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向量组与线性方程组的解的结构_图文

第4章 向量组与线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性 4.3向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构

4.1向量组及其线性组合

4.1.1 n 维向量的概念

1.n 维向量的定义n 个有次序的数 a1,a2,L ,an

n 维向量,这 n 个数称为该向量的分量,第 i 个数 a i

称为第 i 个分量(或第 i 个坐标).

T(a1,a2,L,an) 行向量 即 1 n 矩阵

a1







a

2



M

an

列向量 即 n 1 矩阵

2.零向量 0(0,0,L,0)
3.负向量 ( a 1 ,a 2 , L ,a n ) , ( a 1 , a 2 , L , a n )
4.向量的相等
(a1,a2,L,an), (b1,b2,L,bn)
a i b i(i 1 ,2 ,L ,n )
5.向量组 同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称 为向量组

4.1.2 n 维向量的线性运算
1.加法与数乘 (a1,a2,L,an),(b1,b2,L,bn)
为任意实k 数,则
( a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,L ,a n b n )
k(ka 1,ka2,L,kan),

2.加法与数乘的运算规律(略)
注:利用向量的运算,对于方程组 Ax b A(1,2,L,n)

a1 j

j





a2 j M



,

(

j



1,

2,L

, n)

x1

x





x

2



M

b1

b





b2



M



amj



x

n



bm

A x b x 1 1 x 2 2 L x n n b ( 1 ,2 , L ,n ) x = b

4.1.3 向量组的线性组合与线性表示 1.定义2 (1) 给定向量组 A:1,2,L,m,对于任何一组实数
k1,k2,L ,km ,表达式 k11k2 2Lkmm称为向量组
A 的一个线性组合,k1,k2,L ,km 称为该线性组合的系数.
(2)给定向量组 A:1,2,L,m和向量 ,如果存在一组实数
k1,k2,L ,km ,使 k 11 k 22 L k mm
则称 是向量组的线性组合,或称 可由向量组 A 线性表示.

2.定理1
可由向量组 A 线性表示 的充分必要条件是
矩阵A(1,2,L,m)的秩等于矩阵 B(1,2,L,m ,)的秩
注:设 A(1,2,L,m) B(1,2,L,m ,)
可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是
R(A)R(B)m

例1 1 ( 1 , 2 , 3 ) T ,2 ( 2 , 3 , 1 ) T ,3 ( 3 , 1 , 2 ) T , ( 0 , 4 , 2 ) T

试问 能否由1,2,3 线性表示?若能,写出具体表示式.

解:

1 2 3 0 1 0 0 1

B(1,2,3, ) 2
3

3 1

1 2

4 2





0 0

1 0

0 1



1 1



R(A)R(B)3

所以 能否由1,2,3惟一线性表示,且
123

例2 ( 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 7 , 4 )
试问 能否由1,2,3 线性表示?若能,写出具体表示式.
2 0 0 10 0
解: B(A,T)(T,T,T)3 1 7 0 10
0 2 4 0 0 1
因为, R(A)2,R(B)3
所以, 不能由 , 线性表示.

4.1.4 向量组的等价
1.定义3 设两个向量组
A:1,2,L,r ,B:1,2,L,s
若向量组 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表示, 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表示.
若向量组 A 与向量组 B 可以互相线性表示, 则称向量组 A 与向量组 B 等价.
2.定理2 A:1,2,L,r ,B:1,2,L,s
设 A(1,2,L,r) ,B(1,2,L,s)
向量组 A 可由向量组 B 线性表示 R(B )R (A ,B )
推论:向量组 A 与向量组 B 等价 R (A ) R (B ) R (A ,B )

4.2向量组的线性相关性
4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义4 设有n 维向量组A:1,2,L,m,若存在一组不全为
零的数 k1,k2,L ,km使 k11 k 22 L k mm 0,则
称向量组 A:1,2,L,m线性相关,否则称为线性无关. 换言之,若 A:1,2,L,m线性无关,则上式当且仅当
k1k2Lkm0时才成立. 2.由定义4可知,
(1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关;
(4) 向量组 A:1,2,L,m线性相关 齐次线性方程组
x11 x 22 L x mm 0有非零解 R (A ) R (1 , 2 ,L , m ) m

4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件

定理3 向量组 A:1,2,L,m线性相关 R(A) m

向量组 A:1,2,L,m 线性无关 R(A) m

例3

讨论向量组

1

2





3,2

1





2,3



3 2




的线性相关性.

