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天津市部分区2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷含答案

天津市部分区 2019-2020 学年度第一学期期末考试 高三数学(理)
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A {x | x2 4 0} ,集合 B {x |1 x 0},则 A B ( )

A. (1,2)

B. (1,2]

C. [2,1)

D. (2,1)

2.“ ”是“ cos2 0 ”的(



4

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

x 0 3.设变量 x, y 满足约束条件 2x 3y 9 0 ,则目标函数 z x 2 y 的取值范围是( )
x 2 y 1 0

A. [6,)

B. [5,)

C. [5,6]

D. [0,5]

4.阅读如图所示的程序框图,若输入的 a, b 分别为 1,2,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )

A. 20 3

B. 16 5

C. 7 2

D. 15 8

5.已知双曲线

x2 a2



y2 b2

1

(a 0,b 0) 的一个焦点为 F (2,0) ,且双曲线的两条渐近线的夹角为 600 ,

则双曲线的方程为( )

A. x2 y2 1 3

C. x2 y2 1 或 x2 y2 1

3

3

B. x2 y2 1 62

D. x2 y2 1 或 x2 y2 1

3

62

6.在 ABC中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 sin C sin 2B ,且 b 2 , c 3 ,则 a 等于
()

A. 1 2

B. 3

C. 2

D. 2 3

7.如图,平面四边形 ABCD中, ABC ADC 900 , BC CD 2 ,点 E 在对角线 AC 上,

AC 4AE 4 ,则 EB ? ED 的值为( )

A. 17

B.13

C. 5

D.1

8.已知函数 f (x) ex ex (其中 e 是自然对数的底数),若当 x 0 时, mf (x) ex m 1 恒成立,

则实数 m 的取值范围为( )

A. (0, 1) 3

B. (, 1] 3

C. [1 ,) 3

D. [ 1 , 1] 33

第Ⅱ卷(共 110 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)

9.已知 i 为虚数单位,则 2 i



1 i

10.在 (2x 1 )6 的展开式中 x2 的系数为 x

.(用数字作答)

11.一个四棱柱的三视图如图所示,该四棱柱的体积为



12.已知曲线 y x3 与直线 y kx(k 0) 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 4,则 k



x 4t 2

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线

( t 为参数)的焦点为 F ,动点 P 在抛物线上,动点

y 4t

Q

在圆

x



y

3 cos sin



为参数)上,则 |

PF | |

PQ|

的最小值为



14.已知函数

f

(x)



1 3

x 1, x



0 ,若函数

f

(x) ax

0 恰有

3

个零点,则实数 a

的取值范围

| ln x |, x 0





三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知函数 f (x) cos2 x sin 2 x 2 3 sin x cos x , x R .

(1)求 f (x) 的最小正周期;

(2)求 f (x) 在区间 [ , ] 上的最大值与最小值. 64
16.某大学现有 6 名包含 A 在内的男志愿者和 4 名包含 B 在内的女志愿者,这 10 名志愿者要参加第十三
届全运会支援服务工作,从这些人中随机抽取 5 人参加田赛服务工作,另外 5 人参加径赛服务工作.
(1)求参加田赛服务工作的志愿者中包含 A 但不包含 B 的概率; (2)设 X 表示参加径赛服务工作的女志愿者人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望. 17. 在如图所示的几何体中,DE // AC ,ACB ACD 900 ,AC 2DE 3 ,BC 2 ,DC 1,

二面角 B AC E 的大小为 600 .

(1)求证: BD 平面 ACDE ; (2)求平面 BCD 与平面 BAE 所成的角(锐角)的大小; (3)若 F 为 AB 的中点,求直线 EF 与平面 BDE 所成的角的大小.

18. 已知 {an} 是等比数列,满足 a1 2 ,且 a2 , a3 2, a4 成等差数列.

(1)求 {an} 的通项公式;

(2)设 bn 2nan ,数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn

, g(n) 2n2 9n 7 Sn 4

(n 2, n N *) ,求正整数 k 的

值,使得对任意 n 2 均有 g(k) g(n) .

