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高中物理第一章运动的描述第6节匀变速直线运动位移与时间的关系课件教科版必修6_图文

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第6节

匀变速直线运动位移与时间的关系
1.在 v -t 图像中图线与 t 轴所围的面积表示物 体的位移。
2.匀变速直线运动的位移公式 x=v0t+12at2。 3.匀变速直线运动的平均速度公式 v =v0+2 vt
=v t 。
2
4.匀速直线运动的 x -t 图线是一条倾斜的直 线,匀变速直线运动的 x -t 图线是抛物线的 一部分。

一、匀变速直线运动的位移 1.在匀变速直线运动中(如图 1-6-1 所示):物体的位移等于 v-t 图线下面梯形的 面积 。
图 1-6-1

2.匀变速直线运动的位移公式:由梯形面积 x=v0+2 vtt, 将速度公式 vt=v0+at 代入上式得匀变速直线运动的位移公式 x =__v_0_t_+__12_a_t2__。
二、位移—时间图像 1.定义:以 时间 t 为横坐标,以位移 x 为纵坐标,描 述位移随时间变化情况的图像。 2.静止物体的 x-t 图像:是一条平行于时间轴 的直线。

3.匀速直线运动的 x-t 图像:是一条 倾斜 的直线。

4.由匀变速直线运动的位移公式看出,x 是 t 的 二次 函 数,故其 x-t 图像是过原点的 抛物线 的一部分。

三、匀变速直线运动的两个重要推论

1.平均速度

做匀变速直线运动的物体在一段时间 t 内的平均速度等于

这段时间的 中间 时刻的瞬时速度,还等于这段时间初、末速度

矢量和的一半,即-v =v

t

v0+vt =____2____。

2

2.逐差相等 在任意两个连续相等的时间间隔 T 内,位移之差是一个 常量,即 Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。 推导:时间 T 内的位移 x1=v0T+12aT2① 在时间 2T 内的位移 x2=v0(2T)+12a(2T)2② 则 xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1③ 由①②③得 Δx=xⅡ-xⅠ=aT2 此推论可用于判断物体是否做匀变速直线运动,也可用 于求加速度。

1.自主思考——判一判

(1)位移公式 x=v0t+12at2 仅适用于匀变速直线运动。

( √)

(2)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。( × )

(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(√ )

(4)由 x -t 图像能得出对应时刻物体所在的位置。

(√ )

(5)x -t 图像中的图线就是物体的实际运动轨迹。

(×)

(6)由 x -t 图像能得到某时间内物体的位移。

(√ )

2.合作探究——议一议 (1)如何根据 x-t 图像比较做匀速直线运动物体的速度大小?
[提示] 匀速直线运动的 x-t 图像是一条过原点的倾斜直线, 直线的斜率等于物体的速度大小,所以比较直线的斜率便可比 较出物体的速度大小。 (2)在变速直线运动中,物体在某段时间内的平均速度一定等于初速 度与末速度的平均值吗? [提示] 在一般的变速直线运动中,物体在某段时间内的平均速度 并不一定等于初、末速度的平均值,只有在匀变速直线运动中,物 体在某段时间内的平均速度才等于初、末速度的平均值。

对匀变速直线运动位移的理解
1.对位移公式 x=v0t+12at2 的理解 (1)适用条件:匀变速直线运动。 (2)矢量性:公式中 x、v0、a 都是矢量,应用时必须选取 统一的正方向。 (3)公式用法:公式反映了初速度 v0、加速度 a、时间 t、 位移 x 之间的关系,当其中三个物理量已知时,可求另一个未 知量。

(4)公式的特殊形式

2.对 v-t 图像中“面积”的进一步理解

(1)对于任何形式的直线运动的 v-t 图像,图线与时间轴所

围的面积都等于物体的位移。

(2)如果一个物体的 v-t 图像如图 1-6-2

所示,图线与 t 轴围成两个三角形,面积分

别为 x1 和 x2,此时 x1<0,x2>0,则 0~t2

图 1-6-2

时间内的总位移 x=|x2|-|x1|。若 x>0,位移为正;若 x<0,

位移为负;物体在 0~t2 时间内通过的总路程 s=|x1|+|x2|。

[典例] 飞机着陆后做匀减速滑行,着陆时的初速度是 216 km/h,在最初 2 s 内(未停下来)滑行 114 m。求:
(1)5 s 末的速度大小是多少? (2)飞机着陆后 12 s 内滑行多远? [思路点拨] (1)由 x=v0t+12at2 求出 a。 (2)判断滑行的时间,由速度公式和位移公式计算。

