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高考理科数学一轮复习《第10章计数原理》10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文

第十章 计数原理
高考总复习·数学理科(RJ)

第十章 计数原理 §10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考纲要求] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数 原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和 解决一些简单的实际问题.
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第十章 计数原理
1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不 同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有__N_=__m__+__n__种不同的方法.
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第十章 计数原理
2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做 第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有_N__=__m_×__n_种不 同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一 件事的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原 理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都 可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤 相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
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第十章 计数原理
【思考辨析】 判 断 下 面 结 论 是 否 正 确 ( 请 在 括 号 中 打 “√” 或
“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可
以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直
接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中
任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都 完成后,这件事情才算完成.( )
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第十章 计数原理
(4)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有 若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件 事共有m1m2m3…mn种方法.( )
(5)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤 的方法是各不相同的.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
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第十章 计数原理

1.(教材改编)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一

下.由甲开始踢,经过3次传递后,毽子又被踢回给甲.则不

同的传递方式共有( )

A.5种

B.2种

C.3种

D.4种

【解析】 传递方式有甲→乙→丙→甲;甲→丙→乙→甲.

【答案】 B

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第十章 计数原理

2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不

同的选法种数为( )

A.6

B.5

C.3

D.2

【解析】 5个人中每一个都可主持,所以共有5种选法.

【答案】 B

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第十章 计数原理 3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,
要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方 法共有( )
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第十章 计数原理

A.24种

B.30种

C.36种

D.48种

【 解 析 】 按 A→B→C→D 顺 序 分 四 步 涂 色 , 共 有

4×3×2×2=48种.

【答案】 D

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第十章 计数原理
4.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次, 这样的四位数共有________个.(用数字作答)
【解析】 数字2,3至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现1次,“3”出现3次,共可组成C=4个四位数. “2”出现2次,“3”出现2次,共可组成C=6个四位数. “2”出现3次,“3”出现1次,共可组成C=4个四位数. 综上所述,共可组成14个这样的四位数. 【答案】 14
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第十章 计数原理
5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组,每 位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法有________ 种.
【解析】 每位同学都有2种报名方法,因此,可分五步 安排5名同学报名,由分步乘法计数原理,总的报名方法 共2×2×2×2×2=32(种).
【答案】 32
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第十章 计数原理
题型一 分类加法计数原理的应用 【例1】 高三一班有学生50人,男生30人,女生20人; 高三二班有学生60人,男生30人,女生30人;高三三班有 学生55人,男生35人,女生20人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主 席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选 一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?
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第十章 计数原理
【解析】 (1)完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法; 第二类,从高三二班任选一名学生共有60种选法; 第三类,从高三三班任选一名学生共有55种选法. 根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共 有50+60+55=165种选法.
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第十章 计数原理 (2)完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班男生中任选一名共有30种选法; 第二类,从高三二班男生中任选一名共有30种选法; 第三类,从高三三班女生中任选一名共有20种选法. 综上知,共有30+30+20=80种选法.
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第十章 计数原理 【方法规律】 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所
在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首 先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完 成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.
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第十章 计数原理

跟踪训练1 (2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有

重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )

A.144个

B.120个

C.96个

D.72个

【解析】 由题意知,首位数字只能是4,5,若万位是5,

则有3×A=72个;若万位是4,则有2×A=48个,故比40 000

大的偶数共有72+48=120个.选B.

【答案】 B

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第十章 计数原理

题型二 分步乘法计数原理的应用

【例2】 (1)(2017·青岛模拟)将字母a,a,b,b,c,c排成

三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相

同,则不同的排列方法共有( )

A.12种

B.18种

C.24种

D.36种

(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,

且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.

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第十章 计数原理 【解析】 (1)先排第一列,由于每列的字母互不相同,
因此共有6种不同排法; 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的
排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法. 因此共有6×2×1=12种不同的排列方法.
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第十章 计数原理 (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目
选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第 三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同 的报名方法共有6×5×4=120种.
【答案】 (1)A (2)120
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第十章 计数原理
【引申探究】 1.本例(2)中将条件“每项限报一人,且每人至多参加 一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有 多少种不同的报名方法? 【解析】 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项, 各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得 不同的报名方法共有36=729种.
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第十章 计数原理
2.本例(2)中将条件“每项限报一人,且每人至多参加 一项”改为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”, 则有多少种不同的报名方法?
【解析】 每人参加的项目不限,因此每一个项目都可 以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可 得不同的报名方法共有63=216种.
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第十章 计数原理
【方法规律】 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按 事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且 分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只 有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干 扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
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第十章 计数原理

