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2018-2019学年新疆伊犁州奎屯一中 高一(下))第二次月考数学试题(理)(解析版)

新疆伊犁州奎屯一中 高一(下))第二次月考数学试题

一、单选题
1.如图是根据 , y 的观测数据

(i=1,2,…,10)得到的散点图,由这些散

点图可以判断变量 , y 具有线性相关关系的图是 ( )

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

【答案】D
【解析】试题分析:若变量 , y 具有线性相关关系,那么散点就在某条直线附近,从

左上到右下,或左下到右上,故选 D.

【考点】散点图

2.已知 a b ,则下列成立的是( )

A. a b

B. a2 b2

C.

a c2



b c2

【答案】C

D. ac2 bc2

【解析】利用不等式性质,逐一判断即可。

【详解】

A.a>b,不能保证 a,b 都大于 0,故不成立;

B.b<a<0 时,不成立;

C.∵

a



b,

1 c2

0 ,∴ a c2



b c2

,故 C 成立;

D.当 c=0 时,不成立.

故选:C.

【点睛】

本题主要考查不等式性质,属于基础题型。

3.为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”,某记者分别从某社区 60~70 岁,40~

50 岁,20~30 岁的三个年龄段中的 160 人,240 人,x 人中,采用分层抽样的方法共抽

查了 30 人进行调查,若在 60~70 岁这个年龄段中抽查了 8 人,那么 x 为( ) .

A.90

B.120

C.180

D.200

第 1 页 共 14 页

【答案】D 【解析】试题分析:先求出每个个体被抽到的概率,用每层的个体数乘以每个个体被抽 到的概率等于该层应抽取的个体数,利用已知在 60~70 岁这个年龄段中抽查了 8 人, 可以求出抽取的总人数,从而求出 x 的值. 解:60~70 岁,40~50 岁,20~30 岁的三个年龄段中的 160,240,X 人中可以抽取 30 人,

每个个体被抽到的概率等于:



∵在 60~70 岁这个年龄段中抽查了 8 人,可知

×160=8,

解得 x=200, 故选 D. 【考点】分层抽样方法.

4.如图所示,执行该程序框图,为使输出的函数值在区间



1 4

,

1 2



内则输入的实数

x

的取值范围是( )

A.2,

B.[﹣1,2]

C.[﹣2,﹣1]

D. , 2

【答案】C 【解析】由输出的函数值倒推自变量 x 的取值范围。 【详解】 分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序,可知:

该程序的作用是计算分段函数

f(x)



2x,x
2,x

2,2
, 2







2,





的函数值.

第 2 页 共 14 页

又∵输出的函数值在区间



1 4

,

1 2





∴x∈[﹣2,﹣1].

故选:C. 【点睛】

本题考查的知识点是选择结构,其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的

关键.

5.已知 a 0,b 0, a b 2 ,则 y 1 4 的最小值是( ab

A. 9 2

B. 7 2

C.5

) D.4

【答案】A
【解析】二元变量求最值,可以利用基本不等式求最值,
考虑连续多次使用不等式等号条件不一致,所以将 a b 2 化成 1 (a b) 1, 2
代入运算,即可求出最值。

【详解】

解:∵a>0,b>0,a+b=2,

∴y 1 4 1 ( 1 4 )(a+b) 1 (1+4 b 4a ) 1 (5+2 b 4a ) 9 ,

ab 2 ab

2

ab 2

ab

2

当且仅当 b=2a 时等号成立,

故选:A.

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的基本应用,要熟悉“1”的代换技巧。

6.在

中,



A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由题意结合正弦定理首先求得 b 的值,然后利用余弦定理求解 c 的值即可.

【详解】

由正弦定理 且

可得

, ,
第 3 页 共 14 页

由余弦定理可得:

.

【点睛】

在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若

出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、

余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.

7.已知{an}是公差为 1 的等差数列, Sn 为{an} 的前 n 项和,若 S8 4S4 ,则 a10

()
A. 17 2
【答案】B

B. 19 2

C.10

D.12

【解析】试题分析:由 S8 4S4 得 8a1 28d 44a1 6d ,解得

a1



1 2

, a10



a1

9



19 2

.

【考点】等差数列.

