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【数学】湖南省2020届高三上学期期末统测 数学(理)试题

湖南省 2020 届高三上学期期末统测 数学(理)试题

一、单选题
1.设集合 A {x | y x 3}, B {x |1 x 9} ,则 (?R A) I B ( )

A. (1,3)

B. (3,9)

C. [3, 9]

D.

【答案】A

【解析】求函数定义域求得集合 A ,由此求得 ?R A B .

【详解】

因为 A {x | x 3},所以 ?R A B (1,3) .

故选:A

【点睛】

本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算,属于基础题.

2.已知复数 z 5i 5i ,则| z | ( ) 2i

A. 5

B. 5 2

C. 3 2

【答案】B

D. 2 5

【解析】利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得 z

【详解】

z 5i 5i 5i(2 i) 5i 1 7i ,故 | z | (1)2 72 5 2 .

2i

5

故选:B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.

1

3.设

a



1
33



b



log

1 3

2



c





1 3

2

,则(



A. b a c
【答案】C

B. c b a

C. b c a

D. c a b

【解析】利用“ 0,1 分段法”比较出 a, b, c 三者的大小关系.

【详解】

1

因为 a



1
33

1, b



log 1
3

2



0

,0



c



12 3

1 ,所以 b



c



a

.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查指数、对数比较大小,属于基础题.

4.函数

f

(x)



cos2



x



3



的最小正周期为(



A. 4

B. 2

C. 2

D.

【答案】D

【解析】利用降次公式化简 f x 表达式,再由此求得最小正周期.

【详解】

因为

f

(x)



cos2



x



3





cos



2

x

2

2 3



1



1 2

cos



2

x



2 3





1 2

,所以最小正周期为

.

故选:D

【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式,考查三角函数最小正周期的求法,属于基础题.

5.左手掷一粒骰子,右手掷一枚硬币,则事件“骰子向上为 6 点且硬币向上为正面”的概率为( )

A. 1 6

B. 1 12

C. 1 3

D. 1 2

【答案】B

【解析】根据相互独立事件概率计算公式,计算出所求概率.

【详解】

骰子向上为 6 点的概率为 1 ,硬币向上为正面的概率为 1 ,故所求事件的概率为 1 1 1 .

6

2

6 2 12

故选:B

【点睛】

本小题主要考查相互独立事件概率计算,属于基础题.

6.设 m, n,l 为三条不同的直线, a, 为两个不同的平面,则下面结论正确的是( )

A.若 m , n , / / ,则 m // n B.若 m / /,n / / , m n ,则

C.若 m ,n , ,则 m n D. m / /,n / /,l m,l n ,则 l

【答案】C

【解析】根据线线、线面、面面位置关系,对选项逐一分析,由此确定结论正确的选项.

【详解】

A 选项中, m, n 可能异面;B 选项中,, 也可能平行或相交;D 选项中,只有 m, n 相交才可推出

l .C 选项可以理解为两个相互垂直的平面,它们的法向量相互垂直.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断,属于基础题.

7.若执行如图所示的程序框图,则输出的 S ( )

A. 3ln2

B. 2ln3

C. ln 7

D. ln10

【答案】A

【解析】根据程序框图运行所计算的 S 的表达式,结合对数运算,求得输出

的 S 的值.

【详解】

运行程序框图中的程序,可得

S ln 2 ln 3 ln 4 L ln 8 ln 2 3 4 L 8 ln8 3ln 2 .

123

7 123

7

故选:A

【点睛】

本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果,考查对数运算,属于基础题.

8.已知函数 f ( x) 3|xa| 2 ,且满足 f (5 x) f (3 x) ,则 f (6) ( )

A.29 【答案】D

B.5

C.3

D.11

【解析】根据 f (5 x) f (3 x) 求得 f x 的对称轴,也即求得 a 的值,从而求得 f 6 的值.

【详解】

因为 f (5 x) f (3 x) ,所以 f (x) 的图象关于 x 4 对称,所以 a 4, f (6) 364 2 11 .

故选:D 【点睛】 本小题主要考查函数图像的对称性,考查函数值的求法,属于基础题.

9.已知抛物线 C : y2 12x 的焦点为 F , A 为 C 上一点且在第一象限,以 F 为圆心, FA 为半径

的圆交 C 的准线于 B , D 两点,且 A, F, B 三点共线,则 | AF | ( )

A.16

B.10

C.12

D.8

【答案】C

【解析】根据圆的几何性质,结合

抛物线的定义,根据 F 到准线的距

离,求得 AF .

