0467.cC
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> >>

高中数学第3章3.3.3最大值与最小值课件苏教版选修1_图文

空白演示
在此输入您的封面副标题

3.3
理解教材



新知





3.3.3

第研

3 章

究 函 数

最大 值与 最小 值

把握热点 考向





应用创新

应 用

演练

考点一 考点二 考点三

3.3

导数在研究函数中的应用

3.3.3 最大值与最小值

假设函数 y=f(x)、y=g(x)、y=h(x)在闭区间[a,b]内的图像 都是一条连续不断的曲线(如下图所示).

问题 1:这三个函数在[a,b]上一定能取得最大值与最小 值吗?
提示:能. 问题 2:若 y=h(x)在开区间(a,b)上是一条连续不断的 曲线,那么它在(a,b)上一定有最值和极值吗? 提示:没有最值,也没有极值. 问题 3:函数的极值是否一定是函数的最值? 提示:不一定.

1.最大值和最小值
如果在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x∈I,总
有 f(x)≤f(x0) ,那么 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最大值.
如果在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x∈I,总
有 f(x)≥f(x0) ,那么 f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最小值.

2.求 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值可以分两步
第一步,求 f(x)在区间(a,b)上的 极值 ; 第二步,将第一步中求得的 极值 与 f(a) , f(b) 比较,得
到 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.

1.函数的最值是一个整体性的概念.是表示函数在整个 定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.
2.函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大 值或最小值只能各有一个,具有惟一性,而极大值和极小值可 能多于一个,也可能没有.例如:常数函数既没有极大值也没 有极小值.

求函数的最值
[例 1] 求函数 f(x)=4x3+3x2-36x+5 在区间[-2,2]上的 最大值与最小值.
[思路点拨] 先求 f′(x),令 f′(x)=0 求得极值及端点值, 最后比较大小得最值.

[精解详析] 法一:∵f(x)′=12x2+6x-36 =6(2x2+x-6),令 f(x)′=0,解得 x1=-2,x2=32. 又 f(-2)=57,f32=-1145,f(2)=-23, ∴函数的最大值为 57,最小值为-1145. 法二:∵f(x)′=12x2+6x-36=6(2x2+x-6),

令 f(x)′=0,则 x1=-2,x2=32.

x

-2 -2,32

3 2

32,2 2

f(x)′



0



f(x) 57

-1145

-23

∴当 x=-2 时,f(x)有最大值为 57, 当 x=32时,f(x)有最小值为-1145.

[一点通] 求解函数在闭区间上的最值,必须注意以下几点: (1)对函数进行正确求导; (2)研究函数的单调性,正确确定极值和函数端点值; (3)比较极值与端点值的大小,确定最值.

1.求函数 f(x)=x3-2x2+1 在区间[-1,2]上的最值. 解:f′(x)=3x2-4x,令 f′(x)=0,则 x1=0,x2=43.

当 x 变化时 f′(x),f(x)的变化情况如下:

x

-1 (-1,0) 0 0,43

4 3

43,2 2

f′(x)

+ 0- 0 +

f(x) -2

1

-257

1

由上表可知 f(x)的最大值为 1,最小值为-2.

2.已知函数 f(x)=x2-12x4,求函数的最值. 解:f′(x)=2x-2x3,解方程 2x-2x3=0,

得 x=0 或 x=±1.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

(-∞,

(1,+

x

-1 (-1,0) 0 (0,1) 1

-1)

∞)

f′(x) +

0



0+0



极大

极小

极大

f(x) 值





根据上表,结合函数的单调性和极值,画出函数的大致图像如 图所示.
根据图像可知函数有最大值,且 f(x)最大值=f(-1)=f(1)=12,没 有最小值.

求含参数的函数的最值
[例 2] 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线方程; (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值. [思路点拨] 解答本题可先对函数求导,然后根据 a 的不同 取值范围,讨论确定 f(x)在区间[0,2]上的最大值.

[精解详析] (1)f′(x)=3x2-2ax. 因为 f′(1)=3-2a=3, 所以 a=0.又当 a=0 时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0. (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=23a. 当23a≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而 f(x)max=f(2) =8-4a.

当23a≥2,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而 f(x)max=f(0) =0.

当 0<23a<2,即 0<a<3 时,f(x)在0,23a上单调递减,在[23a,2] 上单调递增,

从而 f(x)max=80-42a<a<3. 0<a≤2,

综上所述,f(x)max=08-4aa>2.

a≤2,

[一点通] 求函数在闭区间上的最值时,如果含有参数, 则应进行分类讨论,由于函数的最值只能在极值点和端点处取 得,所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可.最后 再将讨论的情况进行合并整理.

3.设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. 解:(1)f′(x)=3x2-3a,因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,
所以ff′2=2=8,0, 即38-4-6aa+=b=0,8, 解得 a=4,b=24.

