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高三物理 (基础考点归纳+重难点突破+随堂检测)《机械振动》教学一体练

机械振动

简谐运动

1.概念

质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律,即它的振动图象(x-t 图象)

是一条正弦(或余弦)曲线.

2.简谐运动的表达式

(1)动力学表达式:F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反.

(2)(2)运动学表达式:x=Asin ωt,其中 A 代表振幅,ω=2πf 表示简谐运动的快慢.

3.回复力

(1)定义:使物体返回到平衡位置的力.

(2)方向:时刻指向平衡位置.

(3)来源:振动物体所受的沿振动方向的合力.

4.描述简谐运动的物理量

物理量

定义

意义

位移

由平衡位置指向质点所在位置的有向线 描述质点振动中某时刻的位置相对于平



衡位置的位移

振幅

振动物体离开平衡位置的最大距离

描述振动的强弱和能量

周期

振动物体完成一次全振动所需时间

频率 振动物体单位时间内完成全振动的次数

5.描述简谐运动的图象

描述振动的快慢,两者互为倒数:T=1f

图象

横轴 纵轴 物理意义

表示振动时间 表示某时刻质点 的位移 表示振动质点的位移随时间的变化规律

【针对训练】 1.如图 12-1-1 所示,物体 A 和 B 用轻绳相连,挂在轻弹簧下静止不动,A 的质量为 m,B 的质量为 M,弹簧的劲度系数为 k.当连接 A、B 的绳突然断开后,物体 A 将在竖直方向 上做简谐运动,则 A 振动的振幅为( )

图 12-1-1

A.Mkg

B.mkg

M+m g

M+m g

C. k

D. 2k

【解析】 物体 A 振动的平衡位置弹簧弹力和 A 物体重力相等.物体 B 将 A 拉至平衡位

1

置以下最大位移

Δx=Mkg处,故

A

Mg 振动的振幅为 k ,A

正确.

【答案】 A

受迫振动和共振

1.受迫振动

(1)概念:振动系统在周期性驱动力作用下的振动.

(2)特点:物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟物体自身的固

有频率无关.

2.共振

(1)现象:当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大.

(2)条件:驱动力的频率等于固有频率.

(3)特征:共振时振幅最大.

(4)共振曲线:如图 12-1-2 所示.

图 12-1-2

【针对训练】

2.下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系,若该振动系统的固有频率

为 f 固,则( )

驱动力频率/Hz

30

40

50

60

70 80

受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3

A.f 固=60 Hz B.60 Hz<f 固<70 Hz C.50 Hz<f 固<60 Hz D.以上三项都不对

【解析】

从图所示的共振曲线,可判断出 f 驱与 f 固相差越大,受迫振动的振幅越小;f 驱与 f 固 越接近,受迫振动的振幅越大.并从中看出 f 驱越接近 f 固,振幅的变化越慢.比较各组数据 知在 f 驱在 50 Hz~60 Hz 范围内时,振幅变化最小,因此,50 Hz<f 固<60 Hz,即 C 选项 正确.
【答案】 C

(对应学生用书第 199 页)

1.简谐运动的两种模型 模型

简谐运动模型及规律

2

比较项目

弹簧振子

单摆

模型示意图

特点

(1)忽略摩擦力,弹簧对小球的弹力 提供回复力

(2)弹簧的质量可忽略

(1)细线的质量、球的 直径均可忽略

(2)摆角 θ 很小

(3)重力的切向分力提供回复力

公式

回复力

F=-kx

(1)回复力

F=-mlgx

(2)周期

T=2π

l g

2.简谐运动的运动规律:x=Asin ωt

(1)变化规律

回复力、加速度变大

位移增大时

速度、动能减小机械能守恒

势能增大



振幅、周期、频率保持不变

(2)对称规律 ①做简谐运动的物体,在关于平衡位置对称的两点,回复力、位移、加速度具有等大反 向的关系、另外速度的大小、动能具有对称性,速度的方向可能相同或相反. ②振动质点来回通过相同的两点间的时间相等,如 tBC=tCB;质点经过关于平衡位置对 称的等长的两线段时时间相等,如 tBC=tB′C′,如图 12-1-3 所示.