【详解】
因为 A, F, B 三点共线,所以 AB 为 圆 F 的直径, AD BD .由抛物线
定义知
| AD | 2 EF | AF | 1 | AB |,所 2
以 ABD 30 .因为 F 到准线的

距离为 6,所以 | AF || BF | 2 6 12 .
故选:C 【点睛】

本小题主要考查圆的几何性质,考查抛物线的定义和几何性质,考查数形结合的数学思想方法,属 于基础题.
10.已知函数 f (x) 是偶函数,当 x 0 时, f (x) x ln x 1,则曲线 y f (x) 在 x 1 处的切线
方程为( )

A. y x

B. y x 2

C. y x

D. y x 2

【答案】A
【解析】首先根据函数的奇偶性,求得当 x 0 时, f x 的解析式,然后求得切点坐标,利用导数

求得斜率,从而求得切线方程. 【详解】

因为 x 0 , f (x) f (x) x ln(x) 1, f (1) 1, f (x) ln(x) 1 , f (1) 1,所

以曲线 y f (x) 在 x 1 处的切线方程为 y 1 x 1 ,即 y x .

故选:A 【点睛】

本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式,考查利用导数求切线方程,属于基础题. 11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨 论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成

等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前 7 项

分别为 1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第 19 项为(

12 22 32 L n2 n(n 1)(2n 1) ) 6

A.1624

B.1024

C.1198

)(注: D.1560

【答案】B

【解析】根据高阶等差数列的定义,求得等差数列 cn 的通项公式和前 n 项和,利用累加法求得数

列 an 的通项公式,进而求得 a19 .

【详解】

依题意

an :1,4,8,14,23,36,54,……
两两作差得

bn :3,4,6,9,13,18,……
两两作差得

cn :1,2,3,4,5,……

设该数列为 an ,令 bn an1 an ,设 bn 的前 n 项和为 Bn ,又令 cn bn1 bn ,设 cn 的前 n 项

和为 Cn .

易 cn



n

,Cn



n2 2

n

,进而得 bn1



3

Cn



3

n2 2

n

,所以 bn



3

n(n 1) 2



n2 2



1 2

n



3,



Bn



n(n

1)(n 6

1)



3n

,所以 an1

1

Bn ,所以 a19

1024

.

故选:B

【点睛】

本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查累加法求数列的通项公式,考查化归与转化的数学

思想方法,属于中档题.

12.在三棱锥 D ABC 中, AB BC CD DA 1,且 AB BC,CD DA, M , N 分别是棱

BC , CD 的中点,下面四个结论:

① AC BD ;

② MN / / 平面 ABD ;

③三棱锥 A CMN 的体积的最大值为 2 ; 12

④ AD 与 BC 一定不垂直.

其中所有正确命题的序号是( )

A.①②③

B.②③④

C.①④

D.①②④

【答案】D

【解析】①通过证明 AC 平面 OBD ,证得 AC BD ;②通过证明 MN / /BD ,证得 MN / / 平面

ABD ;③求得三棱锥 A CMN 体积的最大值,由此判断③的正确性;④利用反证法证得 AD 与 BC

一定不垂直. 【详解】
设 AC 的中点为 O ,连接 OB,OD ,则 AC OB ,AC OD, 又 OB I OD O ,所以 AC 平面 OBD ,所以 AC BD , 故①正确;因为 MN / /BD ,所以 MN / / 平面 ABD ,故②正 确;当平面 DAC 与平面 ABC 垂直时,VACMN 最大,最大值

为 VACMN

VN ACM



11 34

2 4

2 ,故③错误;若 AD 与 48

BC 垂直,又因为 AB BC ,所以 BC ⊥平面 ABD ,所以 BC BD ,又 BD AC ,所以 BD 平面 ABC ,所以 BD OB ,因为 OB OD ,所以显然 BD 与 OB 不可能垂直,故④正确.

故选:D

【点睛】

本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断,考查空间想象能力

和逻辑推理能力,属于中档题.

二、填空题
13.已知数列 an 是等比数列, a1 1, a3 36 ,则 a2 __________.

【答案】 6

【解析】根据等比数列通项公式,首先求得 q ,然后求得 a2 .

【详解】

设an的公比为 q ,由 a1 1, a3 36 ,得 q2 36, q 6 ,故 a2 6 .