跟踪训练2 (1)(2017·商洛一模)某体育彩票规定:从01至

36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至

10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至

30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这

种特殊要求的号买全,至少要花( )

A.3 360元

B.6 720元

C.4 320元

D.8 640元

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第十章 计数原理
(2)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的 个数为________.
【解析】 (1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法; 从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个 号有10种选法;从31至36中选1个号有6种选法,根据分步 乘法计数原理,得共有8×9×10×6=4 320种,所以至少 需花4 320×2=8 640(元).
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第十章 计数原理 (2)可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字
有5种放法;第二步:十位数字有5种放法;第三步:个位 数字有4种放法.根据分步乘法计数原理,三位数个数为 5×5×4=100.
【答案】 (1)D (2)100
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第十章 计数原理 题型三 两个计数原理的综合应用 【例3】 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一
种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色 可供使用,求不同的染色方法种数.
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第十章 计数原理
【解析】 方法一 可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶 点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数 原理即可得出结论.由题设,四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染 的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法.
当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3,若C染2, 则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染 法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S、A、B已染 好时,C、D还有3+2+2=7种染法,故不同的染色方法有60×7 =420(种).
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第十章 计数原理 方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色. 第一步,S点染色,有5种方法; 第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B点染色,与S、A分别在同一条棱上,有3种
方法;
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第十章 计数原理
第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S、A 、C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色 时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S、B 也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法 .由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有 5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).
方法三 按所用颜色种数分类. 第一类,5种颜色全用,共有A种不同的方法;
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第十章 计数原理 第二类,只用 4 种颜色,则必有某两个顶点同色(A 与 C,或
B 与 D),共有 2×A45种不同的方法; 第三类,只用 3 种颜色,则 A 与 C、B 与 D 必定同色,共有
A35种不同的方法. 由分类加法计数原理,得不同的染色方法种数为 A55+2×A45+A35=420.
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第十章 计数原理
【方法规律】 (1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还 是分步.
(2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键. (3)分步要做到“步骤完整”,步步相连能将事件完成. (4)较复杂的问题可借助图表完成.
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第十章 计数原理 跟踪训练3 (2017·南京模拟)如图,用4种不同的颜色对
图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一 种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方 法有________种.
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第十章 计数原理
【解析】 按区域1与3是否同色分类. ①区域1与3同色:先涂区域1与3,有4种方法, 再涂区域2,4,5(还有3种颜色),有A种方法. ∴区域1与3涂同色,共有4A=24种方法. ②区域1与3不同色:先涂区域1与3,有A种方法, 第二步,涂区域2有2种涂色方法,
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第十章 计数原理
第三步,涂区域4只有一种方法, 第四步,涂区域5有3种方法. ∴这时共有A×2×1×3=72种方法. 故由分类加法计数原理,不同的涂色方法的种数为24+ 72=96. 【答案】 96
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第十章 计数原理

易错警示系列15

对两个基本原理认识不清致误

【典例】 (1)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共

有( )

A.24种

B.4种

C.43种

D.34种

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,

在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人

的走法可有________种.

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第十章 计数原理
【易错分析】 解决计数问题的基本策略是合理分类和 分步,然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易 出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错 误,对于(1),选择的标准不同,误认为每个信箱有三种选 择,所以可能的投法有34种,没有注意到一封信只能投在 一个信箱中;对于(2),易混淆“类”与“步”,误认为到 达乙地先坐火车后坐轮船,使用乘法原理计算.
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第十章 计数原理 【解析】 (1)第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信投
到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种投法 .只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法 计数原理可得共有43种方法.
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第十章 计数原理 (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮
船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分 类加法计数原理,可得此人的走法可有4+3=7种.
【答案】 (1)C (2)7
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第十章 计数原理
【温馨提醒】 (1)每封信只能投到一个信箱里,而每个 信箱可以装1封信,也可以装2封信,其选择不是唯一的, 所以应注意由信来选择信箱,每封信有4种选择.
(2)在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类” 与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情 ,可以避免计数的重复或遗漏.
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第十章 计数原理
?方法与技巧 1.分类加法和分步乘法计数原理,都是关于做一件事 的不同方法的种数的问题,区别在于:分类加法计数原理 针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何 一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分 步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才 算完成这件事.
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第十章 计数原理 2.分类标准要明确,做到不重复不遗漏. 3.混合问题一般是先分类再分步. 4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、
清楚,便于探索规律.
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第十章 计数原理
?失误与防范 1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类 还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键 在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.
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第十章 计数原理
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