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人教A版选修2-2第二高级中学第三学段考试.docx

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20112012 学年深圳市第二高级中学第三学段考试

高 二 数 学(理科) 试 题

时间:120 分钟 满分: 150 分 命题人:殷木森 审题人:廖国平

第Ⅰ卷

注意事项:

1、答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等写在答题卷上指

定位置,并将试卷类型(A)和考生号的对应数字方格用 2B 铅笔涂黑;

2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂

黑,如需改动,用橡皮擦干净后再选涂其他答案,不能答在试卷上;其他题直接

答在试卷中指定的地方。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上.

1.

有 一 段 演 绎 推 理 是 这 样 的 :“ 指 数 函 数

y



ax

是增函数;

y





1

x

是指数函数;

2

y





1

x


是增函数”,结论显然是错误的,原因是

2

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

2. 有两组平行线,一组有 x 条,另一组有 y 条,这两组平行线相交,可以构成( )个平
行四边形.

A. x y

B. xy

C. 2(x y)

D. 2 xy

3. 二项式 2x2 1 6 的展开式中第 4 项的二项式系数是



3 x

A.15

B. 20

4. 在复平面内,复数 z 1 i 对应的点位于 2i

C. 160

D. 60

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5. 把一枚硬币连续抛掷两次,事件 A “第一次出现正面”,事件 B “第二次出现正面”,

则 P B | A 等于

A. 1 2

B. 1 4

C. 1 6

D. 1 8

6. 已 知 f1(x) sin x cos x , fn1 x 是 fn x 的 导 函 数 , 即 f2 x f1 x ,

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f3 x f2 x ,…, fn1 x fn x , n N* ,则 f2012 (x)

A. sin x cos x B. sin x cos x C. sin x cos x D. sin x cos x

7.

1p 2p 3p L

已知和式

nP1

n p ( p 0) 当 n 时,无限趋近于一个常数 a ,则 a

可用定积分表示为

A.

11 dx

0x

B. 1 x p dx 0

C. 1( 1 ) pdx 0x

D. 1( x ) pdx 0n

8.高二年级某三个班级参加“深圳市第二高级中学第一届数学竞赛”分别有1, 2,3 名同学获

奖,并站成一排合影留念,若相同班级的同学不能相邻,则有( )种排法.

A. 72

B.108

C.120

D.144

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答卷内.

9.设随机变量的分布列如下表所示,且 a 2b 1.3,则 a b =

.

0 12 3

P 0.1 a b 0.1

10. 已知自由落体的运动方程为 s(t) 5t 2 , 则 t 在 2 到 2 t 这一段时间内落体的平均速





,落体在 t=2 时的瞬时速度为

.

11.

已知二项式 x2



a

5


的展开式中含

x

项的系数与复数

z

6 8i 的模相等,则

x

a



12. 与 直 线 2x y 3 0 垂 直 的 抛 物 线 C : y x2 1 的 切 线 方 程



.

13. 中国已进入了高油价时代,车主们想尽办法减少用油.已知某型号汽车以 x km/ h 速度

行驶时,耗油率是



3



x2 360



L

/

h

,若要使每公里的耗油量最低,则应该以

km/ h

的速度匀速行驶.

14. 一般地,给定平面上有 n 个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为

n ,已知 4 的最小值是

2,

5

的最小值是 2sin 3 10



6 的最小值是

3 .试猜想

n (n 4) 的最小值是

.(这就是著名的 Heilbron 猜想,已经被我国的数学

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家攻克)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)
用1到 9 这 9 个数字,组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被 5 整除的有多少个? (2)这些四位数中大于 4300 的有多少个?

解:(1)偶数的个位数只能是

2、4、6、8



A14



4

种排法,其它位上有

A

3 8

种排法,由分

步乘法计数原理知共有四位偶数 A14 A83 =1344 个;

能被

5

整除的数个位必须是

5,故有

A

3 8

=336

个;……………………………………………6



(2)最高位上是

4

时,百位上只能是

3



9

,共有

7



A

2 7

种;

最高位大于

4

时,共有

5



A

3 8

种;

∴由分类加法计数原理知,这些四位数中大于

4300

的共有

7



A

2 7

+5 A83

=1974

个.……12



16. (本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) 3 x2 . (1)求 f (x) 的单调区间;

(2)求曲线 y f (x) 在点 x 1 处的切线方程;

(3)求曲线 y f (x) , y x 所围成的图形的面积 S .