故答案为: 6
【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算,属于基础题.

r

r

rr

14.已知向量 a (4, 3), b (1, 2) , a, b 的夹角为 ,则 sin __________.

【答案】 5 5
【解析】利用两个向量夹角计算公式,求得 cos 的值,再根据同角三角函数的基本关系式求得 sin

的值.

【详解】

rr

依题意 0, π,所以 cos ra br

10

2 5 ,sin 1 cos2

5
.

| a || b | 5 5 5

5

故答案为: 5 5
【点睛】

本小题主要考查向量夹角的坐标运算,考查同角三角函数的基本关系式,属于基础题.
15. (2x3 1 )8 展开式中常数项为______. x
【答案】112

【解析】求得二项展开式的通项,令 3(8 r) r 0 ,解得 r 6 ,代入即可得到展开式的常数项.

【详解】

由题意,二项展开式的通项为 Tr 1



C8r

(2

x3

)8r

(

1 x

)r

C8r 28r (1)r x3(8r)r



令 3(8 r) r 0 ,解得 r 6 ,所以常数项为T7 C86 286 (1)6 112 .

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键,着重考查了

推理与运算能力,属于基础题.

x2 y2

x2 y2

16.双曲线 a22 b22 1 a2 0,b2 0 与椭圆 a12 b12 1 a1 b1 0 有相同的焦点,且左、右焦

点分别为 F1, F2 ,它们在第一象限的交点为 P ,若 sin F1PF2 2sin PF1F2 ,且椭圆与双曲线的

离心率互为倒数,则该双曲线的离心率为____________.

【答案】 1 5 2

【解析】利用正弦定理求得 F1F2 2 PF2 ,利用椭圆和双曲线的定义求得 a1 a2 c ,进而由

e1 e2 1列方程,并转化为含有双曲线离心率 e2 的方程,由此求得双曲线的离心率.
【详解】

设椭圆的离心率为 e1 ,双曲线的离心率为 e2 , F1F2 2c ,由正弦定理得

PF2 sin PF1F2



F1F2 sin F1PF2

.∵ sin F1PF2

2sin PF1F2 ,∴

F1F2

2

PF2



∴ PF2 c .∵ PF1 PF2 2a1 , PF1 PF2 2a2 ,∴ PF1 2a1 c 2a2 c ,∴ a1 a2 c .又

∵ e1 e2



c a1

c a2



c a2 c



c a2

1,c2



a22

a2c

,两边除以

a

2 2

并化简得

e22

e2

1

0,

∴ e2

1 2

5

.

故答案为: 1 5 2
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的定义,考查双曲线离心率的求法,考查正弦定理进行边角互化,考
查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.

三、解答题
17.在 ABC 中, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边,且 (3a c) cos B bcosC 0 . (1)求 sin B ;
(2)若 a 1, b 2 2 ,求 ABC 的面积.

【答案】(1) sin B 2 2 (2) 7 2

3

9

【解析】(1)利用正弦定理化简已知条件,求得 cos B 的值,进而求得 sin B 的值. (2)利用余弦定理列方程,由此求得 c ,再利用三角形的面积公式求得三角形 ABC 的面积.

【详解】

(1)因为 (3a c) cos B bcosC 0 ,

所以 3sin Acos B sinC cos B sin BcosC 0 ,

所以 3sin Acos B (sin B cosC sinC cos B) sin A .

因为 sin A 0,所以 cos B = 1 ,所以 sin B 2 2 .

3

3

(2)由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 2 ac . 3
因为 a 1, b 2 2 ,所以 c2 2 c 7 0 ,即 3c2 2c 21 (c 3)(3c 7) 0 , 3
所以 c 7 . 3

所以 ABC 的面积为 1 ac sin B 1 1 7 2 2 7 2 .

2

2 33 9

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于基础题.

18.如图,ABCD 是正方形,点 P 在以 BC 为直径的半圆弧上( P 不与 B ,C 重合),E 为线段 BC 的中点,现将正方形 ABCD 沿 BC 折起,使得平面 ABCD 平面 BCP .

