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1 小题强化练(一) 综合提能练(1)

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小题强化练

小题强化练(一) 综合提能练(1) 1.设集合 P={x||x-1|<1},Q={x|-1<x<2},则 P∩Q=( )

A.-1,21

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(0,2)

2.若复数 z 满足(1+i)z=1-2i3,则|z|=( )

10 A. 2

B.32

C.

2 2

D.12

3.已知向量 a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2).若(3a-b)∥c,则实数 k 的值为( )

A.-8

B.-6

C.-1

D.6

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=20,a5=10,则 a16=( )

A.-32

B.12

C.16

D.32

5.已知 m,n 是空间中两条不同的直线,α,β 为空间中两个互相垂直的平面,则下列

命题正确的是( )

A.若 m?α,则 m⊥β

B.若 m?α,n?β,则 m⊥n

C.若 m?α,m⊥β,则 m∥α

D.若 α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α

6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,现将函数 f(x)

图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的解析式为(

)

A.g(x)=2sin2x+π4
C.g(x)=2cos 2x
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B.g(x)=2sin2x+34π D.g(x)=2sin2x-π4

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7.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现 有一“阳马”,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该“阳马”的顶点都在同一 个球面上,则该球的体积为( )

86 A. 3 π

B.8 6π

C. 6π

D.24π

8.已知函数 f(x+2)(x∈R)为奇函数,且函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[0,

1]时,f(x)=2 0x18,则 f(2 018)=( )

A.2 018

B.2

1 018

C.1

1 009

D.0

9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 56,则判断框中的条件可以是( )

A.n≤7?

B.n>7?

C.n≤6?

D.n>6?

10.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1>AB=AD,设直线 A1B 与直线 AD1,B1D1

所成的角分别为 α,β,则( )

A.60°<α<90°,60°<β<90°
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B.60°<α<90°,0°<β<60° C.0°<α<60°,60°<β<90° D.0°<α<60°,0°<β<60° 11.如图,等腰梯形 ABCD 的高为 1,DC=2,AB=4,E,F 分别为两腰上的点,且A→F·B→E =-8,则C→E·D→F的值为( )

A.-10

B.-8

C.-6

D.-4

12.已知点 P 为双曲线 C:ax22-by22=1(a>0,b>0)右支上的任意一点,经过点 P 的直线

与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A,B 两点.若点 A,B 分别位于第一、四象限,O 为

坐标原点,当A→P=12P→B时,△AOB 的面积为 2b,则双曲线 C 的实轴长为( )

32 A. 9

B.196

C.89

D.49

13.已知 a=213,b=1223,则 log2(ab)=________.

14.如图是调查某学校高三年级男、女学生是否喜欢篮球运动得到的等高条形图,阴影

部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生、女生各 500 名(假设所有学生都参加

了调查),现从所有喜欢篮球运动的学生中按分层抽样的方法抽取 32 人,则抽取的男生人数

为________.