[解析] (1)最初 2 s 内: x1=v0t1+12at12 解得:a=-3 m/s2 5 s 末的速度:v2=v0+at2=45 m/s。 (2)着陆减速总时间:t=Δav=20 s 飞机着陆后 12 s 内的位移: x2=v0t3+12at32=504 m。 [答案] (1)45 m/s (2)504 m

处理刹车类问题的思路 (1)先确定刹车时间,若车辆从刹车到速度减到零所用的 时间为 T,则刹车时间为 T=va0。 (2)将题中所给出的已知时间 t 与 T 比较,若 T<t,则在 利用公式 v=v0-at、x=v0t-12at2 进行计算时,公式中的时 间应为 T;若 T>t,则在利用以上公式进行计算时,公式中 的时间应为 t。

1.如图 1-6-3 是物体做直线运动的 v-t 图像。由图可知,该物体( ) A.第 1 s 内和第 3 s 内的运动方向相反
B.第 3 s 内和第 4 s 内的加速度相同
C.第 1 s 内和第 4 s 内的位移大小不相等
D.0~2 s 和 0~4 s 内的平均速度大小相等 图 1-6-3
解析:第 1 s 内和第 3 s 内的速度都为正的,运动方向相同,A 项错误;第 3 s 内和第 4 s 内的图像斜率相同,因此加速度相同,B 项正确;第 1 s 内和第 4 s 内的位移大小都等于图线与横轴所围面积的大小,大小都为 x =12×1×1 m=0.5 m,C 项错误;0~2 s 内的位移和 0~4 s 内的位移相同, 但由于时间不同,因此平均速度不同,D 项错误。
答案:B

2.物体以初速度 v0=10 m/s做匀加速直线运动,物体运动的加速度
a=1 m/s2,则求物体运动 8 s 内的位移和第 2 个 8 s 内的位移。 解析:据题意可知,v0=10 m/s,a=1 m/s2, 据 x=v0t+12at2 解得物体在 8 s 内的位移为 x1=v0t1+12at12=112 m。 物体在 16 s 内的位移为
x2=v0t2+12at22=288 m。 则物体在第 2 个 8 s 内位移为 x′=x2-x1=288 m-112 m=176 m。
答案:112 m 176 m

对 x-t 图像的理解

由 x-t 图像可获取的信息

大小

初、末位置的纵坐标差的绝对值

位移

方向

末位置与初位置的纵坐标差的正负,表 示方向,正值表示位移沿正方向,负值 表示位移沿负方向

大小

斜率的绝对值

速度

斜率为正值时,速度方向沿正方向,斜率 方向
为负值时,速度方向沿负方向

运动开 始位置

图线起点纵坐标

运动开 始时刻

图线起点横坐标

两图线交 点的含义

表示两物体在同一位置(相遇)

[典例] 如图 1-6-4 甲所示是一个物体沿直线运动的 x-t 图像。求:
图 1-6-4 (1)第 5 秒末的速度大小; (2)0~60 秒内的总路程; (3)在 v-t 坐标中作出 0~60 s 内物体的速度—时间图像。

[审题指导] 通过题图可以获得以下信息: (1)0~10 s 内物体向正方向做匀速直线运动。 (2)10~40 s 内物体静止。 (3)40~60 s 内物体向负方向做匀速直线运动。 [解析] (1)0~10 s 内匀速运动的速度 v1=xt11=2100ms =2 m/s, 即第 5 秒末的速度大小为 2 m/s。 (2)0~10 s 内的路程 d1=20 m 10~40 s 内的路程 d2=0 40~60 s 内的路程 d3=20 m 所以 0~60 s 内的路程 d=d1+d2+d3=40 m。

(3)0~10 s 内速度 v1=2 m/s 10~40 s 内速度为 0 40~60 s 内速度 v2=xt22=2200ms =1 m/s, 方向与原速度方向相反, 速度—时间图像如图所示。
[答案] 见解析

(1)分析图像问题时首先注意坐标轴所对应的物理量,确 定是 x -t 图像还是 v -t 图像。
(2)不同图像对应斜率的含义不同,x -t 图像的斜率表示 物体速度的大小和方向,而 v -t 图像的斜率表示物体加速度 的大小和方向。

1.下列图像均能正确反映物体在直线上的运动,在 t=2 s 内物体

位移最大的是

()

解析:选项 A、C、D 中 2 s 内位移均为 0,选项 B 一直向正方向运动, B 正确。 答案:B

2.一质点的 x -t 图像如图 1-6-5 所示,那么此质点的 v -t 图像

可能是选项中的

()