图 12-1-3

(1)简谐运动具有往复性,位移相同时,回复力、加速度、动能和势能等可以确定,但 速度可能有两个方向.
(2)简谐运动具有周期性和对称性特点,往往会出现多解问题.
图 12-1-4 一个质点在平衡位置 O 点附近做机械振动.若从 O 点开始计时,经过 3 s 质点第一次经 过 M 点(如图 12-1-4 所示);再继续运动,又经过 2 s 它第二次经过 M 点;则该质点第三 次经过 M 点还需要的时间是( )
3

A.8 s

B.4 s

C.14 s

D.130 s

【解析】 设图中 a、b 两点为质点振动过程的最大位移处,若开始计时时刻,质点从

O 点向右运动,O→M 过程历时 3 s,M→b→M 运动过 程历时 2 s,显然,T4=4 s,T=16 s.质

点第三次经过 M 点还需要的时间 Δt3=T-2 s=(16-2) s=14 s,故选项 C 正确. 若开始计时时刻,质点从 O 点向左运动,O→a→O→M 运动过程历时 3 s,M→b→M 运动

过程历时 2 s,显然,T2+T4=4 s,T=136 s.质点第三次经过 M 点还需要的时间 Δt′3=T

16

10

-2 s=( 3 -2) s= 3 s,故选项 D 正确.

综上所述,该题的正确答案是 C、D.

【答案】 CD

简谐运动的图象和应用

1.对简谐运动图象的认识

(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线,如图 12-1-5 所示.

图 12-1-5 (2)图象反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图象不代表质点运动 的轨迹. (3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小.正负表示速度 的方向,正时沿 x 正方向,负时沿 x 负方向. 2.图象信息 (1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期. (2 )可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移. (3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向. ①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图象上总 是指向 t 轴. ②速度的方向:速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断,下一时刻位移如增加, 振动质点的速度方向就是远离 t 轴,下一时刻位移如减小,振动质点的速度方向就是指向 t 轴.
(2012·北京高考)一个弹簧振子沿 x 轴做简谐运动,取平衡位置 O 为 x 轴坐标 原点.从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿 x 轴正方向的最大加速度.能正 确反映振子位移 x 与时间 t 关系的图像是( )

【解析】 根据 F=-kx 及牛顿第二定律得 a=Fm=-kmx,当振子具有沿 x 轴正方向的

最大加速度时,具有沿 x 轴负方向的最大位移,故选项 A 正确,选项 B、C、D 错误.

【答案】 A

受迫振动和共振

自由振动、受迫振动和共振的比较

振动类型 比较项目

自由振动

受迫振动

共振

4

受力情况

仅受回复力

周期性驱动力作用 周期性驱动力作用

振动周期

由系统本身性质决定,

或频率

即固有周期或固有频

由驱动力的周



期或频率决定,

即 T=T 驱 或 f=f 驱 或 f 驱=f 固
振动能量

T 驱=T 固
振动物体的机械能不 变

由产生驱动力

的物体提供

振动物体获得的能量 最大

常见例子

弹簧振子或单摆(θ< 5°)

机械工作时底

座发生的振动

共振筛、转速计等

(2012·西安模拟)如图 12-1-6 所示,两个弹簧振子悬挂在同一支架上,已

知甲弹簧振子的固有频率为 8 Hz,乙弹簧振子的固 有频率为 72 Hz,当支架受到竖直 方向

且频率为 9 Hz 的驱动力作用做受迫振动时,两个弹簧振子的振动情况是( )

图 12-1-6

A.甲的振幅较大,且振动频率为 8 Hz

B.甲的振幅较大,且振动频率为 9 Hz

C.乙的振幅较大,且振动频率为 9 Hz

D.乙的振幅较大,且振动频率为 72 Hz

【解析】 据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大,因为甲的固有频率接近驱动

力的频率,做受迫振动物体的频率等于驱动力的频率,所以 B 选项正确.

【答案】 B

实验:用单摆测定重力加速度

1.实验原理

单摆在偏角很小(小于 5°)时的摆动,可看成简谐运动,其固有周期 T=2π

l g,可

得 g=4πT22l,通过实验方法测出摆长 l 和周期 T,即可计算得到当地的重力加速度.

2.实验步骤

(1)组成单 摆.实验器材有:带有铁夹的铁架台,中心有孔的小钢球,约 1 m 长的细线.在

细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结,将细线穿过小钢球上的小孔,制成一个单摆;

将单摆固定在带铁夹的铁架台上,使小钢球自由下垂.

(2)测摆长.实验器材有:毫米刻度尺和游标卡尺.让摆球处于自由下垂状态时,用刻

度尺量出悬线长 l 线,用游标卡尺测出摆球的直径(2r ),则摆长为 l=l 线+r. (3)测周期.实验仪器有:秒表.把摆球拉离平衡位置一个小角度(小于 5°),使单摆

在竖直面内摆动,测量其完成全振动 30 次(或 50 次)所用的时间,求出完成一次全振动所用

的平均时间,即为周期 T. (4)求重力加速度.将 l 和 T 代入 g=4π2l/T2,求 g 的值;变更摆长 3 次,重新测量每

次的摆长和周期,再取重力加速度的平均值,即得本地的重力加速度.