15.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A,P 是抛物线 C 上的点,且 PF⊥x 轴.若以 AF 为直径的圆截直线 AP 所得的弦长为 2,则实数 p 的值为 ________.
16.已知数列{an}共 16 项,且 a1=1,a8=4.记关于 x 的函数 fn(x)=13x3-anx2+(a2n-1)x, n∈N*.若 x=an+1(1≤n≤15)是函数 fn(x)的极值点,且曲线 y=f8(x)在点(a16,f8(a16))处的切线 的斜率为 15,则满足条件的数列{an}的个数为________.
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参考答案与解析
小题强化练 小题强化练(一) 综合提能练(1) 1.解析:选 D.由题意知 P={x||x-1|<1}={x|-1<x-1<1}={x|0<x<2},Q={x|-1<x<2}, 所以 P∩Q={x|0<x<2}.故选 D.
2.解析:选 A.z=11-+2ii3=11++2ii=((11++2ii))((11--ii))=3+2 i,所以|z|= 322+122=
94+14= 210.故选 A. 3.解析:选 B.由题可知 3a-b=(6,3)-(3,4)=(3,-1),c=(k,2),因为(3a-b)∥c,
所以-k=2×3,k=-6.故选 B. 4.解析:选 D.设等差数列{an}的公差为 d,由 S4=4a1+4×2 3d=20,得 2a1+3d=10 ①,
由 a5=10,得 a1+4d=10 ②,根据①②可得 a1=d=2,所以 a16=a1+15d=32.故选 D. 5.解析:选 C.对于 A:若 m?α,则 m 与平面 β 可能平行或相交,所以 A 错误;对于
B:若 m?α,n?β,则 m 与 n 可能平行、相交或异面,所以 B 错误;对于 C:若 m?α,m⊥ β,则 m∥α,C 正确;对于 D:α∩β=m,n⊥m,则 n 不一定与平面 α 垂直,所以 D 错误.
6.解析:选 D.根据函数 f(x)的图象可知 A=2,T4=58π-38π=π4,得 T=2ωπ=π,则 ω=2,
所以 f(x)=2sin(2x+φ),又 f(x)的图象经过点58π,-2,所以 2sin2×58π+φ=-2,即 sin54π+φ=-1,54π+φ=-π2+2kπ,k∈Z,得 φ=-74π+2kπ,k∈Z,因为|φ|<2π,所以 φ =π4,所以 f(x)=2sin2x+π4.将函数 f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数 g(x) =2sin2x-4π+π4=2sin2x-π4的图象.
7.解析:选 C.由题可知,该“阳马”为四棱锥,记为 P?ABCD,将其放入长方体中如 图所示,则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线,易知 AD=AP=1,AB=2,所以 PC= 12+12+22= 6,所以外接球的半径为P2C= 26,故该球的体积为4π3R3=43π×64× 26=
6π.故选 C.
8.解析:选 D.由题意知,f(x+2)=-f(-x+2),所以 f(x)=-f(-x+4),又 f(x)=f(-x
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+2),所以-f(-x+4)=f(-x+2),所以-f(-x+2)=f(-x),所以 f(-x+4)=f(-x),所以 f(x)的周期为 4,故 f(2 018)=f(2 016+2)=f(2)=f(0)=0.
9.解析:选 D.执行程序框图,s=0,a=2,n=1, s=s+a=2,a=a+2=4,n=n+1=2; s=s+a=6,a=a+2=6,n=n+1=3; s=s+a=12,a=a+2=8,n=n+1=4; s=s+a=20,a=a+2=10,n=n+1=5; s=s+a=30,a=a+2=12,n=n+1=6; s=s+a=42,a=a+2=14,n=n+1=7; s=s+a=56,a=a+2=16,此时符合判断框中的条件,退出循环. 所以判断框中的条件可以为“n>6?”. 10.解析:选 C.根据题意不妨取 AA1=2,AB=AD=1,连接 BD,BC1,A1C1,A1D, 则 AD1∥BC1,B1D1∥BD,则直线 A1B 与直线 AD1 所成的角即∠A1BC1,直线 A1B 与直线 B1D1 所成的角即∠A1BD.易知 A1B=BC1=A1D= 5,A1C1=BD= 2.易知 α=∠A1BC1,β= ∠A1BD,在△A1BD 中,易求得 tan β=3,在△A1BC1 中,易求得 tan α=34,易知 0°<α<90°, 0°<β<90°,故 0°<α<60°,60°<β<90°. 11.解析:选 D.设A→F=A→B+B→F=A→B+xB→C,B→E=B→A+A→E=B→A+yA→D,则A→F·B→E=-A→B 2+yA→B·A→D+xB→C·B→A+xyB→C·A→D=-16+4(x+y),由A→F·B→E=-8,得 x+y=2,而C→E=C→D+ D→E=C→D+(1-y)D→A,D→F=D→C+C→F=D→C+(1-x)C→B,于是C→E·D→F=-C→D2+(1-y)D→A·D→C+ (1-x)C→B·C→D+(1-x)(1-y)C→B·D→A=-4-2[(1-y)+(1-x)]=-4.故选 D. 12.解析:选 A.设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由A→P=12P→B, 得(x-x1,y-y1)=12(x2-x,y2-y),则 x=23x1+13x2,y=23y1+13y2,
所以23x1+a213x22-23y1+b213y22=1.易知点 A 在直线 y=bax 上,点 B 在直线 y=-bax 上, 则 y1=bax1,y2=-bax2,所以23x1+a213x22-23bax1-b23bax22=1, 即23x1+13x22b2-23bax1-3bax22a2=a2b2,化简可得 a2=89x1x2.
由渐近线的对称性可得 sin∠AOB=sin 2∠AOx=si2ns2i∠n∠AOAxO+xccooss∠2∠AAOOx x=ta2nt2a∠n∠AOAxO+x 1
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2b



a
ba2+1



2ab b2+a2









AOB









1 2

|OA||OB|sin∠AOB



1 2

x21+y21 ×

x22+y22 ×

sin∠AOB



1 2

x21+bax12 ×

x22+-bax22

×

2ab b2+a2



x1x2

1+ba2 ×

1+ba2

×b2a+ba2=98a2×b2a+ba2×1+ba2=98a2×b2a+ba2×b2+a2 a2=98ab=2b,得 a=196,所以双曲线

C 的实轴长为392.故选 A.

1
13.解析:a=23,则

log2a=13,b=1223=2-23,则

log2b=-23,

所以 log2(ab)=log2a+log2b=13-23=-13.

答案:-13 14.解析:根据等高条形图可知,喜欢篮球运动的女生人数为 500×0.2=100,男生人 数为 500×0.6=300,所以喜欢篮球运动的学生总人数为 400,分层抽取 32 人,抽取的男生

人数为340000×32=24. 答案:24 15.解析:由题可知,△APF 为直角三角形,设直线 AP 与以 AF 为直径的圆的另一个

交点为 B,则 BF⊥AB,因为 AF=PF=p,所以 BF= p2-4,易知 AF2=AB×AP,所以 AP =p22,又12AP×BF=12AF×PF,即p22× p2-4=p2,解得 p=2 2.

答案:2 2 16.解析:f′n(x)=x2-2anx+a2n-1=[x-(an+1)][x-(an-1)].令 f′n(x)=0,得 x=an+1 或 x=an-1,所以 an+1=an+1 或 an-1=an+1(1≤n≤15),所以|an+1-an|=1(1≤n≤15),又 f′8(x)=x2-8x+15,所以 a126-8a16+15=15,解得 a16=0 或 a16=8. 当 a16=0 时,a8-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=3, 得 ai+1-ai(1≤i≤7,i∈N*)的值有 2 个为-1,5 个为 1; 由 a16-a8=(a9-a8)+(a10-a9)+…+(a16-a15)=-4, 得 ai+1-ai(8≤i≤15,i∈N*)的值有 6 个为-1,2 个为 1. 所以此时数列{an}的个数为 C27C28=588, 同理可得当 a16=8 时,数列{an}的个数为 C27C28=588. 综上,数列{an}的个数为 2C72C28=1 176. 答案:1 176

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