8.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇 数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至

少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )

A.①

B.②④

C.③

【答案】C

【解析】依照对立事件的概念,依次判断即可。

D.①③

【详解】

∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中,这两个事件是同一个事件,

在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中,至少有一个是奇数包括两个都是奇数,

在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中,至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个

奇数,同两个都是偶数是对立事件,

在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中,都包含一奇数和一个偶数的结果,

∴只有第三所包含的事件是对立事件

故选:C. 【点睛】

本题主要考查对立事件的概念,意在考查学生的数学抽象能力。

9.若 x1, x2 ,..., x2019 的平均数为 3,方差为 4,且 yi 2 xi 2 , xi x1, x2,..., x2018 ,

第 4 页 共 14 页

则新数据 y1, y2...的平均数和标准差分别为( )

A.﹣4 ﹣4

B.﹣4 16

C.2 8

【答案】D

【解析】由期望和方差公式,即可快速求出。

D.﹣2 4

【详解】

∵x1,x2,…,x2018 的平均数为 3,方差为 4,

yi 2 xi 2, xi x1, x2,..., x2018 ,

∴新数据 y1,y2…的平均数为:﹣2(3﹣2)=﹣2,

标准差为: (2)2 4 4.

故选:D. 【点睛】

本题考查平均数、标准差的求法,考查平均数、标准差的性质等基础知识,考查运算求

解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

10.三世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论 和完善的算法.所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如 图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图,现向圆中随机投掷一个点,则该点

落在正六边形内的概率为( )

A. 3 3 2

B. 3 3 2

C. 3 2 2

D. 3 2

【答案】A

【解析】设圆的半径为 r ,则圆的面积 S圆 = r2 ,正六边形的面积

S正六边形

=6

1 2



r

2



sin

60o



3

3 2

r2

,所以向圆中随机投掷一个点,该点落在正六边

形内的概率 P=

S正六边形 S圆

=

3 3 r2 2 r2



33 2

,故选 A.

第 5 页 共 14 页

11.若不等式 ln 1 32x 1 a 3x x 1 ln3 对任意的 x ,1恒成立,则 a 的
3
取值范围是( )

A.



,

10 3



【答案】D

B.

10 3

,





C.2,

D. , 2

【解析】由题意结合对数的运算法则有: ln 1 32x 1 a 3x ln 3x ,

3

3

由对数函数的单调性有: 1 32x 1 a 3x 3x ,

3

3

整理可得: a



1 32x 3x

,由恒成立的条件有: a



1 32x



3x

, min

其中

y



1

32 3x

x





1 3



x

3x

2 ,当且仅当 x 0 时等号成立.

即x

0 时,函数

y



1 32x 3x

取得最小值 2 .

综上可得: a 2 .
本题选择 D 选项.

12.在

中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A 是 B 和 C 的等差中项,

, ,则

周长的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:由

得 B 角是钝角,由等差中项定义得 A 为 60°,再根据正弦

定理把周长用三角函数表示后可求得范围.

详解:∵ 是 和 的等差中项,∴

,∴ ,



,则

,从而 ,∴





,∴



第 6 页 共 14 页

所以

的周长为









,∴



故选 B.

点睛:本题考查解三角形的应用,解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表

示出来,结合三角函数的恒等变换可求得取值范围.解题易错的是向量 B 角的外角,而不是 B 角,要特别注意向量夹角的定义.

的夹角是

二、填空题
13.不等式 x2 2x 3 0 的解集是_____.

【答案】x | x 1或 x 3

【解析】依据一元二次不等式的解法,即可求出。 【详解】 由 x2﹣2x﹣3>0,得(x+1)(x﹣3)>0,解得 x<﹣1 或 x>3. 所以原不等式的解集为{x|x<﹣1 或 x>3}. 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法,意在考查学生的数学运算能力。

14.把二进制数10112 化成十进制数为_____. 【答案】11 【解析】利用其它进制化十进制规则算出即可。 【详解】 二进制数 1011 用十进制可以表示为: 1×23+0×22+1×21+1=11. 故答案为:11. 【点睛】 本题主要考查进位制互化规则。

15.直线 x 3y 1 0 的倾斜角的大小是_________.

【答案】 5 6

【解析】试题分析:由题意 k 3 ,即 tan 3 ,∴ 5 。

3

3

6

第 7 页 共 14 页

【考点】直线的倾斜角.

16.已知数列{an}的通项公式为 an

n2 cos n 2

,前 n 项和为 Sn ,则

S2021 __________. 2020

【答案】1011

【解析】根据题意得到,将 n 赋值分别得到 a1 0, a2 4, a3 0, a4 16

a5 0, a6 36, a7 0, a8 64 a9 0, a10 100, a11 0, a12 144
将四个数看成是一组,每一组的和分别为:12,28,44…….. 可知每四组的和为等差数列,公差为 16.前 2021 项公 525 组,再加最后一项为 0.故前
2021 项和为(505 12+ 505 504 16 ) 2020 1011. 2
故答案为:1011. 点睛:本题考查了递推关系的应用、分组求和问题、三角函数的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.解决等差等比数列的小题时,常见的思路是可以化基本量, 解方程;利用等差等比数列的性质解决题目;还有就是如果题目中涉及到的项较多时, 可以观察项和项之间的脚码间的关系,也可以通过这个发现规律。还可以直接列出一些 项,直接找规律。归纳猜想。