19.

设椭圆

x2 a2



y2 b2



1(a



b



0)

的左焦点为

F1

,离心率为

1 2

, F1 为圆 M

: x2

y2

2x 15 0 的圆

心.

(1)求椭圆的方程;

(2)已知过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,过 F2 且与 l 垂直的直线 l1 与圆 M 交于 C, D 两 点,求四边形 ACBD面积的取值范围.

20. 已知函数 f (x) ln x a(1 x) , a R .

(1)讨论 f (x) 的单调性;

(2)当

a





1 2

时,令

g(x)



x2

1

2

f

(x)

,其导函数为

g'(x)

,设

x1,

x2

是函数

g(x)

的两个零点,判

断 x1 x2 是否为 g'(x) 的零点?并说明理由. 2

天津市部分区 2017~2018 学年度第一学期期末考试

高三数学(理)参考答案

一、选择题: 1-8CABDC CDB 二、填空题:

9. 1 3 i 22

10. 240

11. 36 12. 4

13.3

14.



1 3

,

1 e



三、解答题:

(15)解:(Ⅰ) f x cos2 x sin2 x 2 3 sin x cos x

cos 2x 3 sin 2x



2



1 2

cos

2

x



3 2

sin

2

x





2

sin



2x



6



所以 T 2 ,所以 f x 的最小正周期为 .
2

(Ⅱ)由

x



6

,

4



,得

2x



6



6

,

2 3





所以当 2x 6





6

,

2



,即

x





6

,

6



时,函数

f

x 单调递增;



2x



6



2

,

2 3



,即

x



6

,

4



时,函数

f

x

单调递减;

且当 2x 6



6

,即

x



6

时,

sin



2

x



6





1 2

,此时

f

x= 1;



2x



6



2

,即

x



6

时,

sin



2

x



6



1

,此时

f

x=2 ;

当 2x 6



2 3

,即

x



4

时,

sin



2x



6





3 ,此时 f x =
2

3;

所以当 x 时, f x 取得最小值 1;当 x 时, f x 取得最大值 2

6

6

(16)解:(I)记参加田赛服务工作的志愿者中包含 A 但不包含 B 的事件为 M ,

则基本事件的总数为 C150 ,

事件 M 包含基本事件的个数为 C84 ,



PM





C84 C150



5 18

.

(II)由题意知 X 可取的值为: 0,1, 2,3, 4 .

则 PX

0

C65 C150



1, 42

PX

1



C64C41 C150



5, 21

PX

2

C63C42 C150

10 , 21

PX

3

C62C43 C150



5, 21

PX

4

C61C44 C150



1, 42

因此 X 的分布列为

X

0

1

2

3

4

1

5

10

5

1

P

42

21

21

21

42

X 的数学期望是
E(X ) 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 4 P X 4
= 0 1 1 5 2 10 3 5 4 1 2. 42 21 21 21 42
(17)解:方法一:(I)因为 ACB ACD 90o ,则 AC CD , AC CB , 所以 BCD 为二面角 B AC E 的平面角,即 BCD 60o , 在 BCD 中, BC 2 , DC 1, BCD 60o , 所以 BD2 4 1 2 21 1 3 ,所以 BD2 DC2 BC2 ,即 BD DC ,
2 由 AC CD , AC CB ,且 BC I DC C ,可知 AC 平面 BCD , 又 BD 平面 BCD ,所以 AC BD , 又因为 AC I DC C , AC 平面 ACDE , DC 平面 ACDE , 所以 BD 平面 ACDE .

(II)由 BD 平面 ACDE 得 BD DC , BD DE ,又 AC CD ,即 DB , DC , DE 两两垂直, uuur uuur uuur
则以 DB , DC , DE 分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.

