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浙江省杭州市第十五中学九年级数学寒假自主学习(开学考试)试题

浙江省杭州市第十五中学 2016 届九年级数学寒假自主学习(开学考试) 试题
考试范围:初三为主;考试时间:100 分钟;

一、选择题(每题 3 分,共 10 题)

1.比例尺为 1:1000 的图纸上某区域面积 400cm2,则实际面积为 ( )

A.4×105 m2

B.4×104 m2

C.1.6×105 m2

D.2×104m2

2.正方形网格中,∠AOB 如图放置,则 cos∠AOB 的值为( )

A. 5 5

B. 2 5 5

C. 1 2

D. 2

3.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上, DE∥BC ,若 AD=1,BD=2,则 DE 的 BC
值为( )

A. 1 2

B. 1 3

C. 1 4

D. 1 9

第2题

第3题

第6题

第7题

4.若 3x 2n1 y m 与 5x m y 3 是同类项,则 m,n 的值分别是(



A.3,-2 B.-3,2

C.3,2

D.-3,-2

5.对于代数式 x2 4x 6 的值的情况,小明作了如下探究的结论,其中错误的是 (



A.只有当 x 2 时, x2 4x 6 的值为 2

B. x 取大于 2 的实数时, x2 4x 6 的值随 x 的增大而增大,没有最大值

C. x2 4x 6 的值随 x 的变化而变化,但是有最小值

D.可以找到一个实数 x ,使 x2 4x 6 的值为 0

6.如图,在坡比为1: 2 的斜坡上有两棵树 AC、BD,已知两树间的坡面距离 AB= 2 5 米,那么两
树间的水平距离为( )米

A. 5

B. 10

C. 4

D. 15

7.如图,AB 是⊙O 的切线,切点为 A,OA=1,∠AOB=60°,则图中阴影部分的面积是( )

A. 3 1 6

B. 3 1 3

C. 3 1 26

D. 3 1 23

8.二次函数 y=ax2+b(b>0)与反比例函数 y= a 在同一坐标系中的图象可能是( ) x

第9题
9.如图,二次函数 y ax2 bx c ( a ≠0)的图象经过点(1,2)且与 x 轴交点的横坐标分

别为 x1 、 x2 ,其中 1< x 1<0、1< x 2<2,下列结论:① 4a 2b c < 0 ;② 2a b < 0 ;

③ b2 8a >4 ac ;④ a 1.其中结论正确的有(



(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

第 10 题

第 12 题

第 14 题

第 13 题

10.如图,已知在 Rt△ABC 中,AB=AC=2,在△ABC 内作第一个内接正方形 DEFG;然后取 GF 的

中点 P,连接 PD、PE,在△PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ;再取线段 KJ 的中点 Q,在△QHI

内作第三个内接正方形…依次进行下去,则第 n 个内接正方形的边长为(



A、 2 ( 1 )n 32

B、 2 2 ( 1 )n 32

C、 2 ( 1 )n1 32

D、 2 2 ( 1 )n1 32

二、填空题(每题 4 分,共 6 题)

11.若 m 3 n 22 0,则 m 2n的值为



12.如图,矩形 OABC 的边 OA 长为 2,边 AB 长为 1,OA 在数轴上,以原点 O 为圆心,对角线 OB

的长为半径画弧,交数轴于一点,则这个点表示的实数是



13.如图,点 E(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A 上,BE 是⊙A 上的一条弦.则 sin∠OBE=



14.如图,在钝角△ABC 中,AB=6cm,AC=12cm,动点 D 从点 A 出发到点 B 停止,动点 E 从点 C 出

发到点 A 停止。点 D 的运动速度为 1cm/s,点 E 的运动速度为 2cm/s。如果两点同时运动,那么

当以点 A,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似时,运动的时间是



15.已知二次函数 y=ax2+bx+c 中,函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表:

若 A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,当 m=____时,y1=y2 。

16.已知关于

x,y

的方程组

x x



3y 4 y 3a



a

,其中



3



a



1,给出下列结论:①

x



y



5

1

方程组的解;②当 a=-2 时,x,y 的值互为相反数;③当 a=1 时,方程组的解也是方程 x y 4 a

的解;④若 x 1,则1 y 4 其中正确的是



三、解答题

17.(1)计算:

4



(

1 2

)1



2

cos

60



2





0



(2)先化简,再求值: a b2 a b2a b 3a 2 ,其中 a 3 5,b 5 3 。

18.(1)解方程:

x

x 1

1



x



3
2x

1



(2)解不等式组:

2x 1 x x 8 4x

1 1

,并把解集在数轴上表示出来。

19.现有 5 个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1,﹣2,1,2,3.先将标有数字﹣ 2,1,3 的小球放在第一个不透明的盒子里,再将其余小球放在第二个不透明的盒子里,现分别 从两个盒子里各随机取出一个小球。 (1)请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果; (2)求取出的两个小球上的数字之和等于 0 的概率。

20.
BC 的长; 尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):作出△ABC 的外接圆,并求外接圆半径。

21.东方专卖店专销某种品牌的钢笔,进价 12 元/支,售价 20 元/支.为了促销,专卖店决定 凡是买 10 支以上的,每多买一支,售价就降低 0.10 元(例如,某人买 20 支钢笔,于是每只 降价 0.10×10=1 元,就可以按 19 元/支的价格购买),但是最低价为 16 元/支. (1)求顾客一次至少买多少支,才能以最低价购买? (2)写出当一次购买 x 支时(x>10),利润 y(元)与购买量 x(支)之间的函数关系式; (3)有一天,一位顾客买了 46 支,另一位顾客买了 50 支,专卖店发现卖了 50 支反而比卖 46 支赚的钱少,为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价 16 元/支至 少要提高到多少,为什么?

