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常用放缩方法技巧(优选资料)

For personal use only in study and research; not for commercial use 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a2 1 a ; n(n 1) n ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: lg 3 lg 5 (lg 3 lg 5)2 lg 15 lg 16 lg 4 ; 2 ⑷二项式放缩: 2n (1 1)n C 0 n C 1 n C n n , 2 n C 0 n C 1 n n 1, (5)利用常用结论: n(n 1) n (n 1) 2 Ⅰ. 1 的放缩 : 2 2 2 k k k 1 2 k k k 1 Ⅱ. 1 的放缩(1) : k2 1 1 1 (程度大) k(k 1) k 2 k(k 1) Ⅲ. 1 的放缩(2): 1 1 1 1 ( 1 1 ) (程度小) k2 k 2 k 2 1 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1 Ⅳ. 1 的放缩(3): 1 4 2( 1 1 ) (程度更小) k2 k 2 4k 2 1 2k 1 2k 1 Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质: b b m (b a 0, m 0) 和 b b m (a b 0, m 0) a am a am 记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例: f (x) x (x 0) ,从而实现利用函数单调性质的放缩: 1 x f (ab) f (a b)。 一. 先求和再放缩 例 1. an 1 n (n 1) ,前 n 项和为 Sn ,求证: sn 1 例 2. an (1)n 3 , 前 n 项和为 Sn ,求证: sn 1 2 二. 先放缩再求和 (一)放缩后裂项相消 例 3.数列{an}, an (1)n1 1 n ,其前 n 项和为 sn s2n ,求证: 2 2 (二)放缩后转化为等比数列。 例 4. {bn}满足: b1 1, bn1 bn2 (n 2)bn 3 (1) 用数学归纳法证明: bn n 参考内容# (2) Tn 1 3 b1 1 3 b2 1 3 b3 ... 1 3 bn ,求证: Tn 1 2 三、裂项放缩 例 5.(1)求 n 2 的值; k 1 4k 2 1 (2)求证: n 1 5 . k2 k 1 3 例 6.(1)求证:1 1 1 1 7 1 (n 2) 32 52 (2n 1) 2 6 2(2n 1) (2)求证: 1 1 1 1 1 1 4 16 36 4n2 2 4n (3)求证: 2( n 1 1) 1 1 1 1 23 n 例 7.求证: 6n 1 1 1 1 5 (n 1)(2n 1) 4 9 n2 3 2( 2n 1 1) 例 8.已知 an 4n 2n , Tn a1 2n a2 an ,求证: T1 T2 T3 Tn 3. 2 四、分式放缩 姐妹不等式: b b m (b a 0, m 0) 和 b b m (a b 0, m 0) a am a am 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例 9. 姐妹不等式: (11)(1 1)(1 1) (1 1 ) 2n 1 和 35 2n 1 (1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) 1 也可以表示成为 246 2n 2n 1 2 46 2n 2n 和 1 13 5 (2n 1) 1 135 (2n 1) 2 4 6 2n 2n 1 例 10.证明: (11)(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3n 1. 47 3n 2 五、均值不等式放缩 例 11.设 Sn 1 2 23 求证 n(n 1). n(n 1) 2 Sn (n 1)2 2 . 例 12.已知函数 f (x) 1 1 a 2bx ,a>0,b>0,若 f (1) 4 ,且 5 f (x) 在[0,1]上的最大值为 1 2 , 求证: f (1) f (2) f (n) n 1 2 n 1 1. 2 六、二项式放缩 2n (1 1)n C 0 n C 1 n C n n , 2 n C 0 n C 1 n n 1, 例 13.设 n 1, n N ,求证 ( 2)n 8 . 3 (n 1)(n 2) 例 14. an 2 3n , 试证明:. n ≤ 1 1 L 1 1 4n 2 a1 a2 an 4 七、部分放缩(尾式放缩) 例 15.求证: 1 1 1 4 31 321 3 2n1 1 7 例 16. 设 an 1 1 2

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