三、解答题
17.三角形的三个顶点为 A4,0, B6,5,C 0,3

求 BC 边上高所在直线的方程; 求 BC 边上中线所在直线的方程. 【答案】(1) 3x y 12 0 ;(2) 4x y 16 0 。

【解析】(1)运用直线的斜率公式可得直线 BC 的斜率,再由两直线垂直的条件:斜率

之积为﹣1,可得 BC 边上高的斜率,再由点斜式方程,即可得到所求直线的方程;

(2)运用中点坐标公式可得 BC 的中点 M,求出 AM 的斜率,由点斜式方程即可得到

所求中线的方程.

【详解】

(1)由题意可得 kBC



53 60



1 3

则 BC 边上高所在直线的斜率为-3,又 BC 高线过 A4,0

所以 BC 边上高所在直线的方程为 y 0 3 x 4,

第 8 页 共 14 页

即 3x y 12 0

(2)由题知 BC 中点 M 的坐标为 3, 4

k AM



40 34

4 ,

所以 BC 中线所在直线的方程为 y 0 4 x 4

即 4x y 16 0 。

【点睛】

本题考查直线方程的求法,注意运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及中点坐

标公式,考查运算能力,属于基础题.

18.在

中,角 , , 所对的边分别是 , , ,且

.

(1)求 的值;

(2)若

的面积为 ,且

,求 的值.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)根据条件,由正弦定理,可将等式中“边化角”,再根据两角和

正弦公式,进行整理化简,可算出 的值,从而可求得 的值;(2)根据题意,由

(1)可得 的值,根据三角形面积公式,可计算出 的值,结合条件

,根据

余弦定理,从而可求出 的值.

试题解析:(1)∵

,∴





,∴



(2)



.
19.已知数列 an 为递增的等差数列,其中 a3 5 ,且 a1, a2 , a5 成等比数列. (1)求 an 的通项公式;

(2)设 bn



an

1
1 an1

1

记数列 bn 的前

n

项和为 Tn

,求使得 Tn



m 5

成立的

m

的最小正整数.

【答案】(1) an 2n 1;(2)2.

【解析】(1)利用待定系数法,设出首项 a1 和公差 d ,依照题意列两个方程,即可求

第 9 页 共 14 页

出 an 的通项公式;

(2)由 bn



an

1
1 an1

1

,容易想到裂项相消法求 bn 的前

n

项和为 Tn

,然后,

恒成立问题最值法求出 m 的最小正整数. 【详解】 (1)在等差数列中,设公差为 d≠0,

由题意

,得



解得



∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)由(1)知,an=2n﹣1.







∴Tn=





∵Tn+1﹣Tn=



>0,

∴{Tn}单调递增,而



∴要使

成立,则

,得 m ,

又 m∈Z,则使得

成立的 m 的最小正整数为 2.

【点睛】 本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义,待定系数法求通项公式,裂项相消求 数列的前 n 项和,以及恒成立问题的一般解法,意在考查学生综合运用知识的能力。
20.已知函数 f x x2 ax b .

(1)若 a, b 都是从集合0,1, 2,3中任取的一个数,求函数 f x 有零点的概率;

(2)若 a, b 都是从区间0,3 上任取的一个数,求 f 1 0成立的概率.

【答案】(1) P( A) 7 (2) P(B) 7 。

16

9

【解析】试题分析:(1)本题为古典概型且基本事件总数为 4 4 16 个,函数 f x 有

零点即 a2 4b 0 即 a2 4b ,数出满足条件的时间数目 7 个;故概率为 7 。(2) 16
由条件知是两个变量,且事件个数有无穷个,故为几何概型,找到总事件表示的区域和 第 10 页 共 14 页

题干条件满足的条件,根据面积之比得到结果. 解析:
(1)Q a,b 都是从集合0,1, 2,3 中任取的一个数本题为古典概型且基本事件总数为

44 16 个,设“函数 f x 有零点”为事件 A

则 A a2 4b 0 即 a2 4b ,包含 0,0,2,0,2,1,3,0,3,1,3,27个基 本事件,P A 7 .
16
(2)Q a,b 都是从区间 0,3 上任取的一个数本题为集合概型且所有基本事件的区域

为如图所示矩形 OABC ,

设“函数 f x 0 ”为事件 B 则 B f 1 1 a b 0 ,即 b a 1,

B 包含的基本事件构成的区域为图中阴影部分



P



B



3



3



1 2



2

2



7

.