(1)证明: BP 平面 DCP . (2)三棱锥 D BPC 的体积最大时,求二面角 B PD E 的余弦值.
【答案】(1)见解析(2) 15 5
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证得 CD 平面 BPC ,由此证得 DC BP ,根据圆的几何 性质证得 BP PC ,由此证得 BP 平面 DCP . (2)判断出三棱锥 D BPC 的体积最大时 P 点的位置.建立空间直角坐标系,通过平面 BPD 和平 面 EPD 的法向量,计算出二面角 B PD E 的余弦值.
【详解】
(1)证明:因为平面 ABCD 平面 BPC, ABCD 是正方形,

所以 DC 平面 BPC . 因为 BP 平面 BPC ,所以 DC BP . 因为点 P 在以 BC 为直径的半圆弧上,所以 BP PC . 又 DC PC C ,所以 BP 平面 DCP.

(2)解:显然,当点 P 位于 B?C 的中点时, BCP 的面积最大,三棱锥 D BPC 的体积也最大.

不妨设 BC 2 ,记 AD 中点为 G ,



E

为原点,分别以

uuur EB,

uuur EP,

uuur EG

的方向为

x

轴、

y

轴、轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ,

uuur

uuur

uuur

则 E(0,0,0), B(1,0,0), D(1,0,2), P(0,1,0) , BD (2,0, 2), ED (1,0, 2), PD (1, 1, 2)

设平面 BDP 的法向量为 mr x1, y1, z1 ,



uuuv uBuDuv PD

mr mr



2x1 2z1 0, x1 y1 2z1

0,



x1



1

,得

mr



(1,1,1)

.

设平面 DEP 的法向量为 nr x2, y2, z2 ,



uuEPuuDSuuvvnrnr



x2 x2



2z2 y2

2

0, z2




0,

x2



2 ,得 nr



(2, 0,1)



所以

cosmr ,

nr

r

|

mr nr mr || nr

|



21 3 5

15
.
5

由图可知,二面角 B PD E 为锐角,故二面角 B PD E 的余弦值为

15 . 5
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中
档题.

19.生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能 会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计.这 200 户家庭中,头胎为女孩的频

率为 0.5,生二孩的频率为 0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为 60. (1)完成下列 2 2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;

生二孩

不生二孩

合计

头胎为女孩

60

头胎为男孩

合计

200

(2)在抽取的 200 户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户,进一步了
解情况,在抽取的 7 户中再随机抽取 4 户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数 X 的分布列及数学期望.
附:

PK2 k

0.15

0.05

0.01

0.001

k

2.072

3.841

6.635

10.828

K2

n(ad bc)2

(其中 n a b c d ).

(a b)(c d )(a c)(b d )

【答案】(1)见解析,有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.(2)分布列见解析,
EX 16 7
【解析】(1)根据题目所给数据,计算并填写出 2 2 列联表,计算出 K 2 的值,由此判断出有 95%

的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
(2)利用超几何分布分布列和数学期望计算公式,计算出所求 X 的分布列及数学期望.
【详解】

(1)因为头胎为女孩的频率为 0.5,所以头胎为女孩的总户数为 200 0.5 100. 因为生二孩的概率为 0.525,所以生二孩的总户数为 2000.525 105 .
2 2 列联表如下:

头胎为女孩 头胎为男孩 合计

生二孩 60 45 105

不生二孩 40 55 95

合计 100 10 200

K 2 200(60 55 45 40)2 600 3.841, 105 95 100 100 133

故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.

(2)在抽取的 200 户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户,则这 7 户

家庭中,头胎生女孩的户数为 4,头胎生男孩的户数为 3,则 X 的可能取值为 1,2,3,4.

P( X

1)



C41 C33 C74



4; 35

P( X



2)



C24 C32 C44



18 ; 35

P( X



3)



C34 C13 C44



12 35



P( X

4)



C44 C74



1
.
35

X 的分布列为

X

1

2

3

4

4

18

12

1

P

35

35

35

35

EX 1 4 2 18 3 12 4 1 16 . 35 35 35 35 7

【点睛】 本小题主要考查 2 2 列联表独立性检验,考查超几何分布的分布列和数学期望的计算,属于基础题.

