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福建省永泰县第一中学高三数学上学期期中试题 理

福建省永泰县第一中学高三数学上学期期中

试题 理

考试日期:11 月 15 日 完卷时间:120 分钟 满 分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.

1.复数 1 3i 的共轭复数为( )
3-i

A. 1+i

B.i

C. 1 i

D. i

2.

π
2 cos xdx

1 1 x2 dx



0

0



A. 1 π

B. π

4

4

C. 1

D. π 1

4

3.命题 p : xR ,使 (1 )x 0 ;命题 q :设 a,b R ,则“ 2ab 1”是
2

“ log2 a log2 b ”的充要条件,则下列命题为真命题的是(



A. p q

B. p q

C. (p) q

D.

p (q)

4.在直角坐标系中,若角 的终边经过点 P(sin 5 ,cos 5 ) ,则 tan( )

3

3

()

A. 3

B. 3
3

C. 3

D. 3
3

5.函数

f

(x)



e2x 1 x2ex

的图像大致为(



6.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校 2019

年全年投入科研经费 1300 万元,在此基础上,每年投入的科研经费比

上一年增长12% ,则该高校全年投入的科研经费开始超过 2019 万元的

年份是( )

(参考数据: lg1.12 0.05 , lg1.3 0.11, lg2 0.30 )

A. 2022 年

B. 2021 年

C. 2020 年

D. 2023 年

7.已知函数 f (x) lg(6 x) lg x 则 ( )

第- 1 -页/共8页

A. f (x) 在(0,6)单调递增

B. f (x) 在(0,6)单调递减

C. y f (x) 的图像关于直线 x=3 对称 D. y f (x) 的图像关于点(3,0)

对称

8.已知向量

v a

,br

是夹角为

600

的单位向量.当实数





1时,向量

ar

与向量

ar



r b

的夹角范围是(



A. 00,600

B. 600,1800

C. 1200,1800

D. 600,1200

9.函数 f x Asinx ( 0 ,| | π )的图像如图所示,为了得到函
2

数 g x Acosx 的图像,可以将 f x 的图象( )

A.向右平移 π 个单位长度 B.向右平移 5π 个单位长度

12

12

C. 向左平移 π 个单位长度 D.向左平移 5π 个单位长度

12

12

10.等比数列{an}中, a5 2, a6 5 ,则数列{lg an} 的前 10 项和等于( )

A.6

B. 4

C. 5

D.3

11.若 ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b ,

c . 面积S a2 b2 c2 a2

4

3sin A

则 sin B ( )

A. 6
3

B. 2
2

C. 3
2

D.

22 3

二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分共 20 分. 把答案填在答题卡相

应位置上。

13.已知锐角, 满足tan 1tan 1 2 ,则 的值为________.

14.已知向量

r a



r b

满足

r a



5,

r a

r b



6



ab



8

则向量

r b

在向量

r a



的投影为



15.已知数列通项公式为:an pn q (n∈N*,p,q为常数 ),其前 n 项和 Sn 同时满足 S2018 0, S2019 0, 若对于任意 n 2且n N 都有 an ak 与 ak an1 成立,则 k 的值为

16.设函数

f

(x)



x3

3x, x



a

.若存在实数 b

,使得函数 gx

f

x b 有三

2x, x a

个零点,则实数 a 的取值范围是_________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明

过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分)

第- 2 -页/共8页

已知集合 A y

y x2 3 x 1,0 x 2 2

, B

x log2x 1 2



(1)若全集U R ,求 (CU A) U B ;

(2)若集合 C ={ x | x m2 1 },命题 p : x ∈A,命题 q : x ∈C,且命
2

题 p 是命题 q 成立的充分条件,求实数 m 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) cos2(x ) 3 sin(x )sin(x ) 1 ( 0) ,

6

6

32

满足 f () 1, f ( ) 0 ,且 的最小值为 .
4

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)求函数

f

(x)



0,2



上的单调区间和最大值、最小值.

19.(本小题满分 12 分)

已知数列an 的前 n 项和为 Sn , 2Sn an 3 , n N*.数列bn 满足:

(1)求数列an 的通项公式;

(2)求数列bn 的通项公式;

20.(本小题满分 12 分)

设 a,bR ,函数 f (x) 1 x3 ax2 bx 在区间(0,1)上单调递增,在 1,2 上单调
3
递减. (1)若 a 2 ,求 b 的值;

(2)求函数 f (x) 在区间[1,4] 上的最小值(用 b 表示).