由(I)知 BD 3 , 则 D0 , 0 , 0 , B 3 , 0 , 0 , C 0 ,1, 0 ,



AC



2DE



3



E



0

,

0

,

3 2





A

0

,1,

3

依题意

uuur AE





0

,

1,



3 2





uuur AB



3 , 1,3 ,

r
设平面 BAE 的一个法向量为 n x , y , z ,



r nr



uuur AE uuur



0

,即



y 3 z 0 2

r ,不妨设 y 3 ,可得 n 3 , 3 , 2 ,

n AB 0 3x y 3z 0

uuur
由 AC 平面 BCD 可知平面 BCD 的一个法向量为 AC 0 , 0 ,3

设平面 BCD 与平面 BAE 所成的角(锐角)为 ,

r uuur 所以 cos cos n , AC

r uuur rn uAuCur



6 1 ,于是 = ,

n AC 4 3 2

3

所以平面 BCD 与平面 BAE 所成的角(锐角)为 . 3

(III)若 F 为 AB 的中点,则由(II)可得 F

3 2

,

1 2

,

3 2



,所以

uuur EF





3 2

,

1 2

,

0





uuur
依题意 CD 平面 BDE ,可知平面 BDE 的一个法向量为 DC 0 ,1 , 0 ,

设直线 EF 与平面 BDE 所成角为 ,则

uuur uuur sin cos DC , EF

uuur uuur uDuuCr EuuFur

1 ,所以直线 EF 与平面 BDE 所成角的大小 .

DC EF 2

6

方法二:(I)因为 ACB ACD 90o ,则 AC CD , AC CB , 所以 BCD 为二面角 B AC E 的平面角,即 BCD 60o , 在 BCD 中, BC 2 , DC 1, BCD 60o , 所以 BD2 4 1 2 21 1 3 ,所以 BD2 DC2 BC2 ,即 BD DC ,
2 由 AC CD , AC CB ,且 BC I DC C ,可知 AC 平面 BCD , 又 BD 平面 BCD ,所以 AC BD , 又因为 AC I DC C , AC 平面 ACDE , DC 平面 ACDE , 所以 BD 平面 ACDE .

(Ⅱ)令 AE,CD 的延长线的交点为 G ,连 BG 。则平面 BDC 平面 BAE BG ,
∴二面角 A BG C 即平面 BCD 与平面 BAE 所成的角(锐角)
∵ DE ∥ AC , DE 1 AC ,∴ DE 是 GAC 的中位线,∴ GC 2DC 2 ,
2 ∴ BCG 为正三角形。 令 BG 的中点为 H ,连 CH, AH 。易知 CH BG ,且 CH 3
在直角 ABC 中, AB AC 2 BC 2 13 ,
在直角 AGC 中, AG AC 2 GC 2 13 ,∴ AB AG ,∴ AH BG , ∴ AHC 是二面角 A BG C 的平面角。 在直角 ACH 中, tan AHC AC 3 3 ,∴ AHC 60
CH 3

∴平面 BCD 与平面 BAE 所成的角(锐角)为 60 (Ⅲ)∵ AC CD , DE ∥ AC ,∴ CD DE ,即 GD DE 。 又∵ D 是正 BCG 的边 GC 的中点,∴ GD BD , ∵ BD, DE 是平面 BDE 内的两条相交直线∴ GD 平面 BDE 。
∴ GBD 是直线 BG 与平面 BDE 所成的角。显然 GBD 30 。

∵ EF ∥ BG ,∴直线 EF 与平面 BDE 所成的角为 30
(18)解:(Ⅰ)设数列 an 的公比为 q ,则由条件得: 2a3 2 a2 a4 ,
又 a1 2 ,则 2 2q2 2 2q 2q3 4 q2 1 2q 1 q2 ,

因为1 q2 0 ,解得: q 2 ,

故 an 2n .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: bn 2nan n 2n1 ,

则 Sn 1 22 2 23 L n 2n1



2Sn 1 23 2 24 L n 2n2



①- ②得: Sn 1 22 23 24 L 2n1 n 2n2

1 22 23 2n1 2 n 2n2 1 n 2n2 4
1 2

所以 Sn n 1 2n2 4



g

n



2n2 9n Sn 4

7

,则

g

n



2n 7 2n2

n 2, n N



g

n

1



g

n



2n 1
2n3



7



2n 7 2n2



9 2n 2n3

得:当 9 2n 0 2 n 4n N 时, g 2 g 3 g 4 g 5 ;