解:(1)Q

f (x)

3

x2



2
x 3 ,

f

'(x)

2

1
x3

3

解 f '(x) 0 得 x 0 ,解 f '(x) 0 得 x 0 ,

f (x) 的单调增区间是 0, ,单调减区间是 ,0 (注:也可以写成闭区间 0, 或 , 0 )………………………………………………4

(2)切点坐标是 (1,1) ,且 f '(1) 2 3
y f (x) 在点 x 1处的切线方程是 y 1 2 x 1
3

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化简得 2x 3y 1 0 ……………………………………………………………………………9

(3)解 3 x2 x 得 x 1, 0

由 f (x) 3 x2 的图象特点得曲线 y f (x) , y x 所围成的图形的面积是:

S





0 1

(

x



2
x 3 )dx

2
10 (x 3



x)dx




x2 2



3 5

5
x3



0 1




x2 2



3 5

5
x3



1 0

11 5

2
(或由 S 2 10 (x 3 x)dx 求得)…………………………………………………………14 分

17. (本小题满分 12 分)

小王参加 2012 年度某项劳动技能考试.考试按科目 A,B 依次进行,只有科目 A 合格后

才能继续参加科目 B 的考试.每个科目本年度只有一次补考机会,只有两个科目都合格才能
获得该项劳动技能合格证.已知他每次参加科目 A 考试合格的概率均为 1 ,每次参加科目 B 2
考试合格的概率均为 2 ,且各次考试是否合格互不影响. 3
(1)求小王不用补考就顺利获得 2012 年度该项劳动技能合格证的概率;

(2)记小王参加 2012 年度该项劳动技能考试的次数为 (含可能的补考次数),求随机变

量 的分布列.

解: (1)设小王参加科目 A 考试合格与补考合格分别为事件 A1 , A2 ,参加科目 B 考试合

格与补考合格分别为事件 B1 , B2 .

由已知,

P( A1 )



P( A2 )



1 2



P(B1 )



P(B2 )



2 3



2分

……………………

又 A1 , B1 相互独立,

所以 P( “小王不用补考就顺利获得 2012 年度该项劳动技能合格证” ) P( A1B1 )



P( A1 )P(B1 )



1 2



2 3



1 3





…………………5

故小王不用补考就顺利获得 2012 年度该项劳动技能合格证的概率为 1 . ……………6 3

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(2)随机变量 的可能取值为 2,3,4.

………………7



则 P(



2)



P( A1B1



A1 A2 )



P( A1)P(B1)

P( A1)P( A2 )



1 2



2 3



1 2



1 2



7 12

,……

8分

P( 3) P( A1A2B1 A1B1B2 A1B1B2 ) P( A1)P( A2 )P(B1) P( A1)P(B1)P(B2 )

P( A1)P(B1)P(B2 )



1 2

1 2

2 3



11 23

2 3



111 233



1L 3

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

10分

P(



4)



P( A1 A2 B1)



P( A1)P( A2 )P(B1)



1 2



1 2

1 3



1 12

11 分

…………………

所以随机变量 的分布列为:

…………………………………12 分



2

3

4

18. 如图,有一正方形钢板 ABCD 缺损一

7

1

1

P

12

3

12

角(图中的阴影部分),边缘线 OC 是以线段

AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分.工

人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形. 若正方形的边长为 2 m ,

D

问如何画切割线 EF ,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.

解:(法一)以 O 为原点,直线 AD 为 y 轴,
建立如图所示的直角坐标系,依题意

y
D

O

C

F

可设抛物线弧 OC 的方程为 y ax2 (0 x 2)

∵点 C 的坐标为 (2,1) ,

O

P

F

E

x

A

∴ 22 a 1, a 1

4

A

B

故边缘线 OC 的方程为 y 1 x2 (0 x 2) . ……4 分

4

要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标

为 P(t, 1 t2 )(0 t 2) , 4
∵ y 1 x , 2

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∴直线 EF 的的方程可表示为 y 1 t2 1 t(x t) ,即 y 1 tx 1 t2 ,…………7 分

42

24

由此可求得 E(2,t 1 t2 ) , F(0, 1 t2 ) .

