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高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法教案 新人教A版必修4

课题

2.5.1 平面几何中的向量方法

教 学 目

知识与技能 过程与方法

通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决 平面 几何的问题的‖三步曲‖ 明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、
夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示



情感态度价值观 让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性

重点 难点

用向量方法解决实际问题的基本方法:向量法解决几何问题的“三步曲” 如何将几何等实际问题化归为向量问题

教学内容

教学环节与活动设计

探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角 (1)直线 y=kx+b 的方向向量:如果向量 v 与直线 l 共

线,则称向量 v 为直线 l 的方向向量.

对于任意一条直线 l:y=kx+b,在它上面任取两点



A(x0,y0),B(x,y),则向量AB=(x-x0,y-y0)与直



线 l 共线,即AB为直线 l 的方向向量.由于(x-x0,y



-y0)=x-1x0(1,yx- -yx00)=

1



x-x0(1,k),所以向量(x-x0,y-y0)与向量(1,k)

共线,从而向量(1,k)是直线 y=kx+b 的一个方向向 设 量.

(2)直线 Ax+By+C=0 的方向向量



当 B≠0 时,k=-AB,所以向量(B,-A)与(1,k)共线,

所以向量(B,-A)是直线 Ax+By+C=0 的一个方向向 C
量;当 B=0 时,A≠0,直线 x=-A的一个方向向量为

(0,-A),即(B,-A).

综上所述,直线 Ax+By+C=0 的一个方向向量为 v=

(B,-A). 例如:已知直线 l:2x-y+1=0,下列向量:

①v1=(1,2);②v2=(2,1);③v3=-12,-1;④v4
=(-2,
-4).其中能作为直线 l 方向向量的有:________. 教学内容

教学环节与活动设计

(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角

已知直线 l1:y=k1x+b1 与直线 l2:y=k2x+b2,它

们的方向向量依次为 v1=(1,k1),v2=(1,k2). 当 v1⊥v2,即 v1·v2=1+k1k2=0 时,l1⊥l2,夹角

为直角;当 k1k2≠-1 时,v1·v2≠0,直线 l1 与 l2

的夹角为 θ(0°<θ<90°).不难推导利用 k1、k2 表示

cos θ 的夹角公式:

|v1·v2| |1+k1k2|

cos θ=|v1||v2|=

1+k21·

. 1+k2

例如:直线 x-2y+1=0 与直线 2x+y-3=0 的夹角为

______;直线 2x-y-1=0 与直线 3x+y+1=0 的夹角

为______.

探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系

(1)直线 Ax+By+C=0 的法向量:如果向量 n 与直线 l 垂直,则称向量 n 为直线 l 的法向量.因此若直线的方

向向量为 v,则 n·v=0.从而对于直线 Ax+By+C=0

而言,其方向向量为 v=(B,-A),则由于 n·v=0,

于是可取 n=(A,B),这时因为(B,-A)·(A,B)=AB

-AB=0.直线的法向量也有无数个. (2)直线法向量的简单应用:利用直线的法向量判断两

直线的位置关系:对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:

A2x+B2y+C2=0,它们的法向量分别为 n1=(A1,B1),

n2=(A2,B2).

当 n1∥n2 时,l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.即 A1B2-A2B1 =0?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合; 当 n1⊥n2 时,l1⊥l2.即 A1A2+B1B2=0?l1⊥l2. 例如:直线 l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0 与直线 l2:

(a-1)x+(2a+3)y+2=0 垂直,则 a 的值为________.

探究点三 平面向量在几何中的应用 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、

线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清

晰、简洁直观.其基本方法是:

→→

(1)要证明线段 AB=CD,可转化为证明|AB|=|CD|.

(2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,

→→

使得AB=λCD,且 A、B、C、D 不共线即可.

→→→→

(3)要证明 A、B、C 三点共线,只需证明AB∥AC或AB∥BC.

教学内容

→→



(4)要证明 AB⊥CD,只需证明AB·CD=0,或若AB=(x1,



y1),CD=(x2,y2),则用坐标证明 x1x2+y1y2=0 即可.

(5)常用|a|= a·a和 cos θ=|aa· ||bb|处理有关长度与

角度的问题.

例如,在平行四边形中有下列的结论:平行四边形两条

对角线的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍.请用向量

法给出证明. 【典型例题】

例 1 已知△ABC 的三个顶点 A(0,-4),B(4,0),C(-



6,2),点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点. (1)求直线 DE、EF、FD 的方程;



(2)求 AB 边上的高线 CH 所在直线方程. 跟踪训练 1 在△ABC 中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),



求∠A 的平分线的方程. 例 2 如图,?ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、



DC 边的中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、 T 两点,求证:AR=RT=TC.



跟踪训练 2 如图,已知 PQ 过△OAB 的重心 G,设OA=a,







OB=b.若OP=ma,OQ=nb, 求证:1m+1n=3.

例 3 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,

BC=2BA,∠ABC=60°,作 AE⊥BD 交

BC 于 E,求BEEC的值.

跟踪训练 3 已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,

PFCE 为矩形.求证:PA=EF 且 PA⊥EF.

教学环节与活动设计

教 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平 学 面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量, 小 一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的 结 计算获得几何命题的证明.
课 后 反 思


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