1

1

1

2 1 3

1 1 1

解: A(1,2,3)3 2 2 r 1 r 3 3 2 2

1 1 1

2 1 3

1 1 1

1 1 1

rr 1 1 (( 3 2)) rr 2 3 0 0

1 1

5 r 2( 1) r3 0 1 5

5

0 0 0

由于 R(A)23 ,从而 1,2,3 线性相关.

2 1 3

例4:已知向量组

1


3,2


2,3

5

,问

2

1

4

1,2,3 是否线性相关.

解: 2 1 3 2 1 3 1 1 2 A3 2 5 1 1 2 0 1 1,
2 1 4 0 0 1 0 0 1

R(A) 3

所以,1,2,3 是线性无关.

例5:设向量组 1,2,3 线性无关,又设,

112 ,223, 3 31

证明向量组 1,2,3也线性无关.
证明:设有 k1,k2,k3使得 k 1 1 k 2 2 k 3 3 ( k 1 k 3 ) 1 ( k 1 k 2 ) 2 ( k 2 k 3 ) 3 0

因为 1,2,3线性无关,故有



k k

1 1



k3 k2



0 0

k 2 k 3 0

此时,线性方程组只有零解 k1k2k30

也即向量组 1,2,3线性无关.

定理4 向量组 1,2,L,m(m2)线性相关 向量组中至少
有一个向量可以由其余 m 1 个向量线性表示.
注:两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.
4.2.3 线性相关性的判断定理
定理5 (1)若 1,2,L,r线性相关,则 1,L,r,r1,L,m
也线性相关; ( 2)线性无关向量组的任何部分组必线性无关.
定理6 若 1,2,L,r线性无关,而1,2,L,m, 线性相关,则
能由1,2,L,m线性表示,且表示式是惟一的.

定理7 设有两个向量组
A :j ( a 1 j,a 2 j,L ,a r j) (j 1 ,2 ,L ,m )
B :j ( a 1 j,a 2 j,L ,a r j,a r 1 j) ( j 1 ,2 ,L ,m )
若向量组 A 线性无关,则向量组 B 也线性无关; 若向量组 B 线性相关,则向量组 A 也线性相关.
注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组. 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个 方程就是多余方程,此时称方程组(各个方程)是线性 相关的; 当方程组中没有多余方程,则称该方程组(各个方程) 是线性无关(或线性独立)的 .

4.3向量组的秩
4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义
1.定义5 设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量1,2,L,r
满足⑴ 向量组 1,2,L,r 线性无关; ⑵ 向量组 A 中任意一个向量都能由 1,2,L,r线性表示
那么称 1,2,L,r 是向量组的一个极大线性无关组,简称极
大无关组;极大线性无关组所含向量的个数 r ,称为向量组 A
的秩. 注: (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩 为0.
(2) 任何非零向量组必存在极大无关组. (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价. (4) 线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . (5) 向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无 关组所含向量的个数是惟一的,等于向量组的秩.

4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系

定理8 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量 组的秩.
r 结论:若 D r 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式,则 D r 所在的 r 列即是列向量组的一个极大无关组,D r 所在的 行即
是行向量组的一个极大无关组.

4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组

将所讨论的向量组 的列写成一个矩阵

A 1 ,( 2,1L,,2,L m , 的m 每),并一对个此向矩量阵作施为行矩初阵等

行变换,化为行阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩,

也是向量组的秩(当然也是极大无关组所含向量的个数); 行

阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列对应

的向量构成的向量组就是向量组的一个极大无关组.

例6

1 2 1 0

4



5



2



2

1





01,2





31,3





65,4



2 1

2

2

2

0

解: 将向量组构成矩阵A ,进行初等行变换

1 2 1 0

1 2 1 0



4

5

A



1,2

,

3

,



4







1

1

0 3

2 5 6

2



2

3 1

rr11((41))rr32 r1 ( 2 ) r5



0 0

0

3 3 3

6 6 6

2



2

1

2 2 2 0

0 2 4 0

1 2 1 0

0 rrrr5332((12r511))



rr54

000 rrrr3342(3(12113r3))r4

1 0 0 0

2 0 0 0

0



1



, R(A) 3 从而向量组 1,2,3,4

0

0 的秩为3, 1,2,4 为其一极大无关组.

例7 1 ( 2 , 1 , 4 , 3 ) , 2 ( 1 , 1 , 6 , 6 ) , 3 ( 1 , 2 , 2 , 9 ) , 4 ( 1 , 1 , 2 , 7 ) , 5 ( 2 , 4 , 4 , 9 )
解 将向量组按列排成矩阵 A ,用初等行变换将 A 化为行阶梯形矩阵

2 1 1 1 2

A (1 T , 2 T ,

3 T ,

4 T ,

5 T )



1 4

1 6

2 2

1 2

4



4



3

6

9

7

9



1 1 2 1 4





0 0

1 0

1 0

1 1

0



3



0

0

0

0

0



故 R (1,2,3,4,5)3 ,1,2,4 是其一个极大无关组.