4

4

∴| AF || 1 t2 (1) | 1 1 t2 ,| BE || (t 1 t2 ) (1) | 1 t2 t 1,…9 分

4

4

4

4

设梯形 ABEF 的面积为 S(t) ,则

S(t) 1 | AB | | AF | | BE | (1 1 t2 ) ( 1 t2 t 1) 1 t2 t 2

2

4

4

2

1 (t 1)2 5 . ……………………………………………………………12 分

2

2

∴当 t 1时, S(t) 取最大值,其最大值为 2.5 .此时| AF | 0.75,| BE | 1.75 .………

13 分

答:当 AF 0.75 m, BE 1.75 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为

2.5 m2 . ………………………………………………………………………14 分

解法二:以 A 为原点,直线 AD 为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛物

线弧 OC 的方程为 y ax2 1(0 x 2)

∵点 C 的坐标为 (2, 2) ,

∴ 22 a 1 2 , a 1 4
故边缘线 OC 的方程

为 y 1 x2 1(0 x 2) . ……i…4 分 4
要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标

为 P(t, 1 t2 1)(0 t 2) , 4

∵ y 1 x , 2

∴直线 EF 的的方程可表示为 y 1 t2 1 1 t(x t) ,即 y 1 tx 1 t2 1,…7 分

4

2

24

由此可求得 E(2,t 1 t2 1) , F(0, 1 t2 1) .

4

4

∴| AF | 1 1 t2 ,| BE | 1 t2 t 1,……………9 分

4

4

设梯形 ABEF 的面积为 S(t) ,则

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S(t) 1 | AB | | AF | | BE | (1 1 t2 ) ( 1 t2 t 1) 1 t2 t 2

2

4

4

2

1 (t 1)2 5 . ……………………………………………………………12 分

2

2

∴当 t 1时, S(t) 取最大值,其最大值为 2.5 .此时| AF | 0.75,| BE | 1.75 .…13 分

答:当 AF 0.75 m, BE 1.75 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为

2.5 m2 . ………………………………………………………………………14 分

(法二)以 A 为原点,直线 AD 为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛物

线弧 OC 的方程为 y ax2 1(0 x 2)

∵点 C 的坐标为 (2, 2) ,

∴ 22 a 1 2 , a 1 4
故边缘线 OC 的方程

为 y 1 x2 1(0 x 2) . ……i…4 分 4
要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标

为 P(t, 1 t2 1)(0 t 2) , 4

∵ y 1 x , 2

∴直线 EF 的的方程可表示为 y 1 t2 1 1 t(x t) ,即 y 1 tx 1 t2 1,…7 分

4

2

24

由此可求得 E(2,t 1 t2 1) , F(0, 1 t2 1) .

4

4

∴| AF | 1 1 t2 ,| BE | 1 t2 t 1,……………9 分

4

4

设梯形 ABEF 的面积为 S(t) ,则

S(t) 1 | AB | | AF | | BE | (1 1 t2 ) ( 1 t2 t 1) 1 t2 t 2

2

4

4

2

1 (t 1)2 5 . ……………………………………………………………12 分

2

2

∴当 t 1时, S(t) 取最大值,其最大值为 2.5 .此时| AF | 0.75,| BE | 1.75 .…13 分

答:当 AF 0.75 m, BE 1.75 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为

2.5 m2 . ………………………………………………………………………14 分

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19. 某校要组建明星篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩 A 级的可作为入围

选手,选拔过程中每人投篮 5 次,若投中 3 次则确定为 B 级;若投中 4 次及以上则可确定为 A 级.已知某班同学小明每次投篮投中的概率是 1 .
2 (1)求小明投篮 4 次才被确定为 B 级的概率;

(2)设小明投篮投中次数为 X ,求 X 的分布列;

(3)若连续两次投篮不中则停止投篮,求小明不能入围的概率.