33

9

21.已知某市大约有 800 万网络购物者,某电子商务公司对该市 n 名网络购物者某年 度上半年的消费情况进行了统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.5,1.1]内, 其频率分布直方图如图所示.

(1)求该市 n 名网络购物者该年度上半年的消费金额的平均数与中位数(以各区间的 中点值代表该区间的均值). (2)现从前 4 组中选取 18 人进行网络购物爱好调查. (i)求在前 4 组中各组应该选取的人数; (ii)在前 2 组所选取的人中,再随机选 2 人,求这 2 人都是来自第二组的概率.
第 11 页 共 14 页

【答案】(1)0.752,0.76;(2)(i)3,4,5,6 人;(ii) 2 . 7
【解析】(1)通过频率分布直方图估计总体的平均值和中位数等数字特征,依照规则即 可算出;(2)(i)由分层抽样的特点,即可求出;(ii)利用古典概型计算公式算出即可。 【详解】 (1)依题意,平均数为 = 0.55×0.15+0.65×0.2+0.75×0.25+0.85×0.3+0.95×0.08+×1.05×0.02=0.752; 1.5×0.1+2.0×0.1=0.35<0.5,而 1.5×0.1+2.0×0.1+2.5×0.1=0.6>0.5,所以中位数位于 [0.7,0.8)之间,

所以中位数为 0.7+

=0.76.

(2)(i)前 4 组的频率分别为:0.15,0.2,0.25,0.3, 所以前四组人数比为:0.15:0.2:0.25:0.3=3:4:5:6,

前 4 组共抽取 18 人,所以第一组抽取 18× =3 人,第二组抽取人数为 18× =4 人,

第 3 组抽取人数为 18× =5 人,第 4 组抽取人数为 18× =6 人. 所以前 4 组中各组应该选取的人数分别为 3,4,5,6 人. (ii)由(i)知,第一组抽到 3 人,第二组抽到 4 人, 设事件 A 表示在前 2 组所选取的人中,再随机选 2 人,求这 2 人都是来自第二组,

则 P(A)= = .

【点睛】 本题主要考查统计和概率有关知识,能利用频率分布直方图估计总体的数字特征,记清: 在频率分布直方图中,中位数左右两边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值; 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 之和,众数是最高矩形的中点横坐标。 22.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,如表是该地一建设银行连续五年的储蓄 存款(年底余额),如表 1

年份 x

2011

2012 2013 2014

2015

储蓄存款 y(千亿元)

5

6

7

8

10

第 12 页 共 14 页

为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t x 2010, z y 5 得到

表 2:

时间代号 t

1

2

3

4

5

z

0

1

2

3

5

(1)求 z 关于 t 的线性回归方程; (2)通过(1)中的方程,求出 y 关于 x 的回归方程; (3)用所求回归方程预测到 2010 年年底,该地储蓄存款额可达多少?
附:对于线性回归方程 $y $bx $a ,

n

n

xi yi nx y

(xi x)( yi y)

其中 b$

i 1 n

i1 n

, $a y $bx .

xi2 n(x)2

(xi x)2

i 1

i 1

【答案】(1) z 1.2t 1.4 ;(2) y? 1.2x 2408.4 ;(3)3.6 千亿.

【解析】(1)利用最小二乘法求出 z 关于 t 的线性回归方程;

(2)通过 t x 2010, z y 5 ,把 z 关于 t 的线性回归方程化成 y 关于 x 的回归方程;

(3)利用回归方程代入求值。
【详解】
解:(1)由表中数据,计算 t 1 (1+2+3+4+5)=3, 5
z 1 (0+1+2+3+5)=2.2, 5
5
tizi=1×0+2×1+3×2+4×3+5×5=45,
i 1

5
ti2 12+22+32+42+52=55,
i 1

$
所以 b

x n
i1 i

yi



nxy

n i 1

xi2



nx

2



45 5 3 2.2 55 5 32

1.2,

$
a



z



b

t

2.2﹣1.2×3=﹣1.4,

所以 z 关于 t 的线性回归方程为 z=1.2t﹣1.4;

第 13 页 共 14 页

(2)把 t=x﹣2010,z=y﹣5 代入 z=1.2t﹣1.4 中,得到: y﹣5=1.2(x﹣2010)﹣1.4, 即 y 关于 x 的回归方程是 y=1.2x﹣2408.4; (3)由(2)知,计算 x=2010 时,y=1.2×2010﹣2408.4=3.6, 即预测到 2010 年年底,该地储蓄存款额可达 3.6 千亿. 【点睛】 本题主要考查了非线性回归模型问题,采用适当的变量替换,把问题转化成线性回归问 题,是求解非线性回归问题的主要手段。
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