22.在矩形 ABCD 中,已知 AD AB,在边 AD 上取点 E ,使 AE AB ,连结 CE ,过点 E 作

EF CE ,与边 AB 或其延长线交于点 F .

猜想:如图①,当点 F 在边 AB 上时,线段 AF 与 DE 的大小关系为



探究:如图②,当点 F 在边 AB 的延长线上时, EF 与边 BC 交于点 G .判断线段 AF 与 DE 的

大小关系,并加以证明.

应用:如图②,若 AB 2,AD 5,利用探究得到的结论,求线段 BG 的长.

23.如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a≠0)相交于 1 , 5 和 B(4,m),点 P 是线段 2 2
AB 上异于 A、B 的动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 D,交抛物线于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在, 请说明理由; (3)求△PAC 为直角三角形时点 P 的坐标.

杭十五中教育集团 2015 学年第二学期开学考试 初三数学答题卷 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

A

B

C

D

C

C

B

D

D

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)

11.

-1

14. 3s 或 4.8s

12. 5
15. 1.5

13. 3 5
16. ②③④

三、解答题(6+8+8+10+10+12+12=66 分)

17.(本小题 6 分)

(1)

4



(

12)1



2

cos

60



2





0

=

2

-

2



2



1 2



1=0

(2)原式=ab=4;

18.(本小题 8 分) (1)无解;(2)x>3. 19. (本小题 8 分) (1)列表得:
-1 2
-2 -3 0
103
325 则共有 6 种结果,且它们的可能性相同; (2)∵取出的两个小球上的数字之和等于 0 的有:(1,-1),(-2,2),
21 ∴两个小球上的数字之和等于 0 的概率为: 6 3 .
20. (本小题 10 分)

(2)如图,⊙O 即为所求作的外接圆,半径 R= 5

A

B

D

C

O

21.(本小题 10 分) (1)由题意得:
20 16 +10=50 支; 0.1
(2)当 10<x≤50 时(1 分), y=[20﹣0.1(x﹣10)﹣12]x=﹣0.1x2+9x,

当 x>50 时(1 分),y=(16﹣12)x=4x;

(3)方法(一):列表

x … 40 41

42

43

44

45

46

47

48

49

50 …

y … 20 200.9 201.6 202.1 202.4 202.5 202.4 202.1 201.6 200.9 20

0

0

由表格可知,最低售价为 20﹣0.1(45﹣10)=16.5 元; 方法(二):利润 y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5, ∵卖的越多赚的越多,即 y 随 x 的增大而增大, ∴由二次函数图象可知,x≤45,最低售价为 20﹣0.1(45﹣10)=16.5 元.

22.(本小题 10 分)

猜想:AF=DE

探究:AF=DE

证明:∵EF⊥CE

∴∠CEF=90° ∴∠1+∠2=90°

∵四边形 ABCD 为矩形 ∴∠A=∠D=90°,AB=CD

∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3

∵AE=AB, ∴AE=DC

∴△AEF≌△DCE ∴AF=DE

应用:∵AF=DE=AD-AE=5-2=3

∴BF=AF-AB=3-2=1

在矩形 ABCD 中,AD∥BC ∴△FBG∽△FAE

∴ BG FB AE FA

即 BG 1 23

∴BG= 2 . 3

23.(本小题 12 分)

9

49

7 11

(1)y=2x2-8x+6.(2)当 n= 4 时,线段 PC 最大且为 8 .(3)点 P 的坐标为(3,5)或( 2 , 2 )

解析:(1)∵B(4,m)在直线 y=x+2 上, ∴m=4+2=6, ∴B(4,6),
∵A( 1 , 5 )、B(4,6)在抛物线 y=ax2+bx+6 上, 22



5 2 6

(1) 2
16a

2a 4b

1 2

b 6



6

,解得

a b



2 8



∴抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6. (2)设动点 P 的坐标为(n,n+2),则 C 点的坐标为(n,2n2-8n+6), ∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6), =-2n2+9n-4,
=-2(n- 9 )2+ 49 , 48
∵PC>0,

∴当 n= 9 时,线段 PC 最大且为 49 .

4

8

(3)∵△PAC 为直角三角形,

i)若点 P 为直角顶点,则∠APC=90°.

由题意易知,PC∥y 轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在;

ii)若点 A 为直角顶点,则∠PAC=90°.

如答图 3-1,过点 A( 1 , 5 )作 AN⊥x 轴于点 N,则 ON= 1 ,AN= 5 .

22

2

2

过点 A 作 AM⊥直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易知,△AMN 为等腰直角三角形,

∴MN=AN= 5 ,∴OM=ON+MN= 1 + 5 =3,

2

22

∴M(3,0).

设直线 AM 的解析式为:y=kx+b,

则:

1 k b 5

2

2

3k b 0

,解得

k b



1 3



∴直线 AM 的解析式为:y=-x+3 ① 又抛物线的解析式为:y=2x2-8x+6 ②
联立①②式,解得:x=3 或 x= 1 (与点 A 重合,舍去) 2
∴C(3,0),即点 C、M 点重合. 当 x=3 时,y=x+2=5, ∴P1(3,5);

iii)若点 C 为直角顶点,则∠ACP=90°.

∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,

∴抛物线的对称轴为直线 x=2.

如答图 3-2,作点 A( 1 , 5 )关于对称轴 x=2 的对称点 C, 22

则点 C 在抛物线上,且 C( 7 , 5 ). 22

当 x= 7 时,y=x+2= 11 .

2

2

∴P2( 7 , 11 ). 22
∵点 P1(3,5)、P2( 7 , 11 )均在线段 AB 上, 22
∴综上所述,△PAC 为直角三角形时,点 P 的坐标为(3,5)或( 7 , 11 ). 22


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