解:解:(1)阿明投篮

4

次才被确定为

B

级的概率

P



C32

(1)2 2



1 2



1 2



3 16

;……4



(2)由已知 X ~ B5,1 , X 的分布列为: 2

X

0

1

2

3

4

5

P

1

5

10

10

5

1

32

32

32

32

32

32

…………………8



(3)若连续两次投篮不中则停止投篮,阿明不能入围这一事件有如下几种情况:

①5

次投中

3

次,有

C

2 4

种投球方式,其概率为 P(3)



C42

(

1 2

)

5



3; 16

②投中 2 次,分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否,概率是

P(2) (1)4 3 (1)5 5 ;

2

2 32

③投中 1 次分别有中否否、否中否否,概率为 P(1) (1)3 (1)4 3 ; 2 2 16

④投中 0 次只有否否一种,概率为 P(0) ( 1 )2 1 ; 24

所以阿明不能入围这一事件的概率是 P P(3) P(2) P(1) P(0) 25 . 32

… … … … … … … … … … … … … 14



20. 已知函数 f (x) ln(1 x2 ) ax.(a 0) . (1)若 f (x) 在 x 0 处取得极值,求 a 的值;

(2)讨论 f (x) 的单调性;

(3)证明: 1

1 1 4

1 16

1

1 4n





e1

1 2n



n

N , e )为自然对数的底数)

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解:

(1)

f x 2x
1 x2

a,

x

0是

f (x) 的一个极值点,则

f 0 0, a 0 ,验证知 a =0 符合条件.

………………………3



(2) f x

2x

ax2 2x a a

1 x2

1 x2 .

………………………………4



1)若 a =0 时,

f (x)在0,单调递增,在 ,0单调递减;……………………………

5分

2)若

a



0 得,当a 0



1时,f

x



0对x



R恒成立,

f (x)在R 上单调递减.

…………………………6



3)若 1 a 0时,由f x 0得ax2 2x a 0 .

1 1 a2 x 1 1 a2 .

a

a

再令 f x 0,可得 x 1 1 a 2 或x 1 1 a 2 .

a

a

f (x)在( 1

1 a2 1 ,

1 a 2 )上单调递增,

a

a

7分

…………………………

在 (, 1 1 a 2 )和( 1 1 a 2 ,)上单调递减 .

a

a

综上所述,若 a 1时,f (x)在(,) 上单调递减

若 1 a 0时,f (x)在( 1

1 a2 1 ,

1 a 2 )上单调递增,

a

a

(, 1 1 a 2 )和( 1 1 a 2 ,)上单调递减 .

a

a

……………………8



若 a 0 时, f ( x ) 在( 0, )单调递增,在( ,0 ) 单调递减. ……………………9



(3)法一:由(2)知,当 a 1时,f (x)在 , 单调递减

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当 x 0,时,由f (x) f (0) 0 .
ln(1 x2 ) x

ln 1

1 1 1 4 16

1

1 4n





ln 1

1 ln1 2

1 22



ln1

1 2n





1 2



1 22





1 2n



1 2

(1



1 2n

)

1 1

1

1 2n

2



1

1 4

1

1 16

1

1 4n





e1

1 2n

.…………………………………14



法二:(数学归纳法)当 n

1时,1

1



5



1 1
e2



e 成立;

44

假设当 n



k

时, 1

1 1 4

1 16

1

1 4k





e1

1 2k

当n



k

1时, 1

1 1 4

1 16

1

1 4 k 1





e1

1 2k

(1

1 4k 1

)

e1

1 2k 1

e1 2k



1 2k 1

1
e 2k1



e1

1 2k

(1

1 4 k 1

)



1

1 4 k 1



1



(

1 2 k 1

)2

1

令x

1 2 k 1

,即

e 2k 1

1



(

1 2 k 1

)

2

ex 1 x2

由(2)知当 a 1时,f (x)在 , 单调递减

当 x 0,时,由f (x) f (0) 0 .

ln(1 x2 ) x ,即 ex 1 x2



1

e

x
x

2

1



1
e

1 2k

1
e
(1

1 2k 1



1 4 k 1

)

1

1

1 1 4

1 16

1

1 4k 1





e1

1 2k 1

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当 n k 1时不等式成立;

综上所证,当 n

N

时,不等式 1

1 1 4

1 16

1

1 4n





e1

1 2n

成立.

高二数学(理科)参考答案及评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

A

B

A

A

B

B

C

9. 0.2 10. 5t 20,20.
11.-1

12. 8x 16y 15 0

13.

14. 2sin n 2 2n
15.

16.

17. 18. 19. 20.

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