3.数据处理

(1)平均值法:用 g=(g1+g2+g3+g4+g5+g6)/6 求出重力加速度.

5

(2)图象法

图 12-1-7

由单摆的周期公式 T=2π

l g可得

l=4πg 2T2,因此以摆长

l

为纵轴,以

T2 为横轴作

出的 l-T2 图象是一条过原点的直线,如图 12-1-7 所示,求出斜率 k,即可求出 g 值.g

=4π2k,k=Tl2=ΔΔTl2.

(2011·福建高考)某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中:

(1)用游标卡尺测定摆球的直径,测量结果如图 12-1-8 所示,则该摆球的直径为

________cm.

图 12-1-8 (2)小组成员在实验过程中有如下说法,其中正确的是( ) A.把单摆从平衡位置拉开 30°的摆角,并在释放摆球的同时开始计时 B.测量摆球通过最低点 100 次的时间 t,则单摆周期为1t00 C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长,代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值 偏大 D.选择密度较小的摆球,测得的重力加速度值误差较小 【解析】 (1)游标卡尺读数为 0 .9 cm+7×0.1 mm=0.97 cm. (2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过 5 °,并从平衡位置计时,故 A 错误; 若第一次过平衡位置计为“0”则周期 T=5t0,若第一次过平衡位置计为“1”则周期 T= 49t.5,B 错误;由 T=2π L/g得 g=4πT22L,其中 L 为摆长,即悬线长加摆球半径,若为悬 线长加摆球直径,由公式知 g 偏大,故 C 正确;为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起 的相对误差,应选密度较大体积较小的摆球,故 D 错误. 【答案】 (1)0.97(0.96、0.98 均可) (2)C
(对应学生用书第 200 页)
1.一质点做简谐运动的图象如图 12-1-9 所示,下列说法正确的是( )

6

图 12-1-9

A.质点振动频率是 4 Hz

B.在 10 s 内质点经过的路程是 20 cm

C.第 4 s 末质点的速度为零

D.在 t=1 s 和 t=3 s 两时刻,质点位移大小相等、方向相同

【解析】 振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移,由图象可看出,质点运

动的周期 T=4 s,其频率 f=1T=0.25 Hz;10 s 内质点运动了52T,其运动路程为 s=52×4A

5 =2×4×2

cm=20

cm;第

4

s

末质点在平衡位置,其速度最大;t=1

s和

t =3

s

两时刻,

由图象可看出,位移大小相等,方向相反.由以上分析可知,B 选项正确.

【答案】 B

2.

图 12-1-10 (2012·重庆高考)装有砂粒的试管竖直静浮 于水面,如图 12-1-10 所示,将试管竖 直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动.若 取竖直向上为正方向,则以下描述试管振动的图象中可能正确的是( )

【解析】 试管在竖直方向上做简谐运动,平衡位置是在重力与浮力相等的位置,开始 时向上提起的距离,就是其偏离平衡位置的位移,为正向最大位移,因此应选 D.
【答案】 D 3.铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,匀速运行列车经过钢轨端 接缝处时,车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等,所以这个冲击力是周期性的, 列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为 12.6 m,列车固有振动周期为 0.315 s.下 列说法正确的是( ) A.列车的危险速率为 20 m/s B.列车过桥需 要减速,是为了防止列车发生共振现象 C.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D.增加钢轨的长度有利于列车高速运行 【解析】 列车在钢轨上运动时,受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动,当列车固有振 动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时,列车振动的振幅最大,因 v=lt=01.23.165 ms=40 m/s, 故 A 错误;列车过桥做减速运动,是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率,防止桥发生共
7

振现象,而不是列车发生共振现象,B 错,C 错;增加钢轨的长度有利于列车高速运行,D 对.
【答案】 D 4.某振动系统的固有频率为 f0,在周期性驱动力的作用下做受迫振动,驱动力的频率 为 f.若驱动力的振幅保持不变,下列说法正确的是________(填入选项前的字母,有填错的 不得分) A .当 f<f0 时,该振动系统的振幅随 f 增大而减小 B.当 f>f0 时,该振动系统的振幅随 f 减小而增大 C.该振动系统的振动稳定后,振动的频率等于 f0 D.该振动系统的振动稳定 后,振动的频率等于 f 【解析】 受迫振动的振幅 A 随驱动力的频率变化规律如图所示,显然 A 错,B 对.稳 定时系统的频率等于驱动力的频率,即 C 错,D 对.