21.(本小题满分 12 分)

在△ ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c . b 5 , B .
4
(1)若 a 3 ,求 sinC 的值; (2)若△ ABC 的面积等于1,求 a 的长. 22.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) x2 mx ln x , m R
2
(1) 若曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为3x y n 0 ,

求实数 m,n 的值; (2) 设 x1, x2 (x1 x2 ) 是函数 f (x) 的两个极值点,试比较 f (x1)与f (x2)的大小 ,
并说明理由。

高中 三 年 数学(理) 科试卷参考答案

二、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

DACBB

ACDBC

DA

二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分

第- 3 -页/共8页

13.

3 4

0,1 1,

14. 7
5

15. 1010

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17(10 分)解:(1)

A={ y | y x2 3 x 1, x [0,2]}={ y | y (x 3)2 7 , x [0,2]}

2

4 16

={ y | 7 ≤ y ≤2},……2 分
16



UA={

y

|

y

>2



y

<

7 16

},……………………………………4



( UA)∪B=R……………………………………5 分

(2)∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A C,…………………………7



∵C={ x | x ≥ 1 - m2 }……………………………………8 分
2

∴ m ≥ 1 或 m ≤- 1

4

4

∴实数 m 的取值范围是(-∞,- 1 ] ∪[ 1 ,+

4

4

∞)………………………10 分

18(12 分)解:

1 cos(2x )

(1). f (x)

3

3 sin(x ) cos(x ) 1

2

6

62

sin(2x ) 6
……3 分

…………………

又 f () 1, f ( ) 0 ,且 的最小值为 ,则 T ,最小周期

4

44

T 2 ,
2

则=1, f (x) sin(2x ) , ………………………6 分
6

(2) Q 0 x , 2x 5

26

66

令 2x 得 0 x , 令 2x 5 得 x ,

6

62

3

2

66 3

2



f

(x)

的增区间为

0,3



,减区间为



3

, 2



.………………………9



Q

f

(x)

在区间

0,3



上单调递增,在区间上

3

, 2



上单调递减,

第- 4 -页/共8页

又Q f (0) 1 , f ( ) 1 ,
2 22



f (x)min



f (0)



1,
2

f (x)max



f ( ) 3

1

19(12 分) 解:(1)由 2Sn an 3 ①

……………………12 分
得 2Sn1 an1 3n 2 ②

由①-②得

2an



an



an1



0

,即

an



1 3

an1

n



2

,………2



对①取 n 1得, a1 1 0 ,所以 an 0 ,………3 分

所以 an 1 为常数,
an1 3

………4 分

所以

an



为首项为

1,公比为

1 3

等比数列………5



所以 an





1 3

n1



n



N

*

.

…………6 分

(2)由(1)得

an





1 3

n1

,可得对于任意 n

N*有

bn



1 3

bn1





1 3

2

bn2



...



1 3

n1

b1





1 3

n1



3n



3



③…7 分

则 bn1



1 3

bn2





1 3

2

bn3



...





1 3

n2

b1





1 3

n2



3n

1



3n



2







1 3

bn1





1 3

2


bn2





1 3

3


bn3



...





1 3

n1


b1





1 3

n1




n



2n



2





由③-⑤得bn 2n 1n 2,

…………………10 分

对③取 n 1得,b1 1也适合上式,

…………………11 分

因此 bn 2n 1, n N * .

…………………12 分

20.(12 分)

(1)解:求导,得 f (x) x2 2ax b .

………… 1 分

因为函数 f (x) 在区间(0,1)上单调递增,在区间 1,2 上单调递减,

所以 f (1) 1 2a b 0 .

………………… 3



又因为 a 2 ,

所以 b 3 ,验证知其符合题意.

………5 分

(2)解:由(Ⅰ),得1 2a b 0 ,即 2a b 1.

所以 f (x) 1 x3 b 1 x2 bx , f (x) x2 (b 1)x b (x b)(x 1) .

3

2

当 b≤1时,得当 x(1,) 时, f (x) (x b)(x 1) 0 ,

此时,函数 f (x) 在 (1,) 上单调递增. 这与题意不

符. …………………… 7 分

当 b 1时, 随着 x 的变化, f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表:

x

(,1)

1

(1, b)

b

(b, )

第- 5 -页/共8页

f (x)



0



0



f (x)

Z

极大



]

极小

Z



所以函数 f (x) 在 (,1) , (b,) 上单调递增,在 (1,b) 上单调递减.

由题意,得

b2.