20.已知 F1, F2 分别为椭圆 C :

x2 4



y2 3

1 的左、右焦点, MN

为该椭圆的一条垂直于 x

轴的动弦,

直线 m : x 4 与 x 轴交于点 A ,直线 MF2 与直线 AN 的交点为 B .
(1)证明:点 B 恒在椭圆 C 上. (2)设直线 n 与椭圆 C 只有一个公共点 P ,直线 n 与直线 m 相交于点 Q ,在平面内是否存在定点T , 使得 PTQ 恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.
2 【答案】(1)见解析(2)存在,T (1, 0)

【解析】(1)根据题意求得 F2 , A 的坐标,设出 M , N 的坐标,求得直线 MF2 , AN 的方程,由此求

得 B 的坐标,代入椭圆方程的左边,化简后得到1,由此判断出 B 恒在椭圆 C 上. (2)首先判断直线 n 的斜率是否存在.然后当直线 n 斜率存在时,设出直线 n 的方程 y kx b ,判断

出 T 的位置并设出T 的坐标.联立直线 n 的方程和椭圆方程,化简后利用判别式等于零求得 k, b 的关

系式,进而求得 P 的坐标,结合 Q 点坐标以及 PTQ

uur uuur ,利用TP TQ

0 列方程,结合等式恒

2

成立求得T 的坐标.

【详解】

(1)证明:由题意知 F2 (1, 0), A(4, 0) ,设 M (s,t), N(s, t) ,则

s2 4



t2 3

1.

直线

MF2

的方程为

y



s

t (x 1

1)

,直线

AN

的方程为

y



t s4

(x

4)



联立可得

xB



5s 8 2s 5



yB



3t 2s 5

,即

B

的坐标为



5s 2s

8, 5

3t 2s

5

.

因为

xB2 4



yB2 3



(5s 8)2 12t2 4(2s 5)2



(5s 8)2 36 9s2 4(2s 5)2

1,

所以 B 点恒在椭圆 C 上.

(2)解:当直线 n 的斜率不存在时,不符合题意.不妨设直线 n 的方程为 y kx b ,由对称性可知,

若平面内存在定点 T

,使得 PTQ



2

恒成立,则 T

一定在

x

轴上,故设 T

x0,0 ,

y kx b,





x

2

y2

可得 4k2 3 x2 8kbx 4b2 12 0 .

4 3 1,

因为直线 n 与椭圆 C 只有一个公共点,

所以 64k2b2 4 4k2 3 4b2 12 48 4k2 b2 3 0 ,

所以

xP





4k b

,

yP



kxP



b



3 b

.

又因为 Q(4, 4k



b), PTQ



2

uur ,所以 TP

uuur TQ







4k b



x0 ,

3 b







4



x0, 4k



b



0,





x0



4k b





x0



4



3(4k b

b)



0

.

所以

x02



4 x0



3



k b

4 x0



4



0

对于任意的满足

4k

2



b2



3



0



k,

b

恒成立,

所以

4x02x044x003,



解得
0,

x0

1.

故在平面内存在定点T (1, 0) ,使得 PTQ 恒成立. 2
【点睛】

本小题主要考查直线与直线交点坐标,考查点与椭圆的位置关系,考查直线和椭圆的位置关系,考

查恒成立问题的求解,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.

21.已知函数

f

(x)



ln

x

1

2a



x



a x

有两个不同的极值点

x1, x2

.

(1)求 a 的取值范围.

(2)求 f (x) 的极大值与极小值之和的取值范围.

(3)若 m





0,

1 2



,

n





1 2

,





,则

f

(m)



f

(n)

是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,

说明理由.
【答案】(1) 0 a 1 (2) (, 2ln 2 1) (3) f (m) f (n) 没有最小值.见解析 4
【解析】(1)先求得函数 f x 的定义域和导函数,结合一元二次方程根的分布求得 a 的取值范围.

(2)根据(1)求得 x1x2 a, x1 x2 1 ,求得 f x1 f x2 的表达式,并利用导数求得这个表达
式的取值范围.
(3)由(2)假设 f (x)极小值 f x1 , f (x)极大值 f x2 ,则[ f (m) f (n)]min f x1 f x2 ,

求得 f x1 f x2 的表达式,并利用导数研究这个表达式的单调性,由此判断出这个表达式没有最
小值,也即 f (m) f (n) 没有最小值.
【详解】

(1)

f

x 定义域为 0, ,

f (x)



1 x

1

a x2



x2

xa x2

.

因为 f (x) 有两个不同的极值点 x1, x2 ,且 x 0 ,

1 4a 0

所以

x2



x



a



0

有两个不同的正根,



x1

x1

x2 1 0 x2 a 0

,解得 0



a



1 4

.

