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高二数学课件22双曲线及其标准方程_图文

教学目标 ? 理解双曲线的概念, ? 掌握双曲线的定义、 ? 会用双曲线的定义解决实际问题; ? 理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理 方程的常用的方法; 一.复习旧知 导入新知 1. 说出椭圆定义以及定义中需要注意的问题 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹叫做椭圆.即 |MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0) 点M的轨迹是椭圆 Y Mx, y 若2a=2c,点M的轨迹是线段F1F2; O 若2a<2c,点M的轨迹不存在。 F1 c, 0 F2 c, 0 X 2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 二.群策群力 探知寻规 (一)动手动脑,小组共创 双曲线的形成过程 (要求:请同学认真观察实验,思考后举手回答 思考:1、余下一段拉链的目的是什么? 2、谁是动点,谁是定点 3、给双曲线下定义 数学实验: [1]取一条拉链; [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2; [3] 拉动拉链(M)。 二.群策群力 探知寻规 探究双曲线的定义 ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线 二.群策群力 探知寻规 1.双曲线的几何定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; M ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意:0<2a<2c ; 双曲线定义的符号表述: F1 o F2 | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|) 2、讨论:定义当中差的绝对值小于|F1F2 |如果去掉,那么点的 轨迹还是双曲线吗? (要求:类比椭圆,请同学先独立思考,然后同桌讨论,踊跃举手 发表你们的观点.) (1)若2a=2c,则轨迹是什么? P Q M F1 F2 M 两条射线F1P、F2Q。 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? 无轨迹。 (3)若2a=0,则轨迹是什么? |MF1|=|MF2| 线段F1F2的垂直平分线。 M F1 o F2 F1 F2 M 二.群策群力 探知寻规 小试身手:请说出下列方程对应曲线的名称: 稍加思考,举手回答 (1) F1(5,0), F2(5,0),|| PF1 | | PF2 || 6 (双曲线) (2) F1(5,0), F2 (5,0),| PF1 | | PF2 | 6(双曲线右支) (3)| ( x 5)2 y2 ( x 5)2 y2 | 6(双曲线) (4) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 6 (两条射线) 二.群策群力 探知寻规 (二)齐思共想,推导方程 1. 双曲线方程的推导 建系标准:简洁、对称 |MF1| - |MF2|=±2a y (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 两次平方,得: (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) M 令c2-a2=b2 x2 a2 - y2 b2 =1 (a>0,b>0) O F1 A F2 x 思考1:在图形中,a,b,c分别代表哪段的长度? 思考2:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢? 二.群策群力 探知寻规 (三)提炼精华,总结方程 (1)焦点在x轴上 y (2)焦点在y轴上 y F F1 o F2 x x2 y2 - a2 b2 =1 c2=a2+b2 (a>0, b>0) 思考:1、如何区分焦点位置? o2 x F y2 1 x2 - a2 b2 =1 2、焦点坐标,顶点坐标分别是什么? 判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出 及焦点坐标。 1 x2 y2 1 2 x2 ya2 , b, 1 c 42 22 3 x2 y2 1 42 4 x2 y2 1(m 0, n 0) mn 答案: 1a 2, b 2, c 6 ( 6,0).( 6,0) 2a 3a 4a 2, b 2, c 2 (2,0).(2,0) 2, b 2, c 6 (0, 6).(0, 6) m,b n, c m n ( m n,0).( m n,0) 三.知识迁移 深化认知 典型例题 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6, (1)双曲线的标准方程为_x_2 ___y_2___1_____ (2)若 |PF1|=10,则|PF2|=9_4_或__1_61_6___ (3)若|PF1|= 7,则|PF2|=____1_3____ (4)动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求 动点 P 的轨迹方程. x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴 x上, a 4, b 3; x ②焦点在在轴 上,经过点 ( 2, 3), ( 15 , 2 ) . 3 答案: ① x 2 y 2 1 16 9 ② 设双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2 代入点 ( 2, 3), ( 15 , 2) 得 2 a2 5 3 b2 2 1 1 3 令 m 1 ,n 1 a2 b2 则 532mm 3n 2n 1 1 3a 2 b 2 解得 m n 1 1 3 故所求双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1. 3 例

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