………………… 9 分

11 分

所以当 b≥4 时,函数 f (x) 在[1,4] 上的最小值为 f (4) 40 4b ;
3
当 2 b 4,函数 f (x) 在[1,4] 上的最小值为 f (b) 1 b3 1 b2 ,
62

综上,当 b≥4 时, f (x) 在[1,4] 上的最小值为 40 12b ;
3
当 2 b 4时, f (x) 在[1,4] 上的最小值为 1 b3 1 b2 .
62
12 分

………

(或写成:函数 f (x) 在[1,4] 上的最小值为

g(b)



1 6

b3



1 2

b2

,




40 3



4b,

2≤b 4, b≥4.

).

21.(12 分)

解:(1)在△ ABC 中, a 3 , b 5 , B , a b .
4 sin A sin B

所以 sin A a sin B 3 sin 3 10 .

b

5 4 10



…………2

当 A 为锐角时, cos A 10 ,
10

sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B 3 10 2 10 2 2 5 . …4 分
10 2 10 2 5

当 A 为钝角时, cos A 10 , sinC 5 .

10

5



…………6

另解:在△ ABC 中,由 b2 a2 c2 2accosB 得:

c 2或c 2 2

………2 分

当c

2 时, sin c c sin B

2 2 2

5

b

5

5

…………4 分

当c 2

2

sin c csin B

2 时,

b

2

2 2

2

5

5

5

…………6 分

第- 6 -页/共8页

(2)△

ABC

的面积

SABC



1 2

ac sin

4



2 ac ,
4

所以 2 ac 1.
4


………… ……………7 分

在 ABC 中, b2 a2 c2 2ac cos ,
4


…………9

所以 5 a2 c2 2ac . …………②

由①得 c 2 2 ,代入②得
a

5



a2



8 a2



4,

所以 a4 9a2 8 0 .

解得 a 1或 a 2 2 .

……………12 分

22(12 分)解: 1 f (x) x m 1 ,由f (1) 3得m 5 ………2 分
x
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质 教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方 式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞 费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

f (x) x2 5x ln x

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

2

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元

时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖悟非凡貌,

属句有夙性,说字惊老师。”于是看,宋元时期小学教师被称为“老

师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则

称为“教师”或“教习”。可见,“教师”一说是比较晚的事了。如

今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上

较低一些的差别。辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故

又称“教师”为“教员”。于是在点1, f 1 处的切线方程为:

y f (1) 3(x 1), 即: y 3x 3
2
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、

私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰

甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书,

最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中

的“先生何为出此言也?”;《论语》中的“有酒食,先生馔”;《国

策》中的“先生坐,何至于此?”等等,均指“先生”为父兄或有学

问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者,有德之称”

的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意,倒是与当今“先

生”的称呼更接近。看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称,并

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非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载,首见于《礼记?曲 礼》,有“从于先生,不越礼而与人言”,其中之“先生”意为“年

长、资深之传授知识者”,与教师、老师之意基本一致。

n 3 2

………4 分

综上: m 5, n 3
2

………5 分

(2)因为 f / (x) x2 mx 1 (x 0) .
x



f

/ (x)



0 ,得

x2



mx

1

0

,两根分别为

x1,x2

,则



x1



x1 x2

x2 m, 1,

…………

(6 分)

又因为

f

x1

f

x2





1 2

x12



mx1

lnx1



1 2

x22



mx2

lnx2



ln x1 1 x2 2

x12 x22



ln

x1 x2



1

2



x12 x22 x1x2





ln

x1 x2



1

2



x1 x2



x2 x1







…………………(9

分)

令 x1
x2

t ,由于 x1 x2 ,所以 0 t 1.

令(t) ln t 1 (t 1() 0 t 1),
2t

(t)

1 t

1(1 2

1 t2



2t

t2 2t 2

1



(t 1)2 2t 2



0

,所以 φ(t)

在 (0,1) 上单调递减,(10

分)

所以,(t) (1) 0 ……………………………………………………(11

分)

所以, f (x1) f (x2) 0 ,即 f (x1) f (x2) .………………………………………(12 分)

另解:令

f

/ (x)



0 ,得

x2



mx

1



0 ,两根分别为

x1,x2

,则



x1



x1 x2

x2 m,…
1,

(6 分)





x12 2



1 2x12



2 ln

x(1 0



x1

1) ……………(9

分)



g(x)



2 ln

x



x2 2



1 2x2

,

0 x 1



g ( x)



2 x



x

1 x3



(x2 1)2
x3



0

第- 8 -页/共8页


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