【答案】 BD 5.如图 12-1-11 所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象,下列说法中正确的是 ()

图 12-1-11 A.甲、乙两单摆的摆长相等 B.甲摆的振幅比乙摆大 C.甲摆的机械能比乙摆大 D.在 t=0.5 s 时有正向最大加速度的是乙摆 【解析】 振幅可从题图上看出甲摆振幅大,故 B 对.且两摆周期相等,则摆长相等, 因质量关系不明确,无法比较机械能.t=0.5 s 时乙摆球在负的最大位移 处,故有正向最 大加速度,所以正确答案为 A、B、D. 【答案】 ABD 6.(2012·咸阳模拟)一质点做简谐运动的振动图象如图 12-1-12 所示,质点的速度 与加速度方向相同的时间段是( )

图 12-1-12

A.0~0.3 s

B.0.3 s~0.6 s

C.0.6 s~0.9 s D.0.9 s~1.2 s

【解析】 质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同,与位移方向相反,总是指

向平衡位置;位移增加时速度与位移方向相同,位移减小时速度与位移方向相反,故位移减

小时加速度与速度方向相同.故 B、D 正确.

8

【答案】 BD 7.

图 12-1-13

一质点做 简谐运动,其位移和时间关系如图 12-1-13 所示. (1)求 t=0.25×10-2 s 时的位移; (2)在 t=1.5×10-2 s 到 2×10-2 s 的振动过程中,质点的位移、回复力、速度、动能、

势能如何变化? (3)在 t=0 至 8.5×10-2 s 时间内,质点的路程多大? 【解析】 (1)由图可知 A=2 cm,T=2×10-2 s,振动方程为

x=Asin(ωt-π2 )=-Acos ωt=-2cos2×2π10-2t cm=-2cos(1 02πt) cm

当 t=0.25×10-2 s 时 x=-2cos

π 4

cm=-

2 cm. (2)由图可知在 1.5×10-2 s~2×10

-2 s 内,质点的位移变大,回复力变大,速度变小,动能变小,势能变大.

(3)从 t=0 至 8.5×10-2 s 的时间内质点的路程为 s=17A=34 cm .

【答案】 (1)- 2 cm

(2)位移变大,回复力变大,速度变小,动能变小,势能变大

(3)34 cm

8.简谐运动的振动图线可用下述方法画出:如图 12-1-14 甲所示,在弹簧振子的小 球上安装一枝绘图笔 P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动,笔 P 在纸带

上画出的就是小球的振动图象.取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向,

纸带运动的距离代表时间,得到的振动图线如图 12-1-14 乙所示.





图 12-1-14

(1)为什么必须匀速拖动纸带?

(2)刚开始计时时,振子处在什么位置?t=17 s 时振子相对平衡位置的位移是多少?

(3)若纸带运动的速度为 2 cm/s,振动图线上 1、3 两点间的距离是多少?

(4)振子在__________s 末负方向速度最大;在__________s 末正方向加速度最大;2.5 s

时振子正在向__________方向运动.

(5)写出振子的振动方程.

【解析】 (1)纸带匀速运动时,由 x=vt 知,位移与时间成正比,因此在匀速条件下,

可以用纸带通过的位移表示时间.

(2)由图乙可知 t=0 时,振子在平衡位置左侧最大位移处;周期 T=4 s,t=17 s 时位

移为零.

(3)由 x=vt,所以 1、3 间距 x=2 cm/s×2 s=4 cm.

(4)3 s 末负方向速度最大;加速度方向 总是指向平衡位置,所以 t=0 或 t=4 s 时正

方向加速度最大;t=2.5 s 时,向-x 方向运动.

(5)x=10sin(π2 t-π2 ) cm.

【答案】 (1)在匀速条件下,可以用纸带通过的位移表示时间

9

(2)左侧最大位移 零 (3)4 cm (4)3 0 或 4 -x

(5)x=10sin(π2 t-π2 ) cm

9.(2011·江苏高考)将一劲度系数为 k 的轻质弹簧竖直悬挂,下端系上质量为 m 的物

体.将物 块向下拉离平衡位置后松开,物块上下做简谐运动,其振动周期恰好等于以物块 平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期.请由单摆的周期公式推算出该物块 做简谐运动的 周期 T.

【解析】 单摆周期公 式 T=2π

l g,且

kl=mg

解得 T=2π

mk.

【答案】 T=2π

m k

10


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