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人教A版高中必修二试题第25课时.docx

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第 25 课时 圆的标准方程
课时目标 1.会用定义推导圆的标准方程,并能判断点与圆的位置关系. 2.掌握圆的标准方程并会利用待定系数法求圆的标准方程. 3.会利用圆的标准方程解决与圆有关的简单问题.
识记强化
1.圆的标准方程: (1)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. (2)圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它表示的是以(a,b)为圆心,r 为半径的圆.如 果圆心在原点,圆的方程是 x2+y2=r2. 2.确定圆的方程的方法和步骤:确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于 a,b,r 的方程组,求 a,b,r,或直接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为:(1)根据题 意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)根据已知条件,建立关于 a,b,r 的方程组.(3)解方程组,求出 a,b,r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求 圆的方程. 3.点与圆的位置关系:如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为 A(a,b), 半径为 r,则有: (1)若点 M(x0,y0)在圆上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (2)若点 M(x0,y0)在圆外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (3)若点 M(x0,y0)在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
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课时作业

一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 1.已知一圆的标准方程为 x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( )

A.(1,0),4 B.(-1,0),2 2

C.(0,1),4 D.(0,-1),2 2
答案:D 解析:由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,知圆心为(a,b),半径为 r,易知答案为

D.
2.已知点 A(-4,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x-1)2+(y+3)2=29 C.(x+1)2+(y-3)2=116 D.(x-1)2+(y+3)2=116

答案:B 解析:圆心为线段 AB 的中点(1,-3),半径为|A2B|=12 6+42+-1+52= 以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.故选 B. 3.已知圆心在点 P(-2,3),并且与 y 轴相切,则该圆的方程是( ) A.(x-2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y-3)2=4 C.(x-2)2+(y+3)2=9 D.(x+2)2+(y-3)2=9

29,所

答案:B
解析:圆与 y 轴相切,由半径 r=|x0|=2,圆心 P(-2,3) ∴圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 4.自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线,切点为 B,则 AB 的长为( )

A. 5

B.3

C. 10 D.5

答案:B 5.已知点 P(a,a+1)在圆 x2+y2=25 的内部,那么实数 a 的取值范围是( )
A.(-4,3) B.(-5,4)

C.(-5,5) D.(-6,4)

答案:A 解析:由 a2+(a+1)2<25,可得 2a2+2a-24<0,解得-4<a<3. 6.在圆(x-2)2+(y+3)2=2 上与点(0,-5)距离最大的点的坐标是( )

A.(5,1)

B.(4,1)

C.( 2+2, 2-3) D.(3,-2)

答案:D 解 析 : 点(0 , -5) 与 圆心 (2 , -3) 连 线所 在 的直 线 方 程为 y =x - 5 ,解 方 程组

y=x-5 x-22+y+32=2

得xy= =3-2

或xy= =1-4

,经检验点(3,-2)符合题意.

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二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 7.已知圆 O 的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点 M(2,3)到圆上的点的距离的最大值 为________.

答案:5+ 2 解析:由题意,知点 M 在圆 O 内,MO 的延长线与圆 O 的交点到点 M(2,3)的距离最大,

最大距离为 2-32+3-42+5=5+ 2. 8.若圆 C 与圆 M:(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是________. 答案:(x-2)2+(y+1)2=1 解析:圆(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心为 M(-2,1),半径 r=1,则点 M 关于原点的对称
点为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 9.若实数 x、y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则 x2+y2 的最小值是________.
答案:1 解析:曲线表示以(-5,12)为圆心,14 为半径的圆,x2+y2 表示圆周点到原点的距离的
平方.最小为 1.
三、解答题 10.(12 分)求圆心在 x 轴上,且过 A(1,4),B(2,-3)两点的圆的方程. 解:设圆心为(a,0),

则 a-12+16= a-22+9,所以 a=-2.
半径 r= a-12+16=5, 故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25. 11.(13 分)已知圆 C 经过点 A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上,求圆 C 的方程. 解:设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

2-a2+-3-b2=r2 由题意,得-2-a2+-5-b2=r2,
a-2b-3=0

a=-1 解得b=-2.
r2=10

所以圆 C 的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

能力提升

12.(5 分)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________. 答案:(x-2)2+y2=10 解析:设所求圆 C 的方程为(x-a)2+y2=r2,

把所给两点坐标代入方程得方程组

5-a2+12=r2, 1-a2+32=r2,

解得ar= 2=21,0,

所以所求圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.

13.(15 分)

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如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上.
(1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程. 解:(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直,所以 AD 边所在 直线的斜率为-3. 又点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上,所以 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0. (2)由x3- x+3yy- +62= =00 ,解得点 A 的坐标为(0,-2),因为矩形 ABCD 的两条对角线的 交点为 M(2,0),所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 r=|AM|= 2-02+0+22=2 2,所以矩形 ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y2= 8.
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