4.4 线性方程组的解的结构

4.4.1齐次线性方程组的解的结构

a11x1 a12x2 L a1nxn 0,



a21x1 LL

a22x2 L a2nxn 0, LLLLLLLLL

(1) Ax0 (2)

am1x1 am2x2 L amnxn 0,

a11 a12 L

A





a21

a22

L

M M



a

m

1

am2

L

a1n

a2n



M

amn



x1

x





x

2



M



x

n



性质1 若 x1,x2为(2)的解,则 x 1 2为(2)的解.

性质2 若 x 1为(2)的解, k 为实数则 x k1 为(2)的解.

结论:将方程组(2)的全体解所组成的集合记作 S ,称为(2)的解向
量组,如果能找到解向量组S 的一个极大无关组 S0:1,2,L,t, 则 S0:1,2,L,t 的任何线性组合
xk11k22 Lkt t
都是方程(2)的解,因此式就是(2)的通解.
齐次线性方程组的解向量组的极大无关组称为该齐次线性 方程组的基础解系.由上面的讨论,要求齐次线性方程组的通解, 只需求出它的基础解系.
定理9 设 mn 矩阵 A 的秩 R(A) r ,则 n 元齐次线性方程组
Ax 0 的解向量组 S 的秩 RS nr .

例8

求齐次线性方程组2x1x1 x52 x2x3

x4 0, 3x3 2x4



0的, 基础解系与通解.

7x1 7x2 3x3 x4 0,

解: 对系数矩阵 A 作初等行变换
1 1 1 1 1 1 1 1

1

0

2 7

73

A2 5 3 20 7 5 7 7 3 1 0 0 0

同解方程组为



x

1



2 7

x3



3 7

x4

4000

1 0

5 7 0

74 0





x

2



5 7

x3



4 7

x4





x1





2 7

x3

3 7

x4



x

2





5 7

x3



4 7

x4

x3 x3 x 4 x 4 所以,方程组的通解为

2 3





x1 x2 x3 x4







c1



7

5

7



1

0





c2



7

4

7



0

1



(c1 , c2



R

)

2 3

一基础解系为



7





7



1





5 7



,



2





4 7





1





0



0

1

4.4.2非齐次线性方程组的解的结构

a11x1 a12x2 L a1nxn b1,



a21x1 a22x2 L a2nxn b2, LLLLLLLLLLL

Axb (5) (4) Ax0 (6)

am1x1 am2x2 L amnxn bm,

a11 a12 L

A





a21

a22

L

M M



a

m

1

am2

L

a1n

a2n



M

amn



x1

x





x

2



M

xn

b1

b





b2



M

bm

性质3 设 x1,x2 是方程(5)的解,则 x1 2 是方程(6)的解.

性质4 设 x 是方程(5)的解, x 是方程(6)的解,则 x 是方程(5)的解.

结论:
若 1,2,L,nr 为方程(6)的一个基础解系 ,
* 是方程(5)的一个特解,
则方程(5)的通解为
x k 11 k 22 L k n rn r*
(k1,k2,L,knr为任意实数).

例9

求解方程组

3x1x1x2x233x3x3x44

1, x4

4,

x1 5x2 9x3 8x4 0.

解: 对增广矩阵B 作初等行变换

1 1 3 1 1

1 1 3 1

1

1

0

3 2

3 4

5 4

B3 1 3 4 40 1 5 9 8 0 0

4 0

6 0

7 0

010 0

1 0

3 2 0

7 4 0

1 4 0

同解方程组为



x1



3 2

x3



3 4

x4



5 4





x

2



3 2

x3



7 4

x4



1 4





x1
x2 x3 x4




3 2

x3



3 2

x3



x3

x4

3 4 7 4

x4 x4



5 4 1 4

所以,方程组的通解为





x1 x2 x3 x4







c1

3



2

3

2



1 0





c2





3

4



7

4

0 1









5 4 1 4 0
0



对应的齐次线性方程组的通解为

5

一特解为



4





*







1 4





0



0

3



2








3 4







x1 x2 x3 x4






c1

3



2

3

2



1

0





c2





3

4



7

4

0



1

一基础解系为

1





3 2



,



2





7 4



1





0



0

1


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