(2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0),当 a<0 时,f′(x)>0 恒成立,即函数在(-

∞,+∞)上单调递增,此时函数没有极值点.

当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x1= a,x2=- a,当 x 变化时,f′(x) 与 f(x)的变化状态如下表:

x (-∞,- a) - a (- a, a) a ( a,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)

f(- a)

f( a)

因此,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- a)和( a,+∞),单调递 减区间为(- a, a),此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x) 的极小值点.

4.设

a>0,函数

f(x)=alnx

x .

(1)讨论函数 f(x)的单调性;

(2)求函数 f(x)在区间[a,2a]上的最小值.

解:(1)函数的定义域是(0,+∞),

又 f′(x)=a·1-xl2n x,

当 a>0 时,由 f′(x)=a·1-xl2n x>0,得 0<x<e;

由 f′(x)=a·1-xl2n x<0,得 x>e.

故函数在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.

(2)①当 2a≤e,即 a≤2e时,由(1)知,函数在[a,2a]上单调递增,∴f(x)min =f(a)=ln a; ②当 a≥e 时,由(1)知,函数在[a,2a]上单调递减, ∴f(x)min=f(2a)=12ln(2a); ③当2e<a<e 时,需比较 f(a)与 f(2a)的大小, 由于 f(a)-f(2a)=ln a-12ln (2a)=12(ln a-ln 2),

∴当2e<a≤2 时,f(a)≤f(2a),此时 f(x)min=f(a)=ln a; 当 2<a<e 时,f(a)>f(2a),此时 f(x)min=f(2a)=12ln(2a).
ln a 0<a≤2, 综上所述:f(x)min=12ln2a a>2.

函数最值的应用
[例 3] 设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m,对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值 范围. [思路点拨] (1)可通过配方求函数 f(x)的最小值; (2)h(t)<-2t+m,即 m>h(t)+2t 恒成立,从而可转化为求 h(t)+2t 的最大值问题.

[精解详析] (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), ∴当 x=-t 时,f(x)取得最小值 f(-t)=-t3+t-1,即 h(t) =-t3+t-1. (2)令 g(t)=h(t)+2t=-t3+3t-1. 则 g′(t)=-3t2+3=-3(t-1)(t+1). 令 g′(t)=0,得 t1=1,t2=-1(舍去).

列表:

t (0,1) 1 (1,2)

g′(t) +

0



g(t)

极大值 1

由表可知,g(t)在(0,2)内有最大值 1. ∵h(t)<-2t+m 在(0,2)内恒成立等价于 m>g(t)在(0,2)内恒成 立. ∴m>1.即实数 m 的取值范围是(1,+∞).

[一点通] 有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值 问题.求解时要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知, 即函数是以已知范围的变量为自变量的函数.
一般地,λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立? λ≤[f(x)]min.

5.设函数 f(x)=x3-12x2-2x+5,若对于任意 x∈[-1,2]都有 f(x)<m 成立,求实数 m 的取值范围. 解:f′(x)=3x2-x-2,令 f′(x)=0,得 x=-23或 x=1. ∵当 x<-23或 x>1 时,f′(x)>0, 当-23<x<1 时,f′(x)<0, ∴y=f(x)在-∞,-23和(1,+∞)上为增函数,

在-23,1上为减函数, ∴f(x)在 x=-23处取得极大值,在 x=1 处取得极小值. f-23=12577,f(1)=72,f(2)=7,f(-1)=121. ∴f(x)在[-1,2]上的最大值为 7. 若对于任意 x∈[-1,2]都有 f(x)<m 成立,则 m 的取值范围为 (7,+∞).

6.已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x=-2 时,都取得极值. (1)求 a、b 的值;
(2)若 x∈[-3,2]时都有 f(x)>2c-12恒成立,求 c 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,根据题意有ff′ ′-1=2=0,0,

即31+ 2-2a4+ a+b=b=0,0,

解得a=32, b=-6.

(2)由(1)知 f′(x)=3x2+3x-6,令 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=1.当 x 变化

时,f′(x)、f(x)变化情况如下表:

x

-3 (-3,- -2

(-2,1)

2)

1

(1,2) 2

f′(x)



0



0



f(x) 92+c

极大值 c +10

极小值 c-

2+

7 2

c

∴f(x)在[-3,2]上的最小值为 c-72,

即 2c-12<c-72,∴c<-3.即实数 c 的取值范围是(-∞,-3).

1.极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值 未必有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,最 值只要不在定义区间端点取得,必定是极值.
2.在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值;但在 开区间(a,b)上连续的函数不一定有最大值和最小值,如 f(x)=1x在 (0,+∞)上连续,但没有最值.


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 0467资源网 0467.cc
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。liunxqq@126.com