(2)因为 x1x2 a, x1 x2 1 ,不妨设 x1 x2 ,所以 f (x)极小值 f x1 , f (x)极大值 f x2 ,

所以

f (x)极小值



f

( x)极大值



f

x1

f

x2

ln x1 x2

2(1 2a)

a x1 x2
x1x2

x1 x2

ln a 2 4a . 令(a) ln a 4a 2 ,则(a) 1 4 0 ,
a

所以

(a)





0,

1 4



上单调递增,所以

(a)







1 4





2

ln

2



1



即 f (x) 的极大值与极小值之和的取值范围是 (, 2ln 2 1) .

(3)由(2)知

x1x2



a,

x1



x2



1

.因为

m





0,

1 2

,

n





1 2

,





,

x1



1 2



x2



所以 f (m)min f x1, f (n)max f x2 ,

所以[ f (m)

f (n)]min



f

x1

f

x2 ln

x1 x2

x2

x1 a

x2 x1 x1x2

.

因为 x1

1 x2 ,所以[

f

(m)

f

(n)]min

ln 1 x2 x2

2 2x2

1



ln 1

x2





ln

x2



4 x2



2



1 2



x2



1

.

令 h(x)



ln(1

x) ln

x



4x



2



1 2



x

1

,则 h(x)



1 x 1

1 x



4



(2x 1)2 x(x 1)



0



所以

h(x)





1 2

,1

上单调递减,

h(x)

无最小值,

故 f (m) f (n) 没有最小值.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查利用导数研究函数的最值,考查化归与转

化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于难题.

22.在直角坐标系

xOy

中,曲线

C

的参数方程是



x



1 4



1 2

cos



,



是参数),以原点为极点,



y



3 1 sin 42

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)在曲线 C 上取一点 M ,直线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 ,交曲线 C 于点 N ,求| OM | | ON |
3 的最大值.

【答案】(1)





sin







6



(2)最大值为

3 4

【解析】(1)利用 sin2 cos2 1消去参数 ,求得曲线 C 的普通方程,再转化为极坐标方程.

(2)设出 M , N 两点的坐标,求得 | OM | | ON |的表达式,并利用三角恒等变换进行化简,再结合

三角函数最值的求法,求得 | OM | | ON |的最大值.
【详解】

(1)由

x



1 4



1 2

cos ,

消去 得曲线 C 的普通方程为 x2 y2 1 x

3 y0.



y



3 1 sin, 42

22

所以 C 的极坐标方程为 3 sin 1 cos ,

2

2







sin







6



.

(2)不妨设

M

1,





N



2 ,



3





1



0



2



0



[0,2 )





| OM

| | ON

|

12

sin



6





sin





6



3





sin



π 6



cos



3 2

sin



1 2

cos

cos



3 4

sin

2



1 4

cos 2



1 4



1 2

sin



2



6





1 4

当 时, | OM | | ON |取得最大值,最大值为 3 .

6

4

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标系下线段长度的乘

积的最值的求法,考查三角恒等变换,考查三角函数最值的求法,属于中档题.

23.已知函数 f (x) | x 2 | | x 3 | .

(1)解不等式 f (x) 3x 2 ;

(2)若函数

f

(x)

最小值为

M

,且

2a



3b



M

(a



0, b



0)

,求

1 2a 1



b

3 1

的最小值.

【答案】(1)



7 3

,





(2)

16 9

【解析】(1)利用零点分段法,求得不等式的解集.

(2)先求得 f x 5,即 2a 3b 5(a 0,b 0) ,再根据“1的代换”的方法,结合基本不等式,

求得 1 3 的最小值. 2a 1 b 1

【详解】

(1)当 x 2 时, x 2 x 3 3x 2 ,即 x 3 ,无解; 5

当 2 x 3时, x 2 x 3 3x 2 ,即 7 x ,得 7 x 3;

3

3

当 x 3 时, x 2 x 3 3x 2 ,即 x 1,得 x 3 .

故所求不等式的解集为



7 3

,





.

(2)因为 f (x) | x 2 | | x 3 || (x 2) (x 3) | 5 , 所以 2a 3b 5(a 0,b 0) ,则 2a 1 3(b 1) 9 ,

1 2a 1



b

3

1



1 9



1 2a 1



b

3

1

[2a



1

3(b



1)]



1 9

10



3(b 2a

1) 1



3(2a 1) b 1





16 9

.

当且仅当

2a 1 2a 3b a 0,b

b

1, 5, 0,



a b



5 8 5 4

,

时取等号.

故 1 3 的最小值为 16 .

2a 1 b 1

9

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式,考查利用基本不等式求最值,考查化归与转化的数学

思想方法,属于中档题.


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