当 9 2n 0 n 5n N 时, g 5 g 6 g 7 L ;

所以对任意 n 2 ,且 n N 均有 g 5 g n ,故 k 5

(19)解:(Ⅰ)由题意知 c 1 ,则 a 2c , a2

圆 M 的标准方程为 (x 1)2 y2 16 ,从而椭圆的左焦点为 F1 1, 0 ,即 c 1 ,
所以 a 2 ,又 b2 a2 c2 ,得 b 3 .

所以椭圆的方程为: x2 y2 1. 43
(Ⅱ)可知椭圆右焦点 F2 1 , 0 .
(ⅰ)当 l 与 x 轴垂直时,此时 k 不存在,直线 l: x 1 ,直线 l1 : y 0 , 可得: AB 3 , CD 8 ,四边形 ACBD 面积为 12.

(ⅱ)当 l 与 x 轴平行时,此时 k=0 ,直线 l : y 0 ,直线 l1 : x 1 ,

可得: AB 4 , CD 4 3 ,四边形 ACBD 面积为 8 3 .

(iii)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y k x 1 k 0 ,并设 A x1, y1 , B x2, y2 .

y k(x 1),





x

2

4



y2 3

得 1,

4k2 3

x2 8k2x 4k2 12 0 .

显然





0 ,且

x1



x2



8k 2 4k 2

3



x1x2



4k 2 12 4k 2 3

.

所以 AB

1 k2

x1 x2



12(k 2 1) 4k 2 3

.



F2

且与

l

垂直的直线

l1

:

y





1 k

(

x

1)

,则圆心到

l1

的距离为

2, k2 1

所以 CD 2 42 ( 2 )2 4 4k 2 3 .

k2 1

k2 1

故四边形 ACBD 面积: S 1 AB CD 12 1 1 .

2

4k 2 3

可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 ACBD 面积的取值范围为(12, 8 3 ). 综上,四边形 ACBD 面积的取值范围为 12 , 8 3 .
20.解:(Ⅰ)依题意知函数 f x 的定义域为 0 , ,且 f x 1 a .
x
(1)当 a 0 时, f x 0 ,所以 f x 在 0 , 上单调递增.

(2)当 a 0 时,由 f x 0 得: x 1 ,
a

则当

x





0

,

1 a





f

x



0 ;当

x





1 a

,









f

x



0

.

所以

f



x





0

,

1 a



单调递增,在



1 a

,







上单调递减.

(Ⅱ) x1 x2 不是导函数 g x 的零点.
2
证明如下:由(Ⅰ)知函数 g x x2 2lnx x .

∵ x1 , x2 是函数 g x 的两个零点,不妨设 0 x1 x2 ,




x12 x22



2lnx1 2lnx2



x1 x2

0 0





x12 x22



x1 x2



2lnx1 2lnx2

,两式相减得:

x1



x2

x1



x2

1



2lnx1



lnx2



即:

x1



x2

1



2lnx1 lnx2
x1 x2



又 gx 2x 2 1.
x



g

x1

x2 2





x1



x2



x1

4

x2

1

2lnx1 lnx2
x1 x2



x1

4

x2



x1

2

x2

lnx1


lnx2

2 x1 x2

x1 x2



.

设t



x1 x2

,∵ 0



x1



x2 ,∴ 0 t

1,

令 t



lnt



2t 1
t 1

,t



1 t

t

4
12



t 12 t t 12

.

又 0 t 1 ,∴ t 0 ,∴ t 在0,1 上是増函数,

则 t 1 0 ,即当0 t 1 时,lnt 2t 1 0 ,
t 1

从而

lnx1



lnx2





2 x1 x2
x1 x2





0





0



x1



x2



x1



x2



0

所以

x1

2

x2

lnx1


lnx2

2 x1 x2
x1 x2






0





g



x1

2

x2





0

,所以

x1

2

x2

不是导函数

gx

的零点.


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