图 1-6-5

解析:x -t 图像的切线斜率表示速度,由图像可知:0~t21时间 内图像的斜率为正且越来越小,在t21时刻图像斜率为 0,即物体 正向速度越来越小,t21时刻减为零;从t21~t1 时间内,斜率为负 值,数值越来越大,即速度反向增大,故选项 A 正确。
答案:A

3. (多选)如图 1-6-6 所示为在同一直线上运动的 A、B 两质点的

x-t 图像,由图可知

()

图 1-6-6 A.t=0 时,A 在 B 的前面 B.B 在 t2 时刻追上 A,并在此后运动到 A 的前面 C.B 开始运动的速度比 A 的小,t2 时刻后才大于 A 的速度 D.A 运动的速度始终比 B 的大

解析:t=0 时,A 在原点正方向 x1 位置处,B 在原点处,A 在 B 的前面,A 对。t2 时刻两图线相交,表示该时刻 B 追上 A, 并在此后运动到 A 的前面,B 对。B 开始运动的速度比 A 的小, t1 时刻后 A 静止,B 仍然运动,C、D 错。 答案:AB

v =v t =v0+2 vt及 Δx=aT2 的应用 2
[典例] 一物体做匀变速直线运动,在连续相等的两个时间 间隔内,通过的位移分别是 24 m 和 64 m,每一个时间间隔为 4 s, 求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小。
[思路点拨] (1)“连续相等的两个时间间隔内”→时间 T 相同且 T=4 s

[解析] 方法一:
基本公式法 x1=vAT+12aT2 x2=vA·2T+12a(2T)2-(vAT+12aT2) vC=vA+a·2T 将 x1=24 m,x2=64 m,T=4 s 代入以上三式,解得 a=2.5 m/s2,vA=1 m/s,vC=21 m/s。

方法二:平均速度公式法

连续两段时间 T 内的平均速度分别为:

v 1=xT1=244 m/s=6 m/s,

v 2=xT2=644 m/s=16 m/s。

且 v 1=vA+2 vB, v 2=vB+2 vC,

由于 B 是 A、C 的中间时刻,则

vB=vA+2 vC=

v

1+ 2

v

2=6+216

m/s=11 m/s。

解得 vA=1 m/s,vC=21 m/s。 其加速度为:a=vC2-TvA=221×-41 m/s2=2.5 m/s2。

方法三:逐差法 由 Δx=aT2 可得 a=ΔTx2 =64-42 24 m/s2=2.5 m/s2① 又 x1=vAT+12aT2② vC=vA+a·2T③ 由①②③式解得:vA=1 m/s,vC=21 m/s。
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2

(1) v =xt 适用于任何形式的运动。 (2) v =v0+2 vt只适用于匀变速直线运动。 (3)用平均速度求位移,因为不涉及加速度,比较简单方 便。x= v t=v0+2 vtt 也是矢量式。 (4)Δx=aT2 只适用于匀变速直线运动,其他性质的运动不 能套用推论式来处理问题。

1.一辆公共汽车进站后开始刹车,做匀减速直线运动。开始

刹车后的第 1 s 内和第 2 s 内位移大小依次为 9 m 和 7 m,

则刹车后 6 s 内的位移是

()

A.20 m

B.24 m

C.25 m

D.75 m

解析:设汽车的初速度为 v0,加速度为 a。根据匀变速直线运动的 推论 Δx=aT2 得:x2-x1=aT2 得 a=x2-T2x1=7-12 9=-2 m/s2。 根据第 1 s 内的位移:x1=v0t+12at2,代入数据得, 9=v0×1+12×(-2)×12,解得 v0=10 m/s。 汽车刹车到停止所需的时间 t0=0-av0=0--120 s=5 s。 则汽车刹车后 6 s 内的位移等于 5 s 内的位移,为 x=v20t0=120×5 m
=25 m。故 C 正确,A、B、D 错误。 答案:C

2.一质点做匀变速直线运动,初速度 v0=2 m/s,4 s 内位移为 20 m,求: (1)质点 4 s 末的速度; (2)质点 2 s 末的速度。 解析:解法一:利用平均速度公式 4 s 内的平均速度 v =xt =v0+2 v4, 代入数据解得,4 s 末的速度 v4=8 m/s 2 s 末的速度 v2=v0+2 v4=2+2 8 m/s=5 m/s。

解法二:利用两个基本公式 由 x=v0t+12at2 得 a=1.5 m/s2 再由 v=v0+at 得 质点 4 s 末的速度 v4=(2+1.5×4)m/s=8 m/s 2 s 末的速度 v2=(2+1.5×2)m/s=5 m/s。 答案:(1)8 m/s (2)5 m/s


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