为几何图象,利用图象的性质和 几何方法来研究物理问题;二是将图形或图象转化为方程,用求解代数方程的方法研究物理问题。 【典例 9】 如图所示,在一半径为 R 的圆形区域内有磁感应强度为 B 的匀强磁场,方向垂直纸面向外。 一束质量为 m、电量为 q 带正电的粒子沿平行于直径 MN 的方向进入匀强磁场,粒子的速度大小不同,重力 不计。入射点 P 到直径 MN 的距离为 h,求:

(1)某粒子经过磁场射出时的速度方向恰好与其入射方向相反,求粒子的入射速度是多大? (2)恰好能从 M 点射出的粒子速度是多大? (3)若 h=R2,粒子从 P 点经磁场到 M 点的时间是多少? 【解析】:(1)粒子出射方向与入射方向相反,即在磁场中运动了半个周期,其半径 r1=h

则 qv1B= qBh
解得 v1= m 。

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所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执

得 r2=

qv2B=m

所以 v2=

.

R

h

π

(3)若 h=2,sin∠POQ=R= ,可得∠POQ= 6

由几何关系得粒子在磁场中偏转所对圆心角为α=7π 6 周期 T=2π Bqm 所以 t=2απT=76πBqm。

【答案】:(1)qBmh (2) 【名师点睛】

(3)76πqBm

解析几何把“方程”与“图形”联系了起来,是一门用代数方法来研究几何问题的数学学科,解析几何

在物理问题中的应用主要有两个方面:一个是把表达物理规律的代数方程转化为几何图形,利用图形的性质

和几何方法来研究问题;另一个是倒过来将几何图形转化为方程,用求解代